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1、解直角三角形应用举例解直角三角形应用举例1 1课件例课件例3 3、例、例4 4、例、例5 5在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系:A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:abctanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)温故而知新温故而知新ABC如图，如图，RtABC中，中，C=90，（
2、1）若）若A=30，BC=3，则，则AC=（2）若）若B=60，AC=3，则，则BC=（3）若）若A=，AC=3，则，则BC=（4）若）若A=，BC=m，则，则AC=例例3：2012年年6月月18日日“神舟神舟”九九号载人航天飞船号载人航天飞船与与“天宫一号天宫一号”目标飞行器目标飞行器成功实现交会对接成功实现交会对接“神舟神舟”九号与九号与“天宫一号天宫一号”在离地球表面在离地球表面343km的圆的圆形轨道上运行如图，当形轨道上运行如图，当组合体组合体运行到地球表面上运行到地球表面上P点的正上方时，从点的正上方时，从中中能能直接看到直接看到的的地球上地球上表面最远表面最远的点在什么位置？最远
3、点与的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？点的距离是多少？（地球半径约为（地球半径约为6400km，取取3.142，结果结果取整数取整数）分析分析：从从组合体中组合体中能直接看能直接看到的地球上的点，应是视线到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点与地球相切时的切点OQFP 如图，如图，O O表示地球，点表示地球，点F F是是组合组合体体的位置，的位置，FQFQ是是O O的切线，切点的切线，切点Q Q是从是从组合体中组合体中观测地球时观测地球时的的 最远最远点点 的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点两点间的距离，为计算间的距离，为计算 的长需的长需先求出先求出POQPOQ（即（
4、即a a）的度数的度数.例题例题解：在图中，解：在图中，设设POQPOQ=a a FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三是直角三角形角形弧弧PQ的长为的长为当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约点约2009.6kmOQFP仰角和俯角仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.例例4:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶
5、部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯角为角为60，热气球与高楼的水平距离，热气球与高楼的水平距离为为120m，这栋高楼有多高（结果精确到，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60 Rt RtABCABC中，中，a a=30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识
6、求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a=30,=60，AD120答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1mABCD1.建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角54，观察底部，观察底部B的仰的仰角为角为45，求旗杆的高度（精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中所以所以AB=ACBC=55.240
7、=15.2答：棋杆的高度为答：棋杆的高度为15.2m.练习练习2.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从时施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那么，那么开挖点开挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线（精确到成一直线（精确到0.1m）50140520mABCEDBED=ABDD=90答：开挖点答：开挖点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则ABD是是BDE的一个外角
8、的一个外角 当堂反馈当堂反馈3.如图如图3，从地面上的，从地面上的C，D两点测得树顶两点测得树顶A仰角分别是仰角分别是45和和30，已知，已知CD=200m，点，点C在在BD上，则树高上，则树高AB等等于于（根号保留）根号保留）4.如图如图4，将宽为，将宽为1cm的纸条沿的纸条沿BC折叠，使折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为，则折叠后重叠部分的面积为（根号保留）（根号保留）图图3图图4 当堂反馈当堂反馈6.如图如图2，在离铁塔，在离铁塔BE120m的的A处，处，用测角仪测量塔顶的仰角为用测角仪测量塔顶的仰角为30，已，已知测角仪高知测角仪高AD=1.5m，则塔高，则塔高BE=_（根
9、号保留）（根号保留）图图1图图25.如图如图1，已知楼房，已知楼房AB高为高为50m，铁塔塔基距楼房地基，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离间的水平距离BD为为100m，塔高，塔高CD为为m，则下面结论中正确的是（则下面结论中正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为60B由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为60C由楼顶望塔顶仰角为由楼顶望塔顶仰角为30D由楼顶望塔基俯角为由楼顶望塔基俯角为30C新人教版九年级数学新人教版九年级数学(下册下册)第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（3 3）n指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构
10、成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.n如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30n点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角问题问题如图如图:一艘轮船由海平面上一艘轮船由海平面上A A地出发地出发向南偏西向南偏西40400 0的方向行驶的方向行驶4040海里到达海里到达B B地地,再由再由B B地向北偏西地向北偏西20200 0的方向行驶的方向行驶4040海里海里到达到达C C地地,则则A,CA,C两地的距离为两地的距离为 _ _北北A北北BC40海里海里D有一个角是有一个角是60600 0的三的三角形是等边三角形角形是等边
