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1、变分法简介 众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我众所周知，平面上两点的距离以直线段最短，现在我们用数学的方法来推导这一结论们用数学的方法来推导这一结论.设平面上两定点为设平面上两定点为 和和 这两点的这两点的连线的方程为连线的方程为 弧段弧段 的长为的长为 显然函数显然函数 还需满足条件还需满足条件:则原问题转变为求函数则原问题转变为求函数 使得使得成立并使成立并使弧长弧长 取最小值。取最小值。由于由于 故积分故积分当当 时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到时取最小值，即该曲线为直线段时距离达到最小值。最小值。一、固定端点的简洁泛函极值问题一、固定端点的简洁泛函极值问题 设设 为函
2、数类，若有法则，使在该法则之下，对为函数类，若有法则，使在该法则之下，对中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，中的每一个元素都可以确定一个相应的数与之对应，则称该法则为则称该法则为 上的一个泛函。上的一个泛函。例如，取例如，取 区间上的黎曼可积函数区间上的黎曼可积函数类，定义泛函类，定义泛函 为为在此定义之下，函数类在此定义之下，函数类 称为泛函的定义域，泛函一称为泛函的定义域，泛函一般记为般记为 考虑简洁泛函考虑简洁泛函其中，函数其中，函数 且且问题是求函数问题是求函数 满足条件满足条件，并使由，并使由式定式定义的泛函取得极小值或极大值。这样的问题称为泛函义的泛函取得极小值或极大值。
3、这样的问题称为泛函极值问题。极值问题。假设函数假设函数 使泛函使泛函 取得极值，任取得极值，任意取得函数意取得函数 要求它满足条件要求它满足条件 若限制函数在若限制函数在 的范围中，则函的范围中，则函数数在在 时取得极值。时取得极值。由函数取得极值的必要条件，有由函数取得极值的必要条件，有 因因再由复合函数微分法，得再由复合函数微分法，得再由分部积分公式，其次项积分可化为再由分部积分公式，其次项积分可化为由由得得因而有因而有所以，所以，由函数由函数 的任意性及因子的任意性及因子 的连续性，的连续性，则有则有 是使泛函是使泛函 取得极值的函取得极值的函数应满足的方程。这个方程成为数应满足的方程。
4、这个方程成为Eular方程。方程。留意到，留意到，Eular方程经绽开后，成为方程经绽开后，成为该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件该方程为一个二阶常微分方程，方程的解还需满足条件，即，即 二、固定端点的简洁泛函的条件极值问题二、固定端点的简洁泛函的条件极值问题 考虑简洁泛函考虑简洁泛函其中函数其中函数 且且及满足条件及满足条件求函数求函数 满足条件满足条件和和并使由并使由式定义的泛式定义的泛函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。函取得极小值。这样的问题就称为泛函条件极值问题。犹如条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数犹如条件极值，泛函条件极值问题也可拉格朗日乘数法加
5、以解决。为此作协助函数法加以解决。为此作协助函数和协助泛函和协助泛函其中其中 为引入的待定常数。为引入的待定常数。得到的使泛函得到的使泛函 取极值的函数取极值的函数 即为即为原问题的解。原问题的解。赛跑的最优速度支配 问题问题 赛跑时运动员要依据自己的体力来合理支配速赛跑时运动员要依据自己的体力来合理支配速度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得度是重要的技术问题。能充分发挥运动员的潜力。使得竞赛的成果有所提高。那么如何支配体能使竞赛成果达竞赛的成果有所提高。那么如何支配体能使竞赛成果达到最佳？到最佳？假设假设 1.运动员能发挥出的最大冲力是有限的。在除了其它运动员能发挥出的最大冲力是
6、有限的。在除了其它因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。因素的干扰下，每个运动员认为自己的最大冲力是常数。2.在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力在运动的时候，来自体外的阻力和来自体内的阻力存在，与速度成正比；存在，与速度成正比；3.在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，在运动过程中，运动员通过呼吸从外界吸入氧气，然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作然后通过体内的消化系统、血液系统等进行新陈代谢作用，为运动员供应能量。假定运动员足够强壮，使得这用，为运动员供应能量。假定运动员足够强壮，使得这种能量的供应速度在运动期间保持常量。种能量的供应速度在运动期间保持
7、常量。4.运动员在运动过程中体内所存储的能量是渐渐削减运动员在运动过程中体内所存储的能量是渐渐削减的。对每个运动员来说，在平常能供应的体能可设为常的。对每个运动员来说，在平常能供应的体能可设为常量。这个量就是运动刚起先时体能的初始值。量。这个量就是运动刚起先时体能的初始值。建模建模 假设比赛距离为假设比赛距离为 运动员跑的时间为运动员跑的时间为 速度函数为速度函数为 则有则有则问题转变为求速度则问题转变为求速度 使得在赛跑距离使得在赛跑距离 一定时，一定时，赛跑时间赛跑时间 取得最小值。该问题等价于求速度函数取得最小值。该问题等价于求速度函数使得在赛跑时间一定时，赛跑的距离使得在赛跑时间一定时
