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1、中外数学发展史上海市市东中学 杨锋第八讲第八讲 中国数学中国数学-之之“中国数学的起源与早期发展中国数学的起源与早期发展”1一、中国数学的起源一、中国数学的起源中国数学的起源与早期发展中国数学的起源与早期发展v数概念的产生是人类相识史上的一次飞跃，数概念的产生是人类相识史上的一次飞跃，它标记着数学的起源从出土文物可以看它标记着数学的起源从出土文物可以看到，在中国，发生这种飞跃的时间不晚于到，在中国，发生这种飞跃的时间不晚于7000年前例如，这一时期河姆渡年前例如，这一时期河姆渡(今浙江今浙江余姚境内余姚境内)遗址中的骨耜都有两个孔，很多遗址中的骨耜都有两个孔，很多陶器有三足，一些陶钵底上刻着四
2、叶纹，陶器有三足，一些陶钵底上刻着四叶纹，这是形成这是形成“二、三、四二、三、四”等数的概念的依等数的概念的依据据2v约约6000年前的西安半坡遗址中，有的陶器上有年前的西安半坡遗址中，有的陶器上有整齐排列的点子，数目由一到九整齐排列的点子，数目由一到九(图图41)，这，这说明人们已相识了说明人们已相识了“九九”3v简洁几何图形的出现，是数学起源的另一标简洁几何图形的出现，是数学起源的另一标记半坡出土的陶器上，有圆、三角形、长记半坡出土的陶器上，有圆、三角形、长方形、菱形等各种几何图形圆柱形陶纺轮方形、菱形等各种几何图形圆柱形陶纺轮的烧制，表明人们有了圆柱的观念；而造型的烧制，表明人们有了圆柱
3、的观念；而造型精致的空心陶球，则说明人们已驾驭一些关精致的空心陶球，则说明人们已驾驭一些关于球的学问这些都是萌芽状态中的几何于球的学问这些都是萌芽状态中的几何我们从某些陶器的图案中，可以推想菱形产我们从某些陶器的图案中，可以推想菱形产生的好玩过程，它体现了由具体到抽象的相生的好玩过程，它体现了由具体到抽象的相识规律识规律(图图42)4v数概念产生之后，原始记数法便随之出现数概念产生之后，原始记数法便随之出现了易经上说：了易经上说：“上古结绳而治，后上古结绳而治，后世圣人易之以书契世圣人易之以书契”三国时吴人虞翮在三国时吴人虞翮在易九家义中也说：易九家义中也说：“事大，大结其绳；事大，大结其绳；
4、事小，小结其绳，结之多少，随物众寡事小，小结其绳，结之多少，随物众寡”这些记载表明，结绳记数是原始社会普这些记载表明，结绳记数是原始社会普遍运用的一种记数方法刻划记数是比结遍运用的一种记数方法刻划记数是比结绳记数进步的一种记数法，也产生于原始绳记数进步的一种记数法，也产生于原始社会人们在竹、木或骨片上面刻出一个社会人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示确定的数目，这或许就是个小口，表示确定的数目，这或许就是易经所说的契例如易经所说的契例如1975年在青海乐年在青海乐都出土的原始社会末期遗物中，有都出土的原始社会末期遗物中，有40件带件带有三角形小口的骨片有三角形小口的骨片(图图43)，这些
5、小口，这些小口便是用来记数的便是用来记数的5v中国最早的数字出现于原始陶器，可称之为中国最早的数字出现于原始陶器，可称之为陶文例如，半坡出土的陶器上就有如下数陶文例如，半坡出土的陶器上就有如下数字符号：字符号：6v陕西姜寨出土的陶器陕西姜寨出土的陶器(约约6000年前年前)上也有类上也有类似的数字：很明显，这些数字都属十进制系似的数字：很明显，这些数字都属十进制系统统 7二、商周数学二、商周数学v大约大约4000年前夏朝的建立，标记着中国进入年前夏朝的建立，标记着中国进入了奴隶社会随着社会的发展，商代出现了了奴隶社会随着社会的发展，商代出现了比较成熟的文字比较成熟的文字-甲骨文，西周则演化为金
6、甲骨文，西周则演化为金文，即刻在青铜器上的铭文文，即刻在青铜器上的铭文 8v商代甲骨文表明，当时已有比较完整的数字商代甲骨文表明，当时已有比较完整的数字系统从系统从1到到10的每个整数，以及的每个整数，以及100，1000，10000，都有相应的符号表示：，都有相应的符号表示：1甲骨文中的数字甲骨文中的数字9v十、百、千、万的倍数多用合文，十、百、千、万的倍数多用合文，例如例如10的倍数的倍数10v在甲骨文中，最大的数是三万，写作在甲骨文中，最大的数是三万，写作 人人们能表示三万以内的任何自然数们能表示三万以内的任何自然数(或许更多或许更多)，例如，例如156写作写作 甲骨文中的数字，大甲骨文
