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1、第第4章章MATLAB求解数求解数学问题学问题第第4 4章章MATLABMATLAB求解数学问题求解数学问题4.1 4.1 符号表达式的生成符号表达式的生成4.2 4.2 符号方程的求解符号方程的求解4.3 4.3 极极 限限4.4 4.4 导数和微分导数和微分4.5 4.5 积积 分分4.6 4.6 曲线积分的曲线积分的MATLABMATLAB运算运算4.7 4.7 曲面积分的曲面积分的MATLABMATLAB运算运算4.8 4.8 函数的零点函数的零点第第4 4章章MATLABMATLAB求解数学问题求解数学问题4.9 4.9 一元函数极值一元函数极值4.10 4.10 级级 数数4.11
2、 4.11 微分方程问题的计算机求解微分方程问题的计算机求解4.12 4.12 概概 率率 统统 计计4.13 4.13 插插 值值4.14 4.14 曲曲 线线 拟拟 合合4.15 4.15 小小 结结 借助借助MATLABMATLAB语言的符号运算工具箱可以语言的符号运算工具箱可以直接对常见的数学问题进行求解，本章依次介直接对常见的数学问题进行求解，本章依次介绍符号方程，极限，导数，积分，绍符号方程，极限，导数，积分，TaylorTaylor幂级幂级数展开，微分方程等数学问题的数展开，微分方程等数学问题的MATLABMATLAB求解，求解，然后介绍概率问题的然后介绍概率问题的MATLABM
3、ATLAB求解，最后介绍插求解，最后介绍插值和曲线拟合问题。值和曲线拟合问题。4.1 符号表达式的生成 MATLABMATLAB的的优优点点不不仅仅在在于于其其强强大大的的数数值值运运算算功能，而且也在于其强大的符号运算功能。功能，而且也在于其强大的符号运算功能。MATLABMATLAB的的符符号号运运算算是是通通过过集集成成在在MATLABMATLAB中中的的符符号号数数学学工工具具箱箱（Symbolic Symbolic MathToolboxMathToolbox）来实现的。来实现的。符符号号表表达达式式可可以以是是符符号号函函数数或或符符号号方方程程。其其中中，符符号号函函数数没没有有
4、等等号号，而而符符号号方方程程必必须须有有等号。等号。MATLABMATLAB在在内内部部把把符符号号表表达达式式表表示示成成字字符符串串，以便与数值表达式区别。以便与数值表达式区别。（1 1）符号运算与数值运算的区别。）符号运算与数值运算的区别。数值运算中必须先对变量赋值，然后数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。才能参与运算。符号运算无须事先对独立变量赋值，符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。运算结果以标准的符号形式表达。（2 2）符号表达式可以由以下方法生成。）符号表达式可以由以下方法生成。使用单引号生成，符号表达式可以像使用单引号生成，符号表达式可以像
5、字符串一样用单引号来直接设定。字符串一样用单引号来直接设定。用用sym()sym()函数生成符号表达式。函数生成符号表达式。用命令用命令symssyms生成符号表达式。生成符号表达式。4.2 符号方程的求解 solve()solve()用来求解符号方程，调用格式：用来求解符号方程，调用格式：X=solve(X=solve(方程方程1,.1,.方程方程n,n,变量变量1,.1,.变量变量m)m)。linsolve()linsolve()用来求解线性方程组用来求解线性方程组AX=BAX=B，返回特解返回特解X X，调用格式：，调用格式：X=linsolve(A,B)X=linsolve(A,B)。
6、【例【例4-24-2】求解方程】求解方程x2x2 x x 6=06=0。【例【例4-34-3】求解方程组】求解方程组 。【例【例4-44-4】求解方程组】求解方程组 。【例【例4-54-5】求解方程组】求解方程组 ，x x0 0=x(1),x(2)=0.1,0.1=x(1),x(2)=0.1,0.1。【例【例4-64-6】求解方程】求解方程 在在2 2附近的附近的解。解。4.3.1 单变量函数的极限单变量函数的极限4.3.2 多变量函数的极限多变量函数的极限4.3 极 限 极限的求解包括单变量函数的极限和多变极限的求解包括单变量函数的极限和多变量函数的极限，下面分别进行介绍。量函数的极限，下面
