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1、第四章 曲线运动 万有引力定律 第单元 万有引力定律 人造地球卫星巩固:夯实基础一、万有引力定律1.万有引力定律的内容和公式（1）内容：自然界中任何两个物体都是互相吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比.（2）公式：F=G，其中G=6.6710-11 Nm2/kg2，叫引力常量，它是在牛顿发现万有引力定律一百多年后由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的.2.适用条件：公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体也可视为质量集中于球心的质点，r是球心间的距离.二、应用万有引力定律分析天体的运动1.基本方法
2、：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.G=m=m2R=m()2R.应用时可根据具体情况选用适当的公式进行分析或计算.2.天体质量M、密度的估算：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径R和周期T，由G=mR得（1）M=,(2)=(R0为天体的半径）.当卫星沿天体表面绕天体运行时，R=R0，则=.3.卫星的环绕速度、周期与半径R的关系（1）由G=m得v=，可见，卫星的轨道半径R越大，其绕行的线速度v越小.（2）由=mR得T=，可见，卫星的轨道半径R越大的卫星，其周期T越长.（注意：上述讨论都是卫星稳定做匀速圆周运动的情况，而非变轨时的情况）4.三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速
3、度）：v1=7.9 km/s,是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度.（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v2=11.2 km/s,是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7 km/s,是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.5.地球同步卫星所谓地球同步卫星，是指相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24 h.同步卫星必须位于赤道正上方离地面高度h=3.6104 km处.理解：要点诠释考点一 重力和万有引力重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的.由于地球自转角速度很小，所以物体的重力和地球对该物体的万
4、有引力差别很小，一般可认为二者大小相等，即mg=G.式中g为地球表面附近的重力加速度，R0为地球的半径.所以在求第一宇宙速度时，可以用G=m,也可以用mg=m.考点二 随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度 放于地面上的物体随地球自转所需的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供.两个向心力的数值相差很大.如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N.对应的两个向心加速度的计算方法也不同.见后面诱思实例点拨中的例5.考点三 卫星在轨道变化期间相关物理量变化的讨论 例：
5、一艘飞船绕地球做匀速圆周运动，假定在某时刻其绕行速度突然变小，它也不向外喷射气体，经过一段时间后飞船重新在另一轨道上稳定地做匀速圆周运动，从提供的向心力F供与需要的向心力F需之间的关系分析，当F供F需时，飞船将不能做固定轨道半径的匀速圆周运动.由于飞船的速度突然变小，在此瞬间由飞船的轨道半径不变，提供的向心力F供=将大于所需要的向心力F需=m，所以飞船将向低轨道上飞去，在此过程中，引力做正功，重力势能减少，因此飞船的动能增加.其速度变大，当F供与F需再次相等时，飞船重新开始做匀速圆周运动.通过上述分析也可知：要使飞船与高轨道的空间站对接，飞船应加速才可能.链接提示 （1）根据不同的需要，可以发
6、射各种不同轨道的卫星，如极地卫星、太阳同步卫星、地球同步卫星等，对于任何轨道的人造地球卫星，其轨道平面一定通过地心.对于地球同步卫星，其轨道平面只能和赤道平面重合，且只能发射到特定的高度，以特定的速率运行. （2）双星天体的运动要明确它们的特点：双星的角速度和周期是相同的，且它们的绕行方向相同；双星的引力半径与双星各自的轨道半径不同，引力半径为双星轨道半径之和；双星的圆周轨道共圆心. （3）涉及万有引力的问题，首先要掌握万有引力定律及其应用，其次要理解宇宙速度和人造卫星的原理及其运行规律，特别是要熟练运用万有引力定律、牛顿第二定律及匀速圆周运动规律来分析有关人造地球卫星的问题.考点四 运行速度