7、中的数字，大部分联系着实物，如五十犬，三十羊也有部分联系着实物，如五十犬，三十羊也有一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一些甲骨上的数字是独立出现的，人们曾在一片龟甲上发觉了一片龟甲上发觉了10以内的全部自然数，没以内的全部自然数，没有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象有和实物连在一起，说明商代已经有了抽象的自然数概念的自然数概念112记数和运算记数和运算 v商代数学中，十进制已相当完善了，这是中商代数学中，十进制已相当完善了，这是中国人民的一项杰出创建，在世界数学史上有国人民的一项杰出创建，在世界数学史上有重要意义著名的英国科学史家李约瑟重要意义著名的英国科学史家李约瑟(JNeedham
8、，1900-1995)说：说：“假如没有这假如没有这种十进制，就几乎不行能出现我们现在这个种十进制，就几乎不行能出现我们现在这个统一化的世界了统一化的世界了”12v对甲骨文的探讨表明，商朝人已经会做自然对甲骨文的探讨表明，商朝人已经会做自然数的加、减法和简洁乘法了，缺憾的是不知数的加、减法和简洁乘法了，缺憾的是不知道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是道他们的具体算法，因为甲骨文记录的只是运算结果，而没有运算过程运算结果，而没有运算过程 13v周代记数法与商代相比，有个明显的进步，周代记数法与商代相比，有个明显的进步，就是出现了位值记数如就是出现了位值记数如20世纪世纪70年头出年头出土的一个
9、中山国铜灯铭文中，土的一个中山国铜灯铭文中，355记作记作 ，末位的五表示个位五，而前一个五表示，末位的五表示个位五，而前一个五表示五十，两个五间没有用十隔开这说明当五十，两个五间没有用十隔开这说明当时已有了位值的观念，只是应用不多，还时已有了位值的观念，只是应用不多，还未形成系统的制度未形成系统的制度 143干支纪年法干支纪年法v六十循环的六十循环的“天干地支天干地支”记数法，是商代数记数法，是商代数学的又一个成就这种方法主要用于历法，学的又一个成就这种方法主要用于历法，可称干支纪年法天干有可称干支纪年法天干有10个，即甲、乙、个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有丙、丁、戊、
10、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干与地支相配，共得申、酉、戌、亥天干与地支相配，共得60个不同单位个不同单位-以甲子起先，以癸亥告终然以甲子起先，以癸亥告终然后又是甲子，如此循环不断中国农历至今后又是甲子，如此循环不断中国农历至今还运用这种方法还运用这种方法15三、春秋战国时代的数学三、春秋战国时代的数学v春秋战国时代，中国正经验着由奴隶社会到春秋战国时代，中国正经验着由奴隶社会到封建社会的巨大变革，学术思想特别活跃封建社会的巨大变革，学术思想特别活跃这一时期形成的诸子百家，对科学文化影响这一时期形成的诸
11、子百家，对科学文化影响极大数学园地更是朝气盎然，朝气勃勃极大数学园地更是朝气盎然，朝气勃勃 16v值得留意的是，人们在商代甲骨文和西周金值得留意的是，人们在商代甲骨文和西周金文的基础上，渐渐懂得把字写在竹片文的基础上，渐渐懂得把字写在竹片(或木片或木片)上，用绳子穿成册，这就是早期的书写上上，用绳子穿成册，这就是早期的书写上字的竹片称为简，或竹简春秋战国的大批字的竹片称为简，或竹简春秋战国的大批数学成果，便是通过竹简流传下来的数学成果，便是通过竹简流传下来的 17v墨经中探讨的几何概念可以看作数学理墨经中探讨的几何概念可以看作数学理论探讨在中国的最初尝试墨经是以墨论探讨在中国的最初尝试墨经是以