7、分别进行介绍。首先进行符号变量说明：首先进行符号变量说明：syms x y asyms x y a，然后定义函数然后定义函数funfun，再使用下列命令格式求对，再使用下列命令格式求对应极限：应极限：limit(fun,x,a)%limit(fun,x,a)%当时，求函数当时，求函数funfun的极的极限。限。limit(fun,a)%limit(fun,a)%默认变量默认变量x x或唯一符号或唯一符号变量。变量。limit(fun)%limit(fun)%默认变量默认变量x x，且，且a=0a=0。limit(fun,x,a,right)limit(fun,x,a,right)%当时，求函数
8、当时，求函数funfun的右的右极限。极限。limit(fun,x,a,left)limit(fun,x,a,left)%当时，求函数当时，求函数funfun的左的左极限。极限。4.3.1 单变量函数的极限单变量函数的极限【例【例4-84-8】试求解极限问题】试求解极限问题:对二元函数求极限问题对二元函数求极限问题 ，可以嵌套使用可以嵌套使用limit()limit()函数：函数：limit(limitlimit(limit（fun,x,x0),y,y0)fun,x,x0),y,y0)或或 limit(limitlimit(limit（fun,y,y0),x,x0)fun,y,y0),x,x0
9、)如果如果x0 x0或或y0y0不是确定的值，而是另一个变量的不是确定的值，而是另一个变量的函数，则顺序不能交换。函数，则顺序不能交换。注意：此种用法只适用于极限存在的情况。注意：此种用法只适用于极限存在的情况。4.3.2 多变量函数的极限多变量函数的极限【例【例4-94-9】求二元函数】求二元函数 的极的极限值。限值。【例【例4-104-10】求二元函数】求二元函数 的极的极限值。限值。4.4 导数和微分 函数的导数和微分问题包括导数和高阶导函数的导数和微分问题包括导数和高阶导数，高阶混合偏导数，复合函数求导，隐函数数，高阶混合偏导数，复合函数求导，隐函数求偏导和参数方程求导等。求偏导和参数
10、方程求导等。diff()diff()函数用来解给定函数的各阶导数，函数用来解给定函数的各阶导数，命令格式：命令格式：diff(f)diff(f)%f%f对默认变量对默认变量x x求一阶导数。求一阶导数。diff(f,v)diff(f,v)%f%f 对变量对变量v v求一阶导数。求一阶导数。diff(f,n)diff(f,n)%f%f对默认变量对默认变量x x求求n n阶导数。阶导数。diff(f,v,n)diff(f,v,n)%f%f 对变量对变量v v求求n n阶导数。阶导数。【例【例4-114-11】求函数】求函数 的的导数。导数。4.4.1 导数和高阶导数导数和高阶导数 嵌套使用嵌套使用
11、diff()diff()函数求解多元函数的偏导函数求解多元函数的偏导问题问题 ，命令格式：，命令格式：diff(diff(f,x,m),y,n)diff(diff(f,x,m),y,n)或或 diff(diff(f,y,n),x,m)diff(diff(f,y,n),x,m)4.4.2 高阶混合偏导数高阶混合偏导数【例【例4-124-12】，求，求 。【例【例4-134-13】f f(x x,y y)=()=(x x2 2 2 2x x)e)e x x2 2 y y2 2 xy=xy=0 0，求求 。【例【例4-144-14】已知】已知 ，求，求 。4.4.3 复合函数求导复合函数求导4.4.
12、4 隐函数求偏导隐函数求偏导 对于参数方程表达式对于参数方程表达式y y=f f(t t),),x x=g g(t t)，求求导数导数 ，可以使用，可以使用diff()diff()函数的递归调用，函数的递归调用，命令格式：命令格式：dk=diff(dk-1,t)/diff(x,t)dk=diff(dk-1,t)/diff(x,t)。其中，其中，dkdk 1 1表示表示k k 1 1阶导数。阶导数。【例【例4-164-16】已知已知 ，求求 。4.4.5 参数方程求导参数方程求导【例【例4-174-17】讨论函数】讨论函数 的极值、单调的极值、单调性和其导数函数的关系。性和其导数函数的关系。4.
