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1、宁波大学高数总复习2一、定积分问题举例一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积 A.矩形面积梯形面积2)其他变限积分求导:牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式(牛顿-莱布尼茨公式)定理定理2.函数,则一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题例例1.求解解:因为时,所以利用夹逼准则得解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则夹逼准则可知(1998考研)例例2.求例例4.证明证证:令则令得故二、有关定积分计算和证明的方法二、有
2、关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?例例10.选择一个常数 c,使解解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.例例16.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使(2003 考研)证证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 即(3
3、)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 1.定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法基本方法:元素法元素形状:条、段、带、片、扇、环、壳 等.转动惯量.定积分的应用 第六六章 例例1.求抛物线在(0,1)内的一条切线,与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积使它故为最小值点,因而所求切线为得 0,1 上的唯一驻点例例2.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
4、解解:(1)由方程得面积为 2,体积最小?即故得又(2)旋转体体积又为唯一极小值点,因此时 V 取最小值.例例4.证明曲边扇形绕极轴证证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为故所求旋转体体积为例例5.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的垂直距离为则微分方程 第七章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 三个标准类型三个标准类型可分离变量方程可分离变量方程 齐次方程
5、齐次方程 线性方程线性方程 齐次方程齐次方程形如形如的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程.令令代入原方程得代入原方程得两边积分两边积分,得得积分后再用积分后再用代替代替 u,便得原方程的通解便得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量:一阶线性方程一阶线性方程方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程,再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法逐次积分逐次积分令令令令高阶线性微分方程 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构 线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 线性齐次方程解的结构线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方
6、程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.(叠加原理叠加原理)定理定理1.定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解,数数)是该方程的通解是该方程的通解.则则线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.定理定理 4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)定理定理3,定理定理4 均可推广到均可推
7、广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程.定理定理 5.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常系数常系数 齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性
8、微分方程.若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程:推广推广:二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理,其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法 为特征方程的为特征方程的 k(=0,1,2)
9、重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的 k(=0,1)重重根根,则设特解为则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.空间解析几何 第八八章 一一、内容小结内容小结 空间平面空间平面一般式点法式截距式三点式1.1.空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程为直线的方向向量.空间直线空间直线一般式对称式参数式为直线上一点;面与面的关系面与面的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系线面之间的相互关系直线线与线的关系线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:平面:垂直：平行：夹角公式：面与线间的关系面与线间的关系直线:3.相关的几个问题相关的几个问题(1)过直线的平面束 方程(2)点的距离为到平面 ：A x+B y+C z+D=0d到直线的距离为(3)点d例例8.直线绕 z 轴旋转一周,求此旋转曲面的方程.提示提示:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程