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1、第三章导数及其应用第三讲生活中的优化问题知识梳理知识盘点1生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。（2）求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定。（3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。（4）还原到原实际问题中作答。特别提醒1利用导数解决实际问题，关键在于要建立适当的数学模型（即函数关系），如果函数在区间内只有一个点使得的情形，此时函数在这点有极大（小）值，那么可不与区间端点的函数值进行比较，也可以知识这一点即为最大（
2、小）值点。2实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键。基础闯关1将8分为两个数之和，使两数的立方和最小，则这两个数可分为（）A2和6B4和4C3和5D以上都不对2（2007年山东临沂）某汽车运输公司购买了一批毫华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车运营的总利润为（万元）与运营年数满足二次函数，则每辆客车运营多少年报废，才能使其运营年平均利润最大？（）A3B5C7D103设底面为正三角形的直棱柱的体积为，那么其表面积最小时，底面边长为（）ABCD4以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（）A10B15C25D505某工厂需要围建一个面积为512m2的
3、矩形堆料场，一边可以处用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁。当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为。6某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每价的售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元.那么订购件的合同会使公司的收益最大.典例精析例1某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？剖析银行收益=贷款收益存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数，利用导数求出函数的最值即可.解 设存款利息为
4、，则应用，依题意：存款量是，银行应支付的利息是，贷款的收益是，所以银行的收益是。由于，令，得或（舍去），又当时，；当时，所以当时，取得最大值，即当存款利率定为时，银行可获得最大利润。警示生活中的许多优化问题，往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题，在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数的定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数为0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点及最值，并解决实际问题。变式训练：1（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
5、（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？例2某公司是一家专做产品的国内外销售的企业，每一批产品上市销售天内全部售完。该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）。（）分别写出
6、国外市场的日销售量、国内市场的日销售量与第一批产品的上市时间的关系式；（）第一批产品上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过万元？剖析本题给出的是随着时间的不同，对应的日销售量的函数图象也不相同的问题，因此需要建立的函数解析式应为一个分段函数的形式，应针对自变量的取值不同分别求出其最大值，然后再进行比较。解解：（），（）；（）设每件产品的销售利润为，则，从而这家公司的日销售利润的解析式为(II)当时，在区间上单调递增，从而；当时，由；当时，.综上所述，第一批产品上市后，在第天，这家公司的日销售利润超过万元警示对于分段函数的问题，应该对于自变量分段进行考虑，对于每一段考虑其最值的情况，然后再将这
7、几段的最值情况综合起来进行比较。变式训练2某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间？当t=5时，第二次服药，问t时，药效是否连续？OO1例3（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？剖析本题可设的长度为变
8、量，根据题意建立关于的函数关系，利用导数进行求最值。解设OO1为，则,由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）故底面正六边形的面积为：=，（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得。令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。警示应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.变式训练3. 用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高
9、为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.OCBA例4某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知,且,曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在上,且一个顶点落在曲线段上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到此0.1).剖析矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC上的具体位置有关，因此应设法将落在OC上的点用一个变量来表示出来，然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首先建立直角坐标系。yxQNPOCBA解 以O点为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立直角
10、坐标系（如图所示），依题意可设抛物线为且C（4,2）.，故所设抛物线方程为.设是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，所以工业区的面积为，令，得，即。故当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数，时，取得最大值，此时所以因此，把工业园规划成长为为宽为的矩形，工业园的面积最大，最大面积约为警示本题的关键首先在于建立恰当的直角坐标系，得到曲线段的方程，然后才能建立面积的一个函数关系式。其还要注意，在利用导数求解生活中的优化问题时，常常会遇到下述情况：所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值，从而使优化问题得以解决。变式训练4甲方是一
11、农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？例5甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到
