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1、第七章 空间连杆机构运动分析第七章 空间连杆机构运动分析17.1空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵27.1.1绕直角坐标轴的旋转27.1.2空间旋转矩阵37.1.2.1按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转37.1.2.2绕空间任意轴u旋转角表示空间旋转37.1.2.3用欧拉角，和来描述空间旋转47.1.3刚体位移矩阵及其逆47.1.4旋转矩阵与位移矩阵的微分57.1.4.1旋转矩阵的微分57.1.4.2位移矩阵的微分67.2空间四杆机构运动分析77.2.1空间四杆机构RSSR运动分析77.2.2习题87.3空间串联机器人运动分析87.3.13-RPR运动分析87.3.2RR
2、RRRR机械手运动分析117.4空间并联机器人运动分析127.4.16-SPS并联机构的位置分析127.5参考文献137.1 空间机构运动分析矩阵法：刚体空间位移矩阵在三维空间中，刚体的总位移可以视为刚体的角位移和刚体上任何适当参考点的线位移这两个基本位移分量的总和。描述刚体位移有好几种方法，其中较常用的是绕三角坐标轴的一组旋转矩阵、绕空间任意一轴的旋转矩阵和欧拉角旋转矩阵。下面分别讨论这三种旋转矩阵。7.1.1 绕直角坐标轴的旋转图表示固连在旋转刚体上的一个定长向量绕z轴的旋转向量在位移前后的所有分量都是以相对固定的x-y轴参考系来度量。当向量绕z轴旋转角，到达处时，有下列方程（参见邹老师的
3、教材P62）(7.1)把上式写成矩阵的形式，有(7.2)上式可缩写成如下的形式，即(7.3)式中为绕z轴转角的旋转矩阵，有(7.4)同理，可写出分别绕y轴和x轴旋转的矩阵(7.5)(7.6)7.1.2 空间旋转矩阵空间旋转矩阵可用若干个基本旋转矩阵来表示，其主要有以下三种形式。7.1.2.1 按右手规则绕三维直角坐标轴的一系列旋转表示空间旋转固连于刚体上的矢量在三维空间内旋转的每个分量是3x3矩阵，空间旋转矩阵可把每个矢量矩阵逐次相乘来求得，即当三个旋转顺序为绕z旋转角，绕y轴转角，然后在绕x轴转，则始末位置1与2处矢量的关系可用下式描述：(7.7)式中空间旋转矩阵为(7.8)式中，。7.1.
4、2.2 绕空间任意轴u旋转角表示空间旋转在图中，是单位向量。绕u轴旋转角的运动，可按下列步骤来描述：首先转动刚体，使u轴平行于z轴，再以u的这一暂时位置为转轴旋转角，然后把u轴旋回它原来的位置。这一完整的旋转过程可用矩阵描述：(7.9)式中，称为轴旋转矩阵，它是描述刚体空间有限旋转的最常用的形式之一。当形成时，单位向量u的方向余弦有下列代换：(7.10)把式代入式，有(7.11)式中，。经过适当的分解，式可得如下形式：(7.12)式中(7.13)(7.14)(7.15)7.1.2.3 用欧拉角，和 来描述空间旋转坐标系XYZ固定在参考构件1上；固连于参考构件2上的坐标系XYZ是绕轴z转角而得到
5、；固连于构件3上的坐标系XYZ是经过两个有序的相对旋转即先绕轴z转角，再绕轴X转角而得；最后再绕Z轴转角，完成了刚体的运动。把上述过程用下列方程表示，有（可证一下，下式是否成立）(7.16)式中(7.17)7.1.3 刚体位移矩阵及其逆空间旋转矩阵描述了任何一个固连在刚体上的向量的旋转，而这个向量，通常可用刚体上的两个点来表示，其中一个参考点p位于向量的尾端，而另一个要求解的点q位于向量的头端。这样刚体的第一个位置（q1p1）与任意位置（qp）之间的关系可用下式来描述：(7.18)式中，为空间旋转矩阵，可用三种不同形式表示。把式进一步整理，可得(7.19)或(7.20)式中D即为44位移矩阵。
