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1、3.4 观察实体 想象线面 实践编教材1. 空间图形实验课(7)教案课题：三垂线定理时间：1986.12.3.18:30-20:10班级：无锡市崇安职校高一(二)班（地点:市八中）教学目的：通过对正棱锥的观察，发现棱锥高、斜高及其射影、底边之间的位置关系；猜想并证明三垂线定理；类比证明三垂线定理的逆定理。探索教材改革，以实体为载体认识线面关系的途径. 教学过程与内容：一观察正棱锥1观察正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥与正六棱锥的实物。2定义：一个棱锥，如果它的底面是正多边形，且顶点到底面的垂足是底面正多边形的中心，那么这样的棱锥叫做正棱锥，否则统称为斜棱锥。3观察可以发现正棱锥有下列性质：（1）正
2、棱锥的侧棱都相等；（2）正棱锥的侧面都是全等的等腰三角形；（3）正棱锥侧面三角形中底边上的高都相等，称为斜高。4提出问题：正棱锥的高、斜高及其射影、底边之间的位置关系怎样？启发学生发现高、斜高的射影、底边是两两垂直的；斜高与底边也是垂直的。二猜想并证明三垂线定理1一般化。在平面内的的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线是否垂直呢？点题：三垂线定理。2先猜后证。已知：PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在内的射影，AO。求证：PO。证明：因为PA平面，所以，PA；因为AO，AOPA=A，所以平面PAO，所以PO。3定理中涉及到的几何元素：（1）一个平面；（2）四条直线
3、：平面的垂线PA；平面的斜线PO；斜线在这个平面内的射影AO；平面内的一条直线。（3）三条垂线：PA是平面的垂线，AO是的垂线，PO也是的垂线在“一面、四线、三垂直”中，平面的垂线是关键，是应用时首先应找的条件4说明平面内必存在与该平面的斜线垂直的直线，可以相交，也可以异面可有四种情况，图形特征为：5三垂线定理可作为线线垂直的判定定理三逆向思考，类比证明三垂线定理的逆定理1三垂线逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直2类比三垂线定理的证明，请学生给出逆定理的证明。3三垂线定理及其逆定理广泛地应用于斜线及其射影的计算。四应用，启发学生自己
4、解答例1 如图，三棱锥S-ABC中，已知SC平面ABC，ACB是直角，AC=40，BC=30，SC=18，求S到AB的距离以及三棱锥的侧面积。例2 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成的二面角的度数）为60，山坡上的一条小路AD（直线）与底坡AB成30角，沿这条小路前进100m后升高多少？例3 在平截面为正方形的房屋上设计一个屋顶（如图），可以向一面倾斜（甲），也可以向两面倾斜（乙），或可向四面倾斜（丙），规定倾斜角都是，问何种屋顶所需屋面材料最少？以上例题后来均编入江苏教育出版社1992年出版的江苏省成人高中数学课本与1995年南京师范大学出版社修改再版的成人高中数学课本，解略。五小结并布置
5、作业（略）2回顾与反思1986年，江苏省教育厅组织我们编写一套适合成人高中的数学教材，由我执笔编写“空间图形”等章节。为了完成这个任务，我们进行了两轮实验，用自己编写的教材试教，开实验课，广泛听取各地老师、广大学员的意见。上面的教案就是在第一轮实验中的第7次课，特地请苏、锡、常老师评课后，作了修改，再进行第二轮实验后的修改稿。在两轮实验中，我们深切体会到在成人教育的教材中，增添合情推理的内容是必要的。例如，从对特殊的空间几何体的观察入手，认识空间图形；以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；以棱锥为载体，抽象出三垂线定理等等。现在对照最新的国家教育部制定的普通高中数学课程标准(
6、实验)，有点欣慰：我们的教材改革思路对了，立体几何教材终于改革过来了。下面是1992年，我们编写的、江苏教育出版社出版的江苏省成人高中数学课本问世前后，我在无锡，在江苏，在苏、浙、闽等省市的数学年会上发表的空间图形的编写汇报。反映了我们对教材改革、对数学方法论的认识。空间想象能力是中学数学教学大纲中明确规定的数学教学中应着重培养的能力之一，在中学阶段，培养学生的空间想象能力主要是通过研究空间图形的性质、画法、计算及它们的应用来实现的，因此，把立体几何作为成人高中数学教学内容毫无疑问是非常必要的，这不仅对培养成人学员的空间想象能力起着极其重要的作用，而且对拓宽成人学员的知识面与进一步发展学员的逻
7、辑思维能力、分析能力和解决问题的能力都有着不可忽视的意义。然而，在普通中学里，学生们都感到立体几何入门难，空间想象能力总是“立”不起来，何况基础较差、精力分散的成人学员学习立体几何呢？这迫使我们感到有必要改革教材，使之符合成人基础，符合成人特点，符合成人学情，符合人的认识规律。为此，我们分别于86年10月、87年6月先后作了两轮教材改革实验，编写了空间图形教材（共三稿）对学情调查与实验所得的数据作了统计分析，得出了改革教材显著适用于成人文科高中学员的结论。在这基础上，我们又作了进一步的修改，力求自身严密，适当提高要求，以作为江苏省成人高中数学教材。这儿，就新编教材的编写思想向大家作一汇报，敬请