8、，赛跑的距离 取得最大值。取得最大值。记记 为运动员能够发挥出来的冲力函数。记为运动员能够发挥出来的冲力函数。记 为为运动员的最大冲力，则有运动员的最大冲力，则有 记记 为体内外的总阻力系数。由假设为体内外的总阻力系数。由假设2总阻力为总阻力为则由牛顿定律，有则由牛顿定律，有其中其中 为为运动员的质量。取为为运动员的质量。取 则则式可写为式可写为初始条件为初始条件为从而问题转变成如何控制函数从而问题转变成如何控制函数 使得在赛跑时间使得在赛跑时间一定时，由一定时，由和和所确定的赛跑距离所确定的赛跑距离 达到最大。达到最大。记记 为运动员的体能函数，为运动员的体能函数，为运动员体能的最为运动员体
9、能的最大值，由假设大值，由假设4，知，知 为常量，且有为常量，且有 记记 为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供为在单位时间内由氧的新陈代谢为运动员所提供能量，由假设能量，由假设3，为常量，单位时间内体能的变化为由为常量，单位时间内体能的变化为由氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为氧的新陈代谢为运动员所提供能量和所消耗的能量（为获得速度获得速度 而所作的功而所作的功 ）的差，即）的差，即现在的问题是：寻找合适的函数现在的问题是：寻找合适的函数 使使得在赛跑时间得在赛跑时间 一定时，由一定时，由，所确定的赛跑距所确定的赛跑距离离 达到最大值。达到最大值。解模解模 把整个过程分成三
10、个阶段：初始阶段、中间阶段和最把整个过程分成三个阶段：初始阶段、中间阶段和最后阶段。后阶段。1.初始阶段初始阶段 这个阶段的时间段为这个阶段的时间段为 其中其中 为待定的常量，且为待定的常量，且 在这个阶段中，赛跑的速度为在这个阶段中，赛跑的速度为 在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最在这个阶段中，假设运动员是以全力赛跑的，即以最大的冲力在加速跑。此时即有大的冲力在加速跑。此时即有 从而方程从而方程为为由由和初始条件和初始条件 可解出可解出将将代入代入，则，则变成变成由由及初始条件可得及初始条件可得在在中应有中应有因因 及及由连续函数的零点定理，知存在某个时刻由连续函数的零点定理，知
11、存在某个时刻 使得使得若运动员赛跑的时间若运动员赛跑的时间 则运动员应当以最大的冲则运动员应当以最大的冲力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即力去赛跑，此时赛跑只有初始阶段，即如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持如果让运动员用最大冲力去跑，而要保持 则则能跑的最大距离为能跑的最大距离为所以，若赛程不超过所以，若赛程不超过 则运动员应该以最大的冲力来则运动员应该以最大的冲力来跑才是最优策略。跑才是最优策略。2.最终阶段最终阶段 设此阶段为设此阶段为 其中其中 为待定参数，且为待定参数，且而赛跑速度为而赛跑速度为 假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量运用假设在这个时段中运动员已经把全部存储的能量
12、运用完了，而是依靠在完了，而是依靠在 时获得的速度的惯性来冲刺。因此时获得的速度的惯性来冲刺。因此有有将将代入代入，得，得由条件由条件，得，得该方程可写成该方程可写成相应的解为相应的解为其中其中 为这个阶段的初始速度。为这个阶段的初始速度。3.中间阶段中间阶段 为了确定数值为了确定数值 设该阶段为设该阶段为 赛跑速赛跑速度为度为 现求取得最大赛程现求取得最大赛程 时的速度时的速度 由于在初始阶段和最终阶段的速度都已经有了相应的由于在初始阶段和最终阶段的速度都已经有了相应的表达式表达式和和，故赛程为，故赛程为其中其中 还满足还满足 由方程由方程及初始条件，得方程及初始条件，得方程当当 时得到时得
13、到 现在的问题是，在条件现在的问题是，在条件满足的条件下，求泛函满足的条件下，求泛函的的极值。由极值。由Lagrange乘数法，作协助泛函乘数法，作协助泛函在上式中将与在上式中将与 无关的量略去，则可写成无关的量略去，则可写成在上式中，第一项依赖于在上式中，第一项依赖于 后两项依赖于数值后两项依赖于数值因而上式是对函数因而上式是对函数 的泛函极值问题。对函数的泛函极值问题。对函数 是是函数的极值问题，由函数的极值问题，由Eular方程，有方程，有即即从中解出从中解出 4.确定参数确定参数 因因 是连续函数，故在是连续函数，故在 时有时有即得即得(21)(21)(22)(22)(24)(24)在
14、在(21)(21)中将中将 代入后积分得代入后积分得在最后阶段能量为零，把在最后阶段能量为零，把 代入能量公式代入能量公式，并积，并积分得分得(24)(24)(25)由由(23)、(24)和和(25)可确定三个参数，由此可确定速度可确定三个参数，由此可确定速度 最优速度的函数图形如图。最优速度的函数图形如图。模型分析模型分析 在这个模型中，运动员的生理参数是要预先给出的，在这个模型中，运动员的生理参数是要预先给出的，它们是它们是 一般可以根据统计资料取得。一般可以根据统计资料取得。赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较赛跑成果的理论值和实际值的比较注注 表中的最终数据以秒为单位。表中的最终数据以秒为单位。