6、在刚体空间运动方程中，有时用某特殊点p做为参考点，即该点在一个固定轴u上有两个位置，而刚体就沿着该轴做螺旋运动，也就是说，刚体以线位移沿滑动，同时又以角绕轴旋转，式可写成(7.21)式中，即为有限螺旋位移矩阵。位移矩阵的逆，用下式很容易求得，设位移矩阵为(7.22)式中为旋转矩阵，为向量，则有(7.23)7.1.4 旋转矩阵与位移矩阵的微分7.1.4.1 旋转矩阵的微分一个向量的旋转可用矩阵方程式描述为(7.24)式中，是以下几种可能形式之一表示的平面或空间旋转矩阵，如式、等。向量的位置对时间的变化率可通过对式微分而得(7.25)式中，是空间角速度矩阵。把式对时间求二阶导数，有(7.26)式中
7、，是空间角加速度矩阵。当旋转矩阵时，可用下述方法求和。由式，可确定为(7.27)式中由式确定。同样，有(7.28)即(7.29)(7.30)7.1.4.2 位移矩阵的微分用刚体上一参考点和欲求点所确定的向量，其在运动位置和任意位置之间的关系，可用式表示若由式，可得速度矩阵(7.31)由此得(7.32)式中就是速度矩阵。由式，同样可求得空间加速度矩阵，即(7.33)式中就是空间加速度矩阵。7.2 空间四杆机构运动分析7.2.1 空间四杆机构RSSR运动分析图为空间RSSR四杆机构。在坐标系中，已知另外，已知原动件2的运动。1位置分析在图中，构件3的长度与机构运动无关，因此可写出机构的位移约束方程
8、，即(7.34)式中，可根据给定的输入角来确定，即(7.35)而则为未知输出角的函数，即(7.36)式中(7.37)把式、代入式，经整理可得：(7.38)式中解三角方程式，可得(7.39)2速度分析将式对时间求一阶导数，可得速度约束方程式(7.40)式中(7.41)(7.42)把式代入，可得(7.43)求得后，可由式求得。3加速度分析把式对时间求二阶导数，有加速度约束方程为(7.44)式中(7.45)(7.46)上式代入式，经整理可得(7.47)7.2.2 习题空间RRSS机构（高老师高等空间机构学教材103页，矩阵法）空间RCCC机构（高老师高等空间机构学教材106页，矩阵法）7.3 空间串
9、联机器人运动分析7.3.1 3-RPR运动分析1. 空间相对运动在对空间机构进行运动分析之前，我们必须考虑两个既相互独立，而又相连接的刚体在运动副的约束下做相对运动的情形。为了描述运动刚体上某点的绝对运动（而该刚体本身又相对于动参考构件运动），如图所示，设运动链中的构件上的一点，在空间运动链中常见的圆柱副的约束下，相对于前一构件而运动。假定在相对运动的轴线上的参考点随构件一起运动。我们用和分别表示该两构件的绝对角位移。绕轴的相对角位移则用表示，旋转的同时还伴随有沿轴的滑移。每一个绝对角位移和都有一根相关的有限旋转轴和。2. 相对位移构件上某点的绝对位移，如图所示，可描述为参考构件上起初与相重合
10、的点的位移加上对构件的相对位移。这个相对位移可用旋转矩阵式或来描述。点的运动为构件的绝对运动所确定，而构件本身又可以对运动链中的构件有相对运动。3. RPR机构位置分析首先计算点的位置，设构件2绕固定轴转角，则(7.48)由下式确定点的位置(7.49)轴与的方向为(7.50)沿轴移动的和点的位置为(7.51)最后，可求出点的位置(7.52)把式代入式，有(7.53)上式是以螺旋矩阵方程的形式来表示总运动。要注意，必须有式中的、和来计算。4. RPR机构相对速度分析在图中，点的速度可按下述过程来求。首先求出参考构件2上与构件3上点相重合的点的速度，即(7.54)构件2上参考点的速度为(7.55)
11、由于点在构件3上，故圆柱副的相对速度（假定构件2暂时固定）为(7.56)式中，是相对速度，而，由此得(7.57)所以，构件3上点的绝对速度便为(7.58)在机构运动分析时，往往是固定点，即，故有(7.59)5. RPR机构相对加速度分析构件3上点，（如图所示）的加速度可用向量方程式来描述，即(7.60)式中参考构件2上与构件3上与点相重合的点的加速度；点对参考构件的相对加速度，其相对运动参数为；附加的科式加速度，它由参考构件以旋转而产生。所以，可导出各加速度分量为这样，有(7.61)若轴为固定的，参考构件只绕轴转动时，上式中，这是式使用时常见的情况。7.3.2 RRRRRR机械手运动分析图所示
