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1、一元二次方程的实根分布一元二次方程的实根分布问题问题一般地，对于函数一般地，对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0的实的实数数x就做函数就做函数y=f(x)的零点的零点.由此得出以下三个结论等价：由此得出以下三个结论等价：方程方程f(x)=0有实根有实根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点 复习复习:函数零点函数零点实根分布问题实根分布问题 一元二次方程一元二次方程1、当、当x为全体实数时的根为全体实数时的根 一元二次方程一元二次方程 在某个区间在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分
2、布问题实根分布问题。实根分布问题一般考虑四个方面，即实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向）开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值）端点值 的符号。的符号。2、当、当x在某个范围内的实根分布在某个范围内的实根分布条件条件1：若方程有两个正根。：若方程有两个正根。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件2：若方程的两个根均小于：若方程的两个根均小于1。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=
3、x+(m+(m3)x+m)x+m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件3：若方程的一个根大于：若方程的一个根大于1，一个根小于，一个根小于1。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件4：若方程的两个根均在：若方程的两个根均在(0，2)内。内。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m问题问题 已知方程已知方程x
4、 x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件5：若方程的两个根有且仅有一个在：若方程的两个根有且仅有一个在(0，2)内。内。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m3 3、1 1、2 2、由于由于1 1，2 2，3 3知知mm的取值范围是的取值范围是问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件6：若方程的一个根在若方程的一个根在(2，0)，另一个根，另一个根 在在(0，4)。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x
5、+(m+(m3)x+m)x+m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件7：若方程的一个根小于若方程的一个根小于2，另一个根大于，另一个根大于4。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+m)x+m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。条件条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根若方程有一个正根，一个负根且正根 的绝对值较大。的绝对值较大。如右图知如右图知分析分析 设设f(x)=xf(x)=x+(m+(m3)x+
6、m)x+m问题问题 已知方程已知方程x x+(m+(m3)x+m=)x+m=0，求实数，求实数mm的取值范的取值范围。围。一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象一元二次方程的根，其实质就是其相应二次函数的图象与与x x轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，轴交点的横坐标，因此，可以借助于二次函数及其图象，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题，下面通过例题具体情况来说明。下面通过例题具体情况来说明。设二次方程设二次方程 的二实根为的二实根为 方程对应的二次函数为方程对应的二次函数为 小结小结两个根均小于两个根
7、均小于k k两个根均大于两个根均大于k k一个根小于一个根小于k k，一个根大于一个根大于k k。小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布两个根均在两个根均在 (m(m，n)n)内内X X1 1(m(m，n)n)，X X2 2(p(p，q)q)。小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布两根均在两根均在mm，nn外两旁外两旁小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实
8、根分布的实根分布两个根有且仅有一个在两个根有且仅有一个在(m(m，n)n)内内或或或或注意：注意：由函数图象与由函数图象与x x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑以下四个方面：考虑以下四个方面：即即：（1）开口方向）开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值的符号。）端点值的符号。可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可可用韦达定理表达式来书写：可用韦达定理表达式来书写：ac0也可也可f(0)0解：寻求等价条件例例1.m为何实数值时，关于为何实数值
9、时，关于x的方程的方程（1）有实根）有实根 （2）有两正根）有两正根 （3）一正一负）一正一负（2 2）.若方程若方程x x2mx+m2mx+m1=1=0在区间在区间(2 2，4)4)上有两上有两根，求实数根，求实数mm的取值范围。的取值范围。课堂练习：课堂练习：1.1.若方程若方程7x7x(m+13)x+m(m+13)x+mmm2=0在区间在区间(0，1)1)、(1(1，2)上各有一个实根，求实数上各有一个实根，求实数mm的取值范围。的取值范围。2.2.若方程若方程2x x(m(m2)x2)x2mmm=m=0的两根在区间的两根在区间 0，1 1 之外两旁，求实数之外两旁，求实数mm的取值范围。的取值范围。3.已知方程2x2+(3m+1)x+(m+4)=0的两个根都小于1,求实数m的取值范围。4.4.关于关于x x的方程的方程2kx2kx2 2-2x-3k-2=0-2x-3k-2=0的两根，一个小于的两根，一个小于1 1，另一个大于另一个大于1 1，则求实数，则求实数k k的取值范围。的取值范围。结束！结束！