7、和发射速度 对于人造地球卫星，由G=m得v=,该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小.如果卫星发射速度为，即第一宇宙速度，则卫星绕地球表面运动；如果卫星的发射速度大于，则F供F需，卫星将做离心运动而到较高的轨道上运动.所以高空卫星的发射速度大于低空卫星的发射速度.实际上地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增加重力势能，所以将卫星发射到离地面越远的高轨道上去，在地面所需要的发射速度就越大.典例剖析【例1】(2005江苏高考)某人造卫星运动的轨道可近似看作以地心为中心的圆.由于阻力作用,人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2,用Ek1、E k2分别表示卫星在这两
8、个轨道上的动能,则( )A.r1r2,E k1E k2 B.r1r2,E k1E k2 C.r1r2,E k1E k2 D.r1r2,E k1E k2解析：卫星因为受阻力作用而损失机械能,运行的轨道半径将减小,即r1r2.当卫星落到低轨道上重新稳定做匀速圆周运动时，其v=,由于r减小，则v增大，故E k1E k2,则B选项正确.答案：B点评：卫星在稳定地做匀速圆周运动时，F供=F需；当卫星在变轨过程中，要根据F供与F需的大小关系判断卫星的轨道半径变化，并结合引力做功判断势能变化.【例2】(2005全国高考理综)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）A
9、.火星和地球的质量之比B.火星和太阳的质量之比C.火星和地球到太阳的距离之比D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比解析：由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律，=k,k为与太阳质量相关的常量，又v=，则可知火星和地球到太阳的距离之比和运行速度大小之比，所以C、D选项正确.答案：CD点评：利用开普勒第三定律可便捷地找到结果，如果运用万有引力定律结合向心力公式也可求出，因为=m()2r，可得=k.【例3】(2005全国高考理综)已知万有引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）A.月球的质量 B.地球的质量C.地球的半
10、径 D.月球绕地球运行速度的大小解析：由G=m()2R,得M=，可计算出地球的质量，又v=可计算出月球绕地球运行速度的大小，所以B、D选项正确.答案：BD点评：掌握应用万有引力定律结合向心力公式分析天体的运动的基本方法是解决该问题的关键.【例4】(2005北京高考理综)已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍.不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出( )A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为98B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为94C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为89D.靠近地球表面沿
11、圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为814解析：由=，可得=，A选项错误.由G=mg，可得=，B选项错误.由G=m()2r,=，C选项正确.由v=可得=，所以D选项错误.答案：C点评：该题是一个典型的比值问题，在计算时要细致.【例5】 同步卫星离地心距离为r,运行速率为v1，加速度为a1;地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是（ ）A.= B.=()2 C.= D.=()解析：设地球质量为M，同步卫星的质量为m1;地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面上空附近的物体质量为m2，根据向心力与角速度关系
12、有：a1=12r a2=22R .由于是同步卫星，则1为地球的自转角速度，地球赤道上的物体随地球一起自转，其角速度2也为地球自转角速度，则1=2 ,故=,A选项正确.由万有引力定律得，=m1 ,G=m2 ,解式得：=,故D选项正确.答案：AD点评：本题的关键是区分三个研究对象：同步卫星、地球赤道上随地球自转的物体及在地球表面上空附近的地球卫星；以及区分两个匀速圆周运动：一个是随地球自转的匀速圆周运动，另一个是绕地球的卫星的匀速圆周运动.【例6】(2005广东高考)已知万有引力常量G,地球半径R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度h,月球绕地球的运转周期T1,地球的自转周期T2,地球表
13、面的重力加速度g.某同学根据以上条件,提出一种估算地球质量M的方法:同步卫星绕地心做圆周运动,由G=m()2h，得M=.(1)请判断上面的结果是否正确,并说明理由.如不正确,请给出正确的解法和结果.(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.解析：（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略.正确的解法和结果:G=m()2(R+h)得M=.(2)方法一:对月球绕地球做圆周运动,由=m()2r，得M=.方法二:在地面附近重力近似等于万有引力,由G=mg，得M=.答案：见解析点评：（1）卫星绕地球运行的轨道半径是两球心间的距离，即地球的半径不能忽略.（2）在地球表面，物体的重力可近似看作等于万有引力，即mg=G,将g=称为黄金代换式，此式很重要.