13、4.6 导数的应用导数的应用图图图图4-1 4-1 函数曲函数曲函数曲函数曲线图线图线图线图jacobian(fun,v)jacobian(fun,v)%v%v是求导变量向量，表示是求导变量向量，表示funfun对对v v求偏导矩阵即梯度。求偏导矩阵即梯度。gridient(F)gridient(F)%求求F F的数值梯度，一维时可的数值梯度，一维时可用用diffdiff代替。代替。dotdot（jacobian(fun),vjacobian(fun),v）=jacobian(fun)v%v=jacobian(fun)v%v是某方向的单位向量，数量积就是方向导数。是某方向的单位向量，数量积就是
14、方向导数。【例【例4-184-18】梯度计算示例。】梯度计算示例。4.4.7 梯度计算和方向导数梯度计算和方向导数4.5 积 分4.5.1 不定积分不定积分4.5.2 定积分与无穷积分定积分与无穷积分4.5.3 重积分重积分4.5.4 数值积分数值积分 求解不定积分问题可以使用求解不定积分问题可以使用int()int()函数，函数，命令格式：命令格式：F=int(fun,x)F=int(fun,x)或或 F=int(fun)F=int(fun)。当当funfun中只有一个自变量中只有一个自变量x x时，时，x x可省。可省。即即funfunF(x)+CF(x)+C，C C表示常数。表示常数。4
15、.5.1 不定积分不定积分【例【例4-194-19】用】用diff()diff()函数函数 求求的的4 4阶导数，再积分，检验是否可以得出一致阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。的结果。【例【例4-204-20】证明下面等式成立：证明下面等式成立：【例例4-214-21】求不可积求不可积 。定积分问题定积分问题 可以使用可以使用int()int()函函数求解，命令格式：数求解，命令格式：int(fun,x,a,b)int(fun,x,a,b)。若为无穷积分问题，则只需将命令中若为无穷积分问题，则只需将命令中a(a(或或b)b)改为改为 inf(inf(或或inf)inf)即可。即可。如
16、求如求 ，用，用int(fun,x,a,inf)int(fun,x,a,inf)。4.5.2 定积分与无穷积分定积分与无穷积分 【例【例4-224-22】不可积问题】不可积问题 的定积的定积分可积分可积 。【例【例4-234-23】求解变限积分】求解变限积分 。重积分问题可以先化为累次积分的方式再重积分问题可以先化为累次积分的方式再使用使用 int()int()函数的嵌套来解决。函数的嵌套来解决。【例【例4-244-24】求二重积分】求二重积分 。4.5.3 重积分重积分 一元函数数值积分命令格式一元函数数值积分命令格式：q=quad(fun,a,b,tol)q=quad(fun,a,b,to
17、l)%采用辛普森计算积分。采用辛普森计算积分。q=quad8(fun,a,b,tol)q=quad8(fun,a,b,tol)%采用采用newton cotesnewton cotes方法计算方法计算积分。积分。q=quadl(fun,a,b,tol)q=quadl(fun,a,b,tol)%采用采用lobattolobatto方法计算。方法计算。其中，其中，toltol表示绝对误差限，默认为表示绝对误差限，默认为1010-6-6，a,ba,b是确定值是确定值;fun;fun可以是字符串、内联函数可以是字符串、内联函数或或M M函数名。函数名。4.5.4 数值积分数值积分二重数值积分命令格式二
18、重数值积分命令格式：q=dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,mq=dblquad(fun,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method)ethod)其中，其中，inmin,inmaxinmin,inmax是内变量下限和上限，是内变量下限和上限，outmin,outmaxoutmin,outmax是外变量下限和上限，只能是是外变量下限和上限，只能是常数，即只能计算矩形域上的积分。常数，即只能计算矩形域上的积分。【例例4-254-25】求积分】求积分 。4.6 曲线积分的MATLAB运算4.6.1 第一类曲线积分第一类曲线