12、河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？剖析本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式. 技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系.解解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km,则BD=40,AC=50x,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：y=30(5ax)+5a (0x50)y=3a+,令y=0,
13、解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50x=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.解法二：设BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(),依题意，有f()=3a(5040cot)+5a =150a+40af()=40a令f()=0,得cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin= ,cot= ,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.警示解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”
14、译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）。变式训练5一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元，至于其它费用则每小时需要200元，问火车的速度多大才能使火车从甲城开往乙城的总费用最省（已知火车的最高速度为每小时100千米）？例6（2007年山东济宁一中）A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次
15、数为N.（1）求使P为最大的值；（2）求使N的期望值为最大的值及期望值。剖析可设P看作是关于的函数，得出的函数关系，再利用导数进行求最大值，这里需要注意.解（1）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为3；如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为于是将代入整理得 令即 当时，又（2）随机变量N的概率分布为N345Q则 而 这时，警示此题将导数与概率、期望与方差结合起来进行考查，像这种将知识点综合起来考查的问题，是今后高考命题的主要方向
16、，需要重点掌握。变式训练6在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售单位产品的收益称为收益函数，记为，将称为是利润函数，并记作.（1）如果，那么生产多少单位产品时，边际成本最低？（2）如果，产品的单价，那么怎样定价可使获得的利润最大？能力提升2内接于半径为5的半圆的周长最大的矩形的边长为（）A和B和C4和7D以上都不对3某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）A45.606万元B45.6万元C45.56万元D45.51万元4
17、某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1件正品，可获利200元，每生产1件次品损失100元。已知总收益与年产量（件）的函数关系是，则总利润最大时，每年应生产的产品件数为（）A100B150C200D300R6强度分别为的两个光源A、B间的距离为，在连结两光源的线段AB上，距光源A为点处照明强度最小（照明强度与光强度成正比，与光源距离的平方成反比）。7在如图所示的电路中，已知电源的内阻为，电动势为E.当外电阻R为时，才能使电功率最大，最大值为。8某厂生产某种电子元件，如果生产出1件正品，可获利200元，生产出1件次品则要损失100元。已知该厂制造电子元件过程中次品率与生产量（件）的函
18、数关系是，为了获得最大利润，该厂的日生产量应定为件。9某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为件时总利润最大。10（2006年山东东营）一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？11. 如图,把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖直六棱柱的盒子(不计接缝),要使所做成的盒子体积最大，问如何裁剪？12. 烟囱向其周围地区散落烟尘千成环境污
19、染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比。现有A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱喷出烟尘量的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低。仿真训练一选择题1与是定义在上的可导函数，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（2006年四川卷）曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.3曲线y=x3+3x2+6x10的切线中，斜率最小的切线方程是（）A.3x+y10=0B.3xy11=0C.x=1D.不存在4函数y=ax2+c在区间(0,+)内单调递增，则a、c应满足（）
20、A.a0且c=0B.a0且c是任意数C.a0且c0D. a0且c是任意实数5函数f(x)=x3ax2bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为A.B.C.D.以上皆错xyO图16（2006年东营）设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f (x)可能为（）xyOAxyOBxyOCyODx7已知f(x)=2x36x2+a(a是常数)在2，2上有极大值是3，那么在2，2上f(x)的最小值是（）A.5B.11C.29D.378抛物线与直线所围起的面积为（）AB. C. 18 D.169设函数有极值，则极值点为( ).A .B. C. D.10（2006年海淀区）
21、函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（）A.（,） B.（,2）C.（, ） D.（2,3）11（2007年山东省实验中学）已知（m为常数）在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值为（ ） A5B11C29D3712（2007年广东徐闻一中）如果函数y=x2+ax1在区间0，3上有最小值2，那么a的值是（ ）A2 B C2 D2或二填空题13（2006年福建卷）已知直线与抛物线相切，则14函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为.15某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为 .16已知函数在上恒正，则实数的取
22、值范围是.三解答题17已知二次函数满足：在时有极值；图象过点，且在该点处的切线与直线平行（1）求的解析式；（2）求函数的单调递增区间.18已知函数的极大值为。 （）求实数的值；（）当时，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围。（）当时，函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围。19（2006年全国I）已知函数.（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。20已知为抛物线上的点，直线过点，且与抛物线相切，直线：交抛物线于点，交直线于点.（1）求直线的方程；（2）求的面积；21已知函数f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。22（2006年四川卷）已知函数，其中是的导函数（）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点。