12、RRRRRR机械手是有6个转动副和6个自由度的多用途机械手。按照图中所取坐标系，已知结构参数为：, , , , , 。设给定各转动副中的转角参数，要求确定手部夹持器在固定坐标系中的位置和姿态。夹持器位置和姿态矩阵方程式：其中l, m, n: z轴的方向余弦，u, v, w: x轴的方向余弦，由此可得：7.4 空间并联机器人运动分析7.4.1 6-SPS并联机构的位置分析1. 位置分析反解6-SPS并联机构上、下平台以6个分支相连，每个分支两端是两个球铰，中间是一个移动副。驱动器推动移动副作相对移动，改变各杆的长度，使上平台在空间的位置和姿态发生变化。若给定上平台在空间的位置和姿态，求各个杆长，
13、即各移动副的位移，这就是该机构的位置反解。在机构的上、下平台各建立一坐标系，如图所示，动坐标系建立在上平台上，定坐标系固定于下平台上。动坐标系是由定坐标系经过平移和旋转得到的。在动坐标系中的任一向量可以通过平移和旋转变换方法变换到固定坐标系中(7.62)式中的为上平台姿态相对下平台的旋转矩阵，为上平台原点位置矢量，即动坐标系的原点在固定坐标系中的坐标。当给定机构的各个结构尺寸后，利用几何关系，可以很容易写出上下平台各铰链点（）在各自坐标系中的坐标值，再由公式可求出上下平台铰链点在固定坐标系中的坐标值。这时6个驱动器杆长矢量（）可在固定坐标系中表示为(7.63)或(7.64)从而得到机构的位置反
14、解计算方程(7.65)上式是6个独立的显式方程，当已知机构的基本尺寸和上平台的位置和姿态后，就可以利用上式求出6个驱动器的位移。这里讨论的方法不但适用于6SPS机构，而且普遍适用于从6SPS机构演化出来的许多其他平台机构。从上面的讨论可以看出，6SPS类型的并联机构的位置反解是十分简单的，这正是这类机构的优点之一。7.5 参考文献1. Craig, J. J. (1986). Introduction to Robotics: Mechanics & Control. Addison-Wesley.2. Jazar, R. N. (2007). Theory of Applied Roboti
15、cs: Kinematics, Dynamics, and Control. Riverdale, NY: Springer. 3. Manseur, R. (2006). Robot Modeling and Kinematics. Boston: Da Vinci Engineering Press.4. Niku, S. B. (2001). Introduction to Robotics: Analysis, Systems, Applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.5. Tsai, L. W. (1999). Robo
16、t Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators. New York: John Wiley & Sons. 6. Uicker, J. J., Pennock, G. R., & Shigley, J. E. (2003). Theory of Machines and Mechanisms. New York, Oxford: Oxford University Press.7. 高峰. (1987). 高等机构学. 东北重型机械学院印(研究生用教材).8. 黄真, 赵永生, 赵铁石. (2006). 高等空间机构学. 北京: 高等教育出版社.9. 楼鸿棣, 邹慧君. (1987). 高等机械原理. 北京: 高等教育出版社.