19、积分4.6.2 第二类曲线积分第二类曲线积分 假使在空间曲线假使在空间曲线I I上的密度函数为上的密度函数为 ，则其总质量，即第一类曲线积分的值转换为对则其总质量，即第一类曲线积分的值转换为对参数参数的普通定积分问题为：的普通定积分问题为：【例【例4-264-26】求】求 ，其中为螺线，其中为螺线，【例【例4-274-27】求求 ，其中，其中 为为 与与 围成的正向曲线。围成的正向曲线。4.6.1 第一类曲线积分第一类曲线积分 第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分，第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分，表达式为：表达式为：。其中，向量。其中，向量 向量向量 。4.6.2 第二类曲线积分第二类曲
20、线积分4.7 曲面积分的MATLAB运算4.7.1 第一类曲面积分第一类曲面积分4.7.2 第二类曲面积分第二类曲面积分 曲面积分可分为第一类曲面积分和第二类曲面积分可分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。曲面积分。4.7.1 第一类曲面积分第一类曲面积分4.7.2 第二类曲面积分第二类曲面积分4.8 函数的零点4.8.1 一元函数的零点一元函数的零点4.8.2 多元函数的零点多元函数的零点 x=fzero(fun,x0)%fun x=fzero(fun,x0)%fun表示一元函数，表示一元函数，x0 x0表示求解的初始数值。表示求解的初始数值。【例【例4-334-33】求函数在数值区间】求函数
21、在数值区间 5 55 5中中的零点。的零点。4.8.1 一元函数的零点一元函数的零点图图图图4-2 4-2 函数的函数的函数的函数的图图图图形形形形 x=fsolve(fun,x0)x=fsolve(fun,x0)用来求解非线性方程用来求解非线性方程组的数值解组的数值解4.8.2 多元函数的零点多元函数的零点4.9 一元函数极值格式：格式：x=fminbnd(fun,x1,x2)x=fminbnd(fun,x1,x2)x,y=fminbnd(fun,x1,x2)x,y=fminbnd(fun,x1,x2)其中：其中：funfun是函数字符串或函数文件创建是函数字符串或函数文件创建的函数；的函数
22、；x1,x2x1,x2是搜索极值的区间端点；是搜索极值的区间端点；x,yx,y是是所求的极小值点坐标和函数值。所求的极小值点坐标和函数值。【例【例4-344-34】求函数】求函数 的极的极值。值。图图图图4-34-3函数函数函数函数 及其极及其极及其极及其极值值值值 【例【例4-354-35】墙高尺，距屋边尺，用一梯】墙高尺，距屋边尺，用一梯子由地面经过墙顶至屋边，如果有一梯子长度子由地面经过墙顶至屋边，如果有一梯子长度为尺，问梯长最短为多少？墙高最大为多少尺为尺，问梯长最短为多少？墙高最大为多少尺？图图图图4-54-5梯梯梯梯长图长图长图长图图图图图4-64-6墙墙墙墙高高高高图图图图4.1
23、0.1 级数的求和与审敛级数的求和与审敛4.10.2 泰勒展开泰勒展开4.10 级 数 级数是研究函数的一个重要工具，在理论级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。计算等。级数的收敛问题是
24、级数理论的基本问题，级数的收敛问题是级数理论的基本问题，级数的求和与收敛实际是同一问题，只要可以级数的求和与收敛实际是同一问题，只要可以求和，自然收敛。求和，自然收敛。级数求和命令格式：级数求和命令格式：symsum(fun,symsum(fun,变量起变量起点点,终点终点)，如果省略变量则对默认变量求和。，如果省略变量则对默认变量求和。4.10.1 级数的求和与审敛级数的求和与审敛 命令格式：命令格式：taylor(fun,n,taylor(fun,n,变量变量,a),a)，其，其中，中，funfun为待展函数；为待展函数；n n为展开阶数，缺省是为展开阶数，缺省是6 6阶；变量为声明阶；变
25、量为声明funfun中的变量，省略变量则对中的变量，省略变量则对默认变量展开；默认变量展开；a a为变量求导的取值点，缺省为变量求导的取值点，缺省为为0 0，即麦克劳林展开。，即麦克劳林展开。4.10.2 泰勒展开泰勒展开图图图图4-7 y=cosx4-7 y=cosx及其在及其在及其在及其在 x=0 x=0和和和和x=10 x=10处处处处泰勒展开曲泰勒展开曲泰勒展开曲泰勒展开曲线线线线4.11 微分方程问题的计算机求解 dsolve()dsolve()函数用来求解微分方程（组），函数用来求解微分方程（组），命令格式：命令格式：dsolve(dsolve(方程方程1,1,方程方程n,n,条件