12、墨翟翟di(约公元前约公元前490-前前405)为首的墨家学派为首的墨家学派的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学的著作，包括光学、力学、逻辑学、几何学等各方面问题它试图把形式逻辑用于几何等各方面问题它试图把形式逻辑用于几何探讨，这是该书的显著特色在这一点上，探讨，这是该书的显著特色在这一点上，它同欧几里得几何原本相像，一些几何它同欧几里得几何原本相像，一些几何定义也与原本中的定义等价下面略举定义也与原本中的定义等价下面略举几例：几例：1几何与逻辑几何与逻辑18v(1)“平，同高也平，同高也”-两线间高相等，叫两线间高相等，叫平这实际是平行线的定义平这实际是平行线的定义v(2)“同长，以正相尽
13、也同长，以正相尽也”-假如两条线假如两条线段重合，就叫同长段重合，就叫同长v(3)“中，同长也中，同长也”-到线段两端的距离到线段两端的距离相同的点叫中相同的点叫中(点点)v(4)“圆，一中同长也圆，一中同长也”-到一个中心距到一个中心距离相同的图形叫圆离相同的图形叫圆19v墨经中依次给出点、线、面等基本几何墨经中依次给出点、线、面等基本几何图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、图形的定义，这些图形的名称分别为端、尺、区在探讨线的过程中，墨家明确给出区在探讨线的过程中，墨家明确给出“有有穷穷”及及“无穷无穷”的定义：的定义：“或不容尺，有穷；或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也莫不容尺，无穷也”
14、即：用线段去量一个即：用线段去量一个区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫区域，若能达到距边缘不足一线的程度，叫有穷；若恒久达不到这种程度，叫无穷有穷；若恒久达不到这种程度，叫无穷20v墨经中还有一条重要记载：墨经中还有一条重要记载：“小故，有小故，有之不必定，无之必不然大故，有之必定之不必定，无之必不然大故，有之必定”用现代语言说，大故是用现代语言说，大故是“充分条件充分条件”而小而小故则是故则是“必要条件必要条件”大故和小故的区分，大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是特别重要的事务在哲学史和数学史上都是特别重要的事务v惋惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论惋惜的是，随着墨家的衰落，墨家
15、数学理论在形成体系之前便夭折了在形成体系之前便夭折了212算术算术v到公元前四、五世纪时，分数已在中国广泛到公元前四、五世纪时，分数已在中国广泛应用了，有些分数还有特殊的名称，如应用了，有些分数还有特殊的名称，如 叫叫半，半，叫少半，叫少半，叫大半。位值制和整数四叫大半。位值制和整数四则运算已被娴熟驾驭，考工记中还有简则运算已被娴熟驾驭，考工记中还有简洁的分数运算。洁的分数运算。22v春秋战国时代，春秋战国时代，“九九歌九九歌”已是家喻户晓的已是家喻户晓的常识了管子等书中便记载着九九歌诀，常识了管子等书中便记载着九九歌诀，依次与今不同，是从依次与今不同，是从“九九八十一九九八十一”起，到起，到
16、“一一如一一一如一”止至于改为止至于改为“一一如一一一如一”到到“九九八十一九九八十一”的依次，则是宋元时代的事的依次，则是宋元时代的事情了情了233对数学中“无限”的相识v有限与无限的冲突，是数学中的一对基本冲有限与无限的冲突，是数学中的一对基本冲突对这一问题相识的不断深化，推动着古突对这一问题相识的不断深化，推动着古今数学的发展今数学的发展24v据战国时成书的庄子记载，惠施曾提出据战国时成书的庄子记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点其中的观点其中“大一大一”、“小一小一”可理解为可理解为无穷大，无穷小这段话的意思是：大到没有
17、无穷大，无穷小这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小小25v书中书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著的著名命题，可以看作是对名命题，可以看作是对“小一小一”的发挥一尺的发挥一尺长的木棒，第一天取它的一半，其次天取剩下长的木棒，第一天取它的一半，其次天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，恒久也取那一半的一半，如此不断地取下去，恒久也取不完。即第一天取不完。即第一天取 ，其次天取，其次天取 ，第，第n天取天取 ，不管，不管n多大，多大，总不为总不为0，其中体现了物质，其中体现了物质无限可分的思想无
