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1、中学代数研究问题要点（内容与要求）第一章 数与数系1.1 数系的历史发展1、 数系的扩展过程：（1）人类对于数的认识历史的整理 （2）由公理系统逻辑整理 （3）中小学数系扩展的过程：2、数系扩展的方法：（1）添加元素法 （2）构造法3、中小学数系扩展的方法：在中小学数学课程中，考虑到中小学生的心理特点和接受能力，采用近代数学观点：添加元素并强调运算的方法进行。4、 新“数”获得承认的主要原因：算法是否合理，即运算的无矛盾性1.2 自然数系和01、 关于自然数的序数理论（1）自然数的公理系统（2）自然数运算的定义与性质（3）了解自然数系的序结构2、数学归纳法的逻辑依据是自然数（皮亚诺）公理五归纳
2、公理，数学归纳法是自然数的序数理论合理性的保证。3、数学归纳法的语言模式4、中小学数系教学建议（1）不用公理化方法构造数系；（2）整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。1.3 从自然数系到整数环1、 负数的引入（1） 公理化方法引入（2） 中学有关教学顺序：具有相反意义的量运算法则顺序绝对值的（几何、代数）意义2、 整数在生活中的应用。1.4 有理数系1、 有理数的意义成比例的数就是合理的即为有理数， 不成比例的数就是无理的即为无理数。2、 有理数的三种定义（无本质区别）（1）将单位1平均分为若干分，表示这样的一份或几份的数，称为分数。（2）分数是两个整数相除所得的商。（小学定义）（3）分数
3、是一对整数之比， （有些形式化的定义）两点注意：（1）的意义 （2）为什么分数的分母不能为零？3、了解分数的形式化定义4、了解Q是域5、了解有理数系的性质1.5 实 数 系1、了解什么是不可公度？2、了解无理数的三种定义3、证明无理数的方法反证法 证明有理数的方法写成分数形式或者证明是循环小数。1.6 复 数 系1、 了解复数的发展过程2、 了解复数的意义3、 了解中学复数的内容体系4、 掌握复数的引入5、数集所具有性质总结归纳如下：数 集自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R复数集C主 要 性 质代数结构离 散 性稠 密 性有 序 性有序环或域连 续 性可换半群整环域域域6、了解数系的理论在中
4、小学数学教学中的要求；了解中小学数系理论的教学方法及教育价值。第二章 式、代数式与不等式2.1 数学符号简史1、了解数学符号简史2.2 数学符号语言代数式1、 了解数学符号的历史2、 了解数学符号的作用3、 了解中学教学中数学符号的地位2.3 字母表示数1、 了解中学字母表示数的定义方式与要求2、 掌握字母表示数的四个层次3、 掌握字母表示数的意义2.4 解 析 式1、 了解解析式的定义及分类2、 掌握等式的定义及分类3、 掌握不等式的定义及分类4、了解中学解析式教学建议。2.5 绝对不等式的证明1、 掌握不等式证明的方法：常识性理解的论证、综合法和分析法、放缩法、构造法（构造函数、构造几何图
5、形）、反证法2.6 条件不等式的求解1、掌握不等式求解的方法： 转化思想、分类讨论、图解法、利用同解变形求解、含参数不等式求解的方法第三章 方 程3.1 方程的历史发展及其科学价值1、 了解方程发展简史2、 了解方程在中学数学中的地位与作用3、 理解方程的科学价值3.2 方程的定义1、理解方程的定义（中学的定义、逻辑定义、解析式定义）2、理解方程的分类3.3 同解方程1、 理解一元方程同解的定义；2、 掌握同解判定定理。3.4 几种常见方程的变形1、理解并掌握分式方程的三种变形及依据；2、理解并掌握无理方程的四种变形及依据；3、理解并掌握对数方程的变形及依据，掌握对数方程的求法及依据；4、理解