26、条件11，条件条件m,m,变量变量1,.,1,.,变量变量k)k)，其中，方程，其中，方程i i为待解方程；条件为初始状为待解方程；条件为初始状态，缺省则求通解；变量为微分自变量，缺省态，缺省则求通解；变量为微分自变量，缺省为默认。为默认。t,x=ode23(t,x=ode23(方程函数名方程函数名,tspan,x0,tspan,x0,选项选项,附加参数附加参数)t,x=ode45(t,x=ode45(方程函数名方程函数名,tspan,x0,tspan,x0,选项选项,附加参数附加参数)分别采用二阶三级和四阶五级的分别采用二阶三级和四阶五级的RKFRKF方法方法计算常微分方程的数值解，计算常微
27、分方程的数值解，plot(t,x)plot(t,x)为解曲为解曲线。线。4.12.1 随机变量及其分布随机变量及其分布4.12.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布4.12.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.12.4 参数估计参数估计4.12.5 假设检验假设检验4.12.6 方差分析方差分析4.12 概 率 统 计 概率统计是现代数学的一个重要分支，近概率统计是现代数学的一个重要分支，近2020年来，随着计算机的发展以及各种统计软件年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、管理和工程技术等领
28、域得到了广医学、经济、管理和工程技术等领域得到了广泛的应用。泛的应用。下面介绍一些概率统计问题的下面介绍一些概率统计问题的MATLABMATLAB求解。求解。（1 1）超几何分布）超几何分布H H(n n,M M,N N)，其概率密度函数，其概率密度函数 （2 2）二项分布）二项分布B B(n n,p p)，其概率密度函数，其概率密度函数（3 3）泊松分布）泊松分布X XP P（），其概率密度函数），其概率密度函数4.12.1 随机变量及其分布随机变量及其分布（4 4）正态分布）正态分布X XN N（,2 2），其概率密度函），其概率密度函数数（5 5）指数分布）指数分布X Xexpexp（）
29、，其概率密度函），其概率密度函数数 （6 6）均匀分布）均匀分布X XU U(a a,b b)，若，若 x x1,1,x x22是是 a a,b b 的任一子区间，则的任一子区间，则P P x x11x xx x2=(2=(x x2 2 x x1)/(1)/(b b a a)。这表明这表明X X落在落在 a a,b b 的子区间内的概率只与的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X X落在落在 a a,b b 的长度相等的子区间内的可能性是的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。相等的，所谓的均匀指的就是
30、这种等可能性。（7 7）分布，其概率密度函数分布，其概率密度函数（8 8）X X2 2分布，其概率密度函数分布，其概率密度函数（9 9）T T分布，其概率密度函数分布，其概率密度函数（1010）F F分布，其概率密度函数分布，其概率密度函数 【例【例4-464-46】某人向空中抛硬币】某人向空中抛硬币100100次，次，落下为正面的概率为落下为正面的概率为0.50.5。这。这100100次中正面向上次中正面向上的次数记为的次数记为X X。【例【例4-474-47】设】设X XN N(2,0.25)(2,0.25)，求：，求：（1 1）概率）概率P P11X X2.52.5；（2 2）绘制分布函
31、数图像和分布密度图像；）绘制分布函数图像和分布密度图像；（3 3）画出区间）画出区间1.5,1.91.5,1.9上的分布密度曲上的分布密度曲线下方区域。线下方区域。图图图图4-8 4-8 分布函数分布函数分布函数分布函数图图图图和概率分布和概率分布和概率分布和概率分布图图图图图图图图4-9 4-9 例例例例4-474-47结结结结果曲果曲果曲果曲线图线图线图线图 根据概率统计的定理：如果已知随机变量根据概率统计的定理：如果已知随机变量X X的密度的密度f fX(X(x x)，随机变量函数，随机变量函数Y Y=g g(X X)单调，则单调，则Y Y的密度函数为：的密度函数为：fYfY(x x)=