18、限可分的思想26v同庄子一样，墨经中也探讨了分割物同庄子一样，墨经中也探讨了分割物体的问题但墨家反对物质的无限可分他们体的问题但墨家反对物质的无限可分他们认为，假如把一条线段分成前后两半认为，假如把一条线段分成前后两半(比如以左比如以左为前，以右为后为前，以右为后)，保留前半而弃去后半，保留前半而弃去后半(图图44中中OB)，再弃去前半的后半，再弃去前半的后半(即即CO)，如此不断，如此不断地分割和取舍，剩余部分小到不能再分为两半，地分割和取舍，剩余部分小到不能再分为两半，就是端就是端(A点点)27v假如接受前后取的方法，即第一次取线段前假如接受前后取的方法，即第一次取线段前半，其次次取前半的
19、后半，第三次取后半的半，其次次取前半的后半，第三次取后半的前半，前半，取到最终，也会出现一个不行分取到最终，也会出现一个不行分割的端，这个端在线段中间而不在边缘割的端，这个端在线段中间而不在边缘(位于位于CO之间之间)，这就是墨经所云，这就是墨经所云“前则中无前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也为半，犹端也；前后取，则端中也”v很明显，这种思想与近代极限理论是相符的很明显，这种思想与近代极限理论是相符的数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似所以，我们可以把这数点的方法与此类似所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴种分割思想
20、看作区间套原理的雏型，其中蕴含着含着“点是线段无限分割之极限点是线段无限分割之极限”的思想的思想284组合数学的萌芽组合数学的萌芽v组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却组合数学虽是现代数学的分支，它的思想却可以追溯到遥远的古代春秋时期成书的可以追溯到遥远的古代春秋时期成书的易经便含有组合数学的萌芽易经便含有组合数学的萌芽 29v易经是中国最古老的书籍之一，书中通易经是中国最古老的书籍之一，书中通过阴阳卦爻预言吉凶过阴阳卦爻预言吉凶“-”是阴爻，是阴爻，“”是阳爻，合称是阳爻，合称“两仪两仪”每次取两个，按每次取两个，按不同依次排列，生成不同依次排列，生成“四象四象”；每次取三个，；每次取三个
21、，生成八卦生成八卦(图图45)；每次取六个，则生成六；每次取六个，则生成六十四卦四象、八卦与六十四卦的排列，相十四卦四象、八卦与六十四卦的排列，相当于组合数学中的有重排列：从当于组合数学中的有重排列：从n种元素中种元素中每次取每次取r个，共有个，共有 种排列法例如，在两种排列法例如，在两种卦爻中每次取种卦爻中每次取3个，共有个，共有 8种排列，这种排列，这就是八卦就是八卦30v德国数学家莱布尼茨德国数学家莱布尼茨(GWLeibniz，1646-1716)独创二进制后不久，见到了传独创二进制后不久，见到了传教士白晋教士白晋(JBouvet，1656-1730)从中国从中国寄去的八卦莱布尼茨认为，
22、八卦中蕴含着寄去的八卦莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊羡不已事实上，若把二进制思想，因此惊羡不已事实上，若把“-”和和“”两种卦爻用两种卦爻用1和和0代替，八卦代替，八卦就可表示为就可表示为v 000(坤坤)001(震震)010(坎坎)011(兑兑)v 100(艮艮)101(离离)110(巽巽)111(乾乾)31v莱布尼茨说八卦是莱布尼茨说八卦是“流传于宇宙的科学中最流传于宇宙的科学中最古老的纪念物古老的纪念物”，这项独创，这项独创“对于中国人民对于中国人民实在是值得庆幸的事情实在是值得庆幸的事情”，并因此产生对中，并因此产生对中国古代文明的崇敬，热情地希望到中国来国古代文明的崇敬