8、批评指正。 一新教材的编写思路编写教材，必须有不同于传统教材的新的编写思路，否则新教材无新意，编写教材的意义也就不大了。新教材的编写思路诞生于对传统教材的改革之中。传统教材力求把空间图形的知识组织成演绎结构系统来进行教学，先建立公理系统，研究抽象的平面与直线的概念及其位置关系，在这基础上再研究具体的几何体，推导它们的性质。其主要功能在于注重演绎性知识的传授和强调逻辑演绎推理的训练。在知识的处理上偏重于知识的罗列与论证，轻视结论的产生过程，这样就违背了人的由具体到抽象，由特殊到一般的认识规律；忽视了知识的发生和发展过程中所蕴含的丰富的教育和培养因素与学生的心理结构；削弱了教学过程中直觉发现、思维
9、训练、能力培养的教学内容；造成了学生学习困难，空间想象能力建立不起来、望而生畏的后果。从数学方法论的角度来看，数学真理知识的发现、发展离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程。掌握这个过程中的数学思想方法往往比掌握数学结论的意义更为重要，影响更为深远，也更有价值。因此，新编教材应注意展示知识的发生发展过程，要教会学生运用数学方法从特殊的例子中发现出一般的结论来，从具体的问题中推想出抽象的规律来，实践证明，这样做学生理解知识容易，掌握知识牢固，从而有利于知识的能力的迁移，形成教学过程的良性循环。于是，我们认为新编空间图形教材的思路应该是：遵循人的认识规律，贯彻数学思想方
10、法，重视学生心理因素，体现教学大纲要求。在总体设计上，突破传统教材先研究抽象的线、面再研究具体的几何体的框框，而从最简单常见的长方体开始，则特殊到一般地研究几何体，并在具体的几何体中逐步抽象出直线、平面等基本概念以及它们的位置关系。二新教材的编写原则编写教材都有一定的编写原则，教材改革不能违背教材编写的基本原则，新教材的编写坚持贯彻了这些原则。1思想性原则。如新教材中突出了祖暅原理，以激励学员的爱国主义热忱；指出了柱、锥、台之间在一定条件下可以互相转化的关系，对学员进行辩证唯物主义观点的教育。2科学性原则。新教材中注意到精确定义每一概念，严密阐述每一定理，做到前后知识无矛盾，如先讲长方体，给出
11、直观的描述，然后在棱柱中再指出长方体是底面为长方形的直平行六面体。3系统性原则。新教材虽然改变了传统教材的编写体系，但没有脱离立体几何的知识体系，仅仅在知识安排顺序上作了些调动，以顾及成人学员的学习特点，在教材后面又作了系统的小结。4直观性原则。新教材中概念、定理的引入尽可能从学员熟悉的生产、生活实例中引出，采用直观载体的方法讨论线、面的位置关系，使学员空间想象能力在具体的几何体中逐步建立，发展。5实用性原则。新教材注意到密切联系实际，不仅在实际中提出问题，而且在例题、习题中增选了实际应用方面的问题，以“直接”、“有效”地为经济建设服务。新教材编写时除了执行上述原则之外，还突出体现成人学习特点
12、的针对性原则，一方面，我们从成人学员基础差、精力分散的实际出发，重视学员的学习心理特点，在编写教材中注意了以下几点：1精简教学内容、减少定理证明。如把线、面关系的判别定理连同它们的定义同时给出，不再论证。2突出教学重点，淡化次要内容，如突出线、面关系中的平行与垂直、几何体的求积公式，在小结中系统总结了线面关系判别法，从特殊到一般 多面体 旋转体从 具 长方体棱 柱圆 柱体 棱 锥 圆 锥到 棱 台 圆 台抽 球 象 空间几何体的性质、画法、求积公式与应用 抽象 抽象 平 面 空间两平面空间两直线 三垂线定理直线与平面 以强干削枝。3类比平几知识，比较概念异同。如尽可能从平面几何与立体几何的联系
13、中引入新的内容，进行类比，并用表格形式表述内容，比较概念异同，说明内容间的内在联系。4删去繁难习题，加强基础练习，如把有二重根号的习题去掉，而增加了线、面关系的判断题、选择题。另一方面，我们又没有迁就学员的基础，降底国家教委提出的“同层次，同规格，同水平”的教育质量要求，像国内外有些教材或者作部分定理的介绍，肢解立体几何这门课程；或者完全淡化定理证明，背离了培养学员空间逻辑论证能力这一教学目的。在新教材中，我们介绍了反证法、拼接法、旋转法等开拓学员思想方法的例证，布置了少量简单的证明题作为练习。三新教材的认知结构课程论认为教材的结构不仅要注意教材的逻辑结构、学科的知识结构，而且还要处理好学员的心理结构，社会的政治、经济、思想、文化结构，这四个结构要尽量做到和谐与统一，新教材在这个方面作了一定的努力。新教材的逻辑与知识结构可以列成下表：（附表）由表可见，新教材的知识体系的知识体系与传统教材是类似的，但突出了几何体的性质、画法、求积公式与应用的中心位置。新教材的逻辑结构则突出了从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的认知过程。因此，这样的结构也符合学员的心理特点。又由于教材中，注重了把知识教学与数学方法教学融为一体，因此有利于开发智力，培养学员的能力，提高学员的素质，进而符合社会的需求。正是：教材改革需实验， 认识过程应展现.