32、)=fXfX(h h(y y)|)|h h(y y)|)|，其中其中x x=h h(y y)是是y y=g g(x x)的反函数。的反函数。如果如果y=g(x)y=g(x)不单调，则将定义域分成若干不单调，则将定义域分成若干单调区间进行讨论，也可利用：单调区间进行讨论，也可利用：【例【例4-484-48】设随机变量】设随机变量X X服从均匀分布服从均匀分布U0,1U0,1，求，求Y Y=e=eX X的分布。的分布。4.12.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布（1 1）随机变量的数学期望）随机变量的数学期望 数组的平均值数组的平均值Y=mean(X)Y=mean(X)功能：当功能：当X X
33、为向量时，输出一个平均数；为向量时，输出一个平均数；当当X X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值：因此计算矩阵所有数的平均值，列的平均值：因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：应用嵌套：mean(mean(X)mean(mean(X)或或m=mean(X(:)m=mean(X(:)。与此类似的有：求和与此类似的有：求和(sum)(sum)，最大，最大(max)(max)，最小最小(min)(min)等。等。4.12.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望EX=sum(X.*P)EX=sum(X.*P)功
34、能：计算随机值向量功能：计算随机值向量X X与对应概率向量与对应概率向量P P的乘积之和。的乘积之和。连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望EX=int(x*fx,x,a,b)EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望。功能：用积分计算期望。【例【例4-494-49】设随机变量】设随机变量X X的分布列如表的分布列如表4-14-1所示，求期望。所示，求期望。（3 3）常见分布的期望和方差）常见分布的期望和方差 二项分布二项分布E,D=binostat(n,p)E,D=binostat(n,p)说明：说明：n n，p p可以是标量、向量和矩阵，则可以是标量、向量和矩阵，则E E，
35、D D是对应的标量、向量和矩阵。是对应的标量、向量和矩阵。超几何分布超几何分布E,D=hygestat(M,N,K)E,D=hygestat(M,N,K)泊松分布泊松分布E,D=poissstat(lambda)E,D=poissstat(lambda)均匀分布均匀分布E,D=unifstat(a,b)E,D=unifstat(a,b)指数分布指数分布E,D=expstat(lambda)E,D=expstat(lambda)正态分布正态分布E,D=normstat(mu,sigma)E,D=normstat(mu,sigma)其他：其他：gamstat(),tstat(),fstat(),c
36、hi2statgamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()()等。等。（4 4）协方差与相关系数的计算）协方差与相关系数的计算 随机变量的协方差随机变量的协方差cov(X,Y)=E(X-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)EX)(Y-EY)随机变量的相关系数随机变量的相关系数=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)统计数据的协方差统计数据的协方差cov(X)cov(X)当当X X为向为向量时，量时，cov(X)=var(X)cov(X)=var(X)；当；当X X为矩阵时为矩阵时,结果为结果为X X的协方差矩阵。的
37、协方差矩阵。对角线是对角线是X X每列的方差，每列的方差，XijXij为为X X的第的第i i列和列和第第j j列的协方差值。列的协方差值。cov(X,Y)cov(X,Y)计算向量计算向量X X和和Y Y的协方差值。的协方差值。统计数据的相关系数统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)corrcoef(X),corrcoef(X,Y)说明与用法说明与用法与与cov()cov()相同。相同。常用分布的参数估计有以下方式。常用分布的参数估计有以下方式。（1 1）正态分布的参数估计）正态分布的参数估计格式：格式：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=no