23、，热情地希望到中国来由于种种缘由，他未能如愿，便托人把自己由于种种缘由，他未能如愿，便托人把自己亲自制造的手摇计算机送往中国，成为中、亲自制造的手摇计算机送往中国，成为中、德关系史上的一段佳话德关系史上的一段佳话325早期的数学工具早期的数学工具-算筹与规、矩算筹与规、矩v算筹即用于计算的小竹棍算筹即用于计算的小竹棍(也有木质、骨也有木质、骨质或金属材料的算筹质或金属材料的算筹)，它是中国人创建，它是中国人创建的计算工具春秋战国时代，算筹的运用的计算工具春秋战国时代，算筹的运用已相当普遍，书中多有记载，如已相当普遍，书中多有记载，如“孟子持孟子持筹而算之筹而算之”(十发十发)，“善计者不用筹善
24、计者不用筹策策”(老子老子)，等等，等等1954年在长沙年在长沙的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹的一座战国楚墓中挖出一个竹筒，内装竹棍棍40根，长短一样，约根，长短一样，约12厘米，是为算厘米，是为算筹之实物筹之实物33v用筹进行计算称为筹算据文献记载，筹式用筹进行计算称为筹算据文献记载，筹式有纵横两种：有纵横两种：v(图中第一行为纵式，其次行为横式图中第一行为纵式，其次行为横式)算筹的算筹的摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十摆法是纵横相间，从右到左：个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横位为横，百位为纵，千位为横，遇零则，遇零则空位例如空位例如2561摆成摆成 ，308摆摆成成 34
25、v筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相筹算加减法与今珠算类似，从左到右逐位相加或相减即可筹算乘除法的步骤略微困难加或相减即可筹算乘除法的步骤略微困难一些二数相乘一些二数相乘(如如4836)时，先用筹摆一数时，先用筹摆一数于上，一数于下，并使下数的末位和上数首于上，一数于下，并使下数的末位和上数首位对齐位对齐(图图46(1)，按从左到右的依次用上，按从左到右的依次用上数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数首位乘下数各位，把乘得的积摆在上下二数中间数中间(图图46(2)，然后将上数的首位去掉、，然后将上数的首位去掉、下数向右移动一位下数向右移动一位(图图46(3)，再以上数其次，再以上数其次位
26、乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上位乘下数各位，加入中间的乘积，并去掉上数其次位数其次位(图图46(4)35v直到上数各位用完，中间的数便是结果直到上数各位用完，中间的数便是结果筹算除法也分三层，上层是商；中层是被筹算除法也分三层，上层是商；中层是被除数，叫实；下层是除数，叫法除数，叫实；下层是除数，叫法36v算筹在中国数学史上占有特别重要的地位，算筹在中国数学史上占有特别重要的地位，在长达两千年的时间里，算筹始终是中国的在长达两千年的时间里，算筹始终是中国的主要计算工具，直到元明时代才渐渐被珠算主要计算工具，直到元明时代才渐渐被珠算所代替所代替v筹算的优点是简便、敏捷，用一些小竹木棍筹算的
27、优点是简便、敏捷，用一些小竹木棍便可进行困难的计算它的缺点是中间步骤便可进行困难的计算它的缺点是中间步骤不能保留，因此不便于检验另外，过分依不能保留，因此不便于检验另外，过分依靠于算具，也不利于数学的符号化和抽象化靠于算具，也不利于数学的符号化和抽象化37v规、矩是两种测绘工具规即圆规，矩是直规、矩是两种测绘工具规即圆规，矩是直角拐尺，用来画直线形商代甲骨文中已有角拐尺，用来画直线形商代甲骨文中已有规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经规和矩的象形字，所以它们最迟在商代已经出现春秋战国时期，这两种工具被普遍用出现春秋战国时期，这两种工具被普遍用于测量和几何作图于测量和几何作图38四、周髀四、周