6、并掌握指数方程的变形及依据，掌握指数方程的求法及依据；5、理解并掌握三角方程的变形及依据，掌握三角方程的求法及依据；6、理解并掌握复合方程的变形及依据，掌握复合方程的求法及依据；3.5 解方程的常用方法1、理解解方程及方程组的基本思想；2、理解并掌握换元法，明确换元法的适用范围；3、理解并掌握引入参数法，明确引入参数法的适用范围；4、理解并掌握二项方程和三项方程的解法；5、理解并掌握因式分解法，明确因式分解法的适用范围；6、理解并掌握图像法，明确图像法的适用范围；7、理解并掌握待定系数法，明确待定系数法的适用范围；8、理解并掌握方程组的解法；3.6 一元三次、四次以及高次方程1、了解一元三次方
7、程的解法；2、了解一元四次方程的解法；3、了解五次及五次以上代数方程的解的情况。4、了解代数基本定理。3.7 达公式、方程根的性质1、理解并掌握一元二次、高次方程根与系数的关系；2、理解并掌握利用变换求解一元高次方程的方法。3.8 不定方程与中国剩余定理1、了解不定方程的特点，了解百鸡问题；2、掌握二元一次不定方程、三元不定方程（组）的解法。第四章 函数4.1函数的发展及其科学价值1、了解函数概念的地位；2、了解函数概念的发展过程；3、了解关于函数概念的三种学说；4、了解初等函数在中学数学教学中的要求；了解中学初等函数的教学方法及教育价值。4.2函数概念的三种定义1、理解函数概念的三种定义方式
8、；2、了解映射的概念；理解函数、反函数的概念；3、理解互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。4.3 初等函数1、掌握基本初等函数的概念、性质和图象。2、理解初等函数的概念、分类；了解代数函数、基本超越函数的定义。3、了解初等函数与微积分的关系、无理数幂的问题；了解对数的意义；4、了解三角函数的地位；5、掌握用初等方法讨论初等函数的定义域、值域和特殊的性质。4.4函数的图像与函数的特征1、掌握初等函数图象的作法。2、掌握简单初等函数的图像及性质；3、会利用函数图像求解有关问题；4、掌握函数的一些主要性质有界性、奇偶性、单调性、周期性。4.5函数概念的教学1、了解中学函数概念从“
9、变量说”过渡到“对应说”的过程；2、弄清函数与代数式、方程、不等式及函数图像的关系；3、明确函数教学中利用变量间的依赖关系，构造函数模型的教学过程；4、明确函数的三种表示方法及实际意义；5、明确“变量说”与“对应说”是认识函数概念的不同方面；6、重视抽象地、符号地了解的意义的教学；7、明确利用美国杜宾斯基的概念教学理论进行函数概念的教学方法。第五章 数 列5.1数列简史1、了解数列概念发展的历史；2、了解高阶等差数列概念发展的历史；3、了解斐波那契数列发展的历史及价值。5.2 中学数学里的数列及其求和1、了解中学数列教学内容的编排特点及作用；2、掌握数列的定义及其表示方法；3、了解有限数列的通
10、项和拉格朗日插值公式；4、掌握数列求和法；5.3等差数列与等比数列1、掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式和求前项和公式；2、掌握等差（比）中项的概念；掌握等差数列与等比数列的性质；5.4数列的差分与高阶等差数列1、了解数列的差分；2、了解高阶等差数列。5.5线性递归数列1、了解递归数列的定义及通项公式的求法；2、了解线性递归数列的定义。5.6数列应用举例1、掌握利用等比数列求和法解决复利等实际问题；5.7数列与数学归纳法1、了解数列与数学归纳法的关系；2、了解数列在中学数学教学中的要求；了解中学数列的教学方法及教育价值。第六章 算 法1、了解算法在中学数学教学中的要求；了解中学算法的教学方法及教育价值。第七章 中学代数问题精选1、了解中学代数问题的主要课题；2、掌握解决中学代数问题的常规思想方法。