38、rmfit(X,alphamuhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)功能：数组功能：数组X X服从正态分布，给定显著水服从正态分布，给定显著水平平alphaalpha，缺省时为，缺省时为0.050.05，前二项给出点估计，前二项给出点估计，后二项给出区间估计。后二项给出区间估计。X X为矩阵时，针对列进为矩阵时，针对列进行计算。行计算。4.12.4 参数估计参数估计 （2 2）二项分布的参数估计（）二项分布的参数估计（n n重已知，重已知，p p未知）未知）格式：格式：phat,puci=binofit(X,n,alpha)phat,puci=bi
39、nofit(X,n,alpha)（3 3）泊松分布的参数估计）泊松分布的参数估计格式：格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X,alpha)lbdhat,lbdci=poissfit(X,alpha)（4 4）均匀分布的参数估计）均匀分布的参数估计格式：格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha)ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha)（5 5）指数分布的参数估计）指数分布的参数估计格式：格式：lbdhat,lbdci=expfit(X,alpha)lbdhat,lbdci=expfit(X,alpha)（6 6）通用命令）通用
40、命令mle()mle()格式：格式：输出参数项输出参数项=mle(=mle(分布函数名分布函数名,X,alpha,X,alpha,N),N)说明说明：分布函数有：分布函数有：binobino（二项）、（二项）、geogeo（几何）、（几何）、hygehyge（超几何）、（超几何）、poisspoiss（泊松）、（泊松）、uinfuinf（均匀）、（均匀）、unidunid（离散均匀）、（离散均匀）、expexp（指（指数）、数）、normnorm（正态）、（正态）、t t（T T分布分布）、）、f f（F F分布分布）、betabeta（贝塔）和（贝塔）和gamgam（伽吗），（伽吗），N N
41、只在二项分只在二项分布时需要。布时需要。【例【例4-534-53】设从一大批产品中抽取】设从一大批产品中抽取100100个个产品，经检验发现有产品，经检验发现有6060个一级品，求这批产品个一级品，求这批产品的一级品率的一级品率(置信度置信度95%)95%)。（1 1）单正态总体均值的假设检验）单正态总体均值的假设检验 方差已知（方差已知（U U检验或检验或Z Z检验）检验）格式：格式：H,P,ci,Zval=ztest(X,Mu,sigma,alpha,tail)H,P,ci,Zval=ztest(X,Mu,sigma,alpha,tail)【例【例4-544-54】某面粉厂的包装车间包装面
42、】某面粉厂的包装车间包装面粉，每袋面粉的重量服从正态分布，机器正常粉，每袋面粉的重量服从正态分布，机器正常运转时每袋面粉重量的均值为运转时每袋面粉重量的均值为50kg50kg，标准差，标准差1 1。某日随机的抽取了某日随机的抽取了9 9袋，重量分别为：袋，重量分别为：49.749.7，50.650.6，51.851.8，52.452.4，49.849.8，51.151.1，5252，51.551.5，51.251.2，机器运转是否正常？，机器运转是否正常？4.12.5 假设检验假设检验 方差未知（方差未知（t t检验）检验）格式：格式：H,P,ci,stats=ttest(X,Mu,alpha
43、,tail)H,P,ci,stats=ttest(X,Mu,alpha,tail)【例【例4-554-55】某灯泡厂出厂的标准是寿命】某灯泡厂出厂的标准是寿命不少于不少于20002000小时，现随机的从该厂生产的一批小时，现随机的从该厂生产的一批灯泡中抽取了灯泡中抽取了2020只，寿命分别为：只，寿命分别为：1558 1558，16271627，21012101，17861786，19211921，18431843，16551655，16751675，19351935，15731573，20232023，19681968，16061606，17511751，15111511，12471247，