28、髀bi算经算经v周髀是西汉初期的一部天文、数学著周髀是西汉初期的一部天文、数学著作髀是量日影的标杆作髀是量日影的标杆(亦称表亦称表)，因书中，因书中记载了不少周代的天文学问，故名周髀记载了不少周代的天文学问，故名周髀唐初凤选定数学课本时，取名周髀唐初凤选定数学课本时，取名周髀算经算经391勾股定理勾股定理v在中国，周髀算经是第一部记载勾股定在中国，周髀算经是第一部记载勾股定理的书该书云：理的书该书云：“求邪求邪(斜斜)至日者，以日至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。除之，得邪至日。”即邪至日（弦）即邪至日（弦）=（图（图4.7
29、）402等差数列等差数列v周髀算经中的周髀算经中的“七衡七衡”便是一等差数列便是一等差数列七衡是七个等距离的同心圆，已知最里面七衡是七个等距离的同心圆，已知最里面的圆径为的圆径为238000里，相邻两圆间距离为里，相邻两圆间距离为 里，书中给出计算各圆径的一般法则：里，书中给出计算各圆径的一般法则：“欲知次衡径，倍而增内衡之径二之以增欲知次衡径，倍而增内衡之径二之以增内衡径，得三衡径次衡放内衡径，得三衡径次衡放(仿仿)此此”这相这相当于给出通项公式当于给出通项公式DnD1(n-1)2d，其中其中d为相邻两圆间的距离为相邻两圆间的距离413内插法内插法v所谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数所
30、谓内插法，是已知若干自变量所对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值，求这些自变量之间其他自变量对应的函数值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星值的一种方法，古代常用来推算日、月、五星(即金星、木星、水星、火星、土星即金星、木星、水星、火星、土星)的行度，的行度，为制订历法服务内插分两种为制订历法服务内插分两种-等间距内插等间距内插和不等间距内插等间距指的是自变量的间距和不等间距内插等间距指的是自变量的间距相等设自变量相等设自变量x，等间距，等间距h，函数关系为，函数关系为f，若函数值之差若函数值之差 f(xnh)-f(x(n1)h)(即一次即一次差，其中差，其中n=1，2，)为
31、一不等于为一不等于0的常数，的常数，则用一次内插法；若这些函数值之差的差则用一次内插法；若这些函数值之差的差(即即二次差二次差)为一不等于为一不等于0的常数，则用二次内插的常数，则用二次内插法，依此类推用现代数学的观点来看，法，依此类推用现代数学的观点来看，n次次内插法反映的是内插法反映的是n次函数关系次函数关系42v周髀算经中的内插法是最简洁的等间距周髀算经中的内插法是最简洁的等间距一次内插法已经测得二十四节气中冬至、一次内插法已经测得二十四节气中冬至、夏至的日影夏至的日影长，推算其他节气的日影长长，推算其他节气的日影长假定每两个节气的时间间隔相等，并以假定每两个节气的时间间隔相等，并以f(
32、a)，f(b)表示夏至及冬至的日影长，则有表示夏至及冬至的日影长，则有v其中其中f(n)是从夏至到冬至的第是从夏至到冬至的第n个节气的日个节气的日影长，影长，被称为损益数被称为损益数434相像形与测量术v周髀算经中记载着商高的周髀算经中记载着商高的“用矩之道用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法其次、第五、六句是用矩画圆、画方的方法其次、三、四句是相像直角三角形的应用：把
33、矩的三、四句是相像直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离间距离44v下面以其次句为例说明测量方法：设下面以其次句为例说明测量方法：设AB为矩为矩的一边，的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一是矩的另一边由顶点到视线的一段，段，AD为图为图48所示之可测距离，所示之可测距离，DE 为所为所求，则由求，则由 得得v其中明显用到了相像原理，可见当时的人们其中明显用到了相像原理，可见当时的人们已懂得相像三角形的一些性质了已懂得相像三角形的一些性质了45感谢倾听感谢倾听 祝君如意祝君如意Email:yangfengzhliqinsina Email:yangfengzhliqinsina 46