44、20762076，16851685，19051905，18811881。假设。假设灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标准？了出厂标准？(a=0.01)(a=0.01)（2 2）双正态总体均值的假设检验）双正态总体均值的假设检验 比较两个方差相等的正态总体的均值是否比较两个方差相等的正态总体的均值是否相等（相等（T T检验）。检验）。格式：格式：H,P,ci,stats=ttest2(X,Y,alpha,tail)H,P,ci,stats=ttest2(X,Y,alpha,tail)【例例4-564-56】某灯泡厂在采用一项新工艺】某灯泡厂在采
45、用一项新工艺前后，分别抽取了前后，分别抽取了1010只进行寿命试验，寿命分只进行寿命试验，寿命分别为：别为：旧灯泡：旧灯泡：2461,2404,2407,2439,2394,2401,2543,2463,2461,2404,2407,2439,2394,2401,2543,2463,2392,24582392,2458新灯泡：新灯泡：2496,2485,2538,2596,2556,2582,2494,2528,2496,2485,2538,2596,2556,2582,2494,2528,2537,24922537,2492假设灯泡的寿命服从正态分布，能否认为采用假设灯泡的寿命服从正态分布，
46、能否认为采用新工艺后，灯泡的寿命提高了？新工艺后，灯泡的寿命提高了？(a=0.01)(a=0.01)（3 3）两个总体一致性的假设检验）两个总体一致性的假设检验比较两个不知道确切分布的总体均值是否相等。比较两个不知道确切分布的总体均值是否相等。格式：格式：P,H,stats=ranksum(X,Y,alpha)P,H,stats=ranksum(X,Y,alpha)【例【例4-574-57】两台机床加工同一种轴，抽】两台机床加工同一种轴，抽样测量产品的直径样测量产品的直径(mm)(mm)：机床甲：机床甲：33.592,33.862,33.751,33.673,33.847,33.7733.59
47、2,33.862,33.751,33.673,33.847,33.778,33.631,33.911,33.785,33.9288,33.631,33.911,33.785,33.928机床乙：机床乙：34.221,33.947,33.856,34.039,34.000,33.9234.221,33.947,33.856,34.039,34.000,33.924,34.125,34.273,33.968,33.9234,34.125,34.273,33.968,33.923在在a=0.05a=0.05下能否认为两台机床加工的直径没有下能否认为两台机床加工的直径没有显著不同？显著不同？（4 4）
48、两个样本具有相同连续分布的假设）两个样本具有相同连续分布的假设检验检验检验两个样本是否具有相同的连续分布检验两个样本是否具有相同的连续分布 格式：格式：H,P,ksstat=kstest2(X,Y,H,P,ksstat=kstest2(X,Y,alpha,tail)alpha,tail)【例【例4-584-58】（5 5）正态分布的假设检验）正态分布的假设检验 检验样本是否具有某种连续分布。检验样本是否具有某种连续分布。命令命令1 1：H,P,jbstat,cv=jbtest(X,H,P,jbstat,cv=jbtest(X,alpha)alpha)功能：对采样功能：对采样X X进行检验是否服
49、从正态分进行检验是否服从正态分布，对布，对H,P,alphaH,P,alpha的解释同上；的解释同上；jbstatjbstat表示测表示测试统计量的值；试统计量的值；cvcv为是否拒绝假设的临界值。为是否拒绝假设的临界值。适合大样本。适合大样本。命令命令2 2：H,P,lstat,cv=lillietest H,P,lstat,cv=lillietest(X,alpha)(X,alpha)功能：对采样功能：对采样X X进行检验是否服从正态分进行检验是否服从正态分布，对布，对H,P,alphaH,P,alpha的解释同上；的解释同上；jbstatjbstat表示测表示测试统计量的值；试统计量的值
50、；cvcv为是否拒绝假设的临界值。为是否拒绝假设的临界值。适合小样本。适合小样本。【例【例4-594-59】从一批零件中随机抽取一组】从一批零件中随机抽取一组样品，下面是零件样品直径的统计表如表样品，下面是零件样品直径的统计表如表4-24-2所示。在显著水平所示。在显著水平a=0.05a=0.05下能否认为这批零件下能否认为这批零件的直径服从正态分布？绘出统计数据的直方图。的直径服从正态分布？绘出统计数据的直方图。图图图图4-10 4-10 统计统计统计统计数据的直方数据的直方数据的直方数据的直方图图图图（1 1）单因素方差分析）单因素方差分析命令：命令：P,anovatab,stats=an