11、三角形答：货轮无触礁危险。答：货轮无触礁危险。在在Rt ADC中，中，tan DCA=-AD=tan600 x=x在在Rt ADB中，中，tan30=-=-AD121.732=20.784 20 解：过点解：过点A作作AD BC于于D,ABDCNN1二二、探究探究24海里海里XADDCADBD 3 xX=12X+24设设CD=x,则则BD=X+24例、例、如图，海岛如图，海岛A A四周四周2020海里周围内为暗礁区，一艘货海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，航行轮由东向西航行，航行2424海里到海里到C C，在在B处见岛处见岛A在北在北偏西偏西60.在在c见岛见岛A A在北偏西在北偏西3
12、030，货轮继续向西航行，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？有无触礁的危险？例例5如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80海里海里的的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（有多远（结果取结果取整数整数）？）？解：如图解：如图，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P
13、的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130.23海里海里6534PBCA利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.巩固练习：巩固练习：海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围
14、内海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得点，这时测得小岛小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？向东航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF=x,AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理在在R
15、tABF中，中，解得解得x=610.48没有触礁危险没有触礁危险30601.如图所示，轮船以如图所示，轮船以32海里每小时的速海里每小时的速度向正北方向航行，在度向正北方向航行，在A处看灯塔处看灯塔Q在轮在轮船的北偏东船的北偏东30 处，半小时航行到处，半小时航行到B处，处，发现此时灯塔发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求与轮船的距离最短，求灯塔灯塔Q到到B处的距离（画出图像后再计算）处的距离（画出图像后再计算）ABQ30相信你能行相信你能行A2 2如图所示，一渔船上的渔民在如图所示，一渔船上的渔民在A A处看见灯处看见灯塔塔M M在北偏东在北偏东6060方向，这艘渔船以方向，这艘渔船以2828
16、海里海里/时的速度向正东航行，半小时至时的速度向正东航行，半小时至B B处，在处，在B B处处看见灯塔看见灯塔M M在北偏东在北偏东1515方向，此时灯塔方向，此时灯塔M M与与渔船的距离是渔船的距离是()()A.A.海里海里 B.B.海里海里C.7C.7海里海里 D.14D.14海里海里 D 气象台发布的卫星云图显示，代号为气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风的台风在某海岛（设为点在某海岛（设为点O）的南偏东）的南偏东45方向的方向的B点点生成，测得生成，测得 台风中心从点台风中心从点B以以40km/h的速度向正北方向移动，经的速度向正北方向移动，经5h后到达海后到达海面上的点面上的点C
17、处因受气旋影响，台风中心从点处因受气旋影响，台风中心从点C开始以开始以30km/h的速度向北偏西的速度向北偏西60方向继续移动方向继续移动以以O为原点建立如图为原点建立如图12所示的直角坐标系所示的直角坐标系x/kmy/km北东AOBC图12n（1）台风中心生成点）台风中心生成点B的坐标为的坐标为 ，台风，台风中心转折点中心转折点C的坐标为的坐标为 ；（结果保留根号）；（结果保留根号）n（2）已知距台风中心）已知距台风中心20km的范围内均会受到台的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为风的侵袭如果某城市（设为A点）位于点点）位于点O的的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台正北方向且处
18、于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？x/kmy/km北东AOBC图12解：（1）（2）过点）过点C作作 于点于点D，如图，如图2，则，则 在在 中中 台风从生成到最初侵袭该城要经过台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时小时x/kmy/kmAOBC图图2D 王英同学从王英同学从A A地沿北偏西地沿北偏西6060方向走方向走100m100m到到B B地，地，再从再从B B地向正南方向走地向正南方向走200m200m到到C C地，此时王英同学地，此时王英同学离离A A地多少距离？地多少距离？ABC北北南南西西东东DE600100m
19、200m练习新人教版九年级数学新人教版九年级数学(下册下册)第二十八章第二十八章 28.2 28.2 解直角三角形解直角三角形（4 4）修修路路、挖挖河河、开开渠渠和和筑筑坝坝时时，设设计计图图纸纸上上都都要要注明斜坡的倾斜程度注明斜坡的倾斜程度.坡坡面面的的铅铅垂垂高高度度（h）和和水水平平长长度度（l）的的比比叫做坡面叫做坡面坡度坡度坡度坡度（或（或坡比坡比坡比坡比）.记作记作i,即即i=.坡坡度度通通常常写写成成1 m的的形形式式，如如i=1 6.坡坡面面与与水水平面的夹角叫做坡角，记作平面的夹角叫做坡角，记作a，有，有i i=tan=tana a.显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡
20、角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.例例5.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直是指坡面的铅直高度高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝顶宽）坝顶宽AD和斜坡和斜坡AB的长（精确到的长（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90在在RtCDE中，中，CED=9019.4.6 如图一段路基的横断面是梯形，高为如图一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是米，上底的宽是12.51米，路基的
21、坡面与地面米，路基的坡面与地面的倾角分别是的倾角分别是32和和28求路基下底的宽求路基下底的宽（精确到（精确到0.1米）米）想一想1.认清图形中的有关线段认清图形中的有关线段;2.分析辅助线的作法分析辅助线的作法;3.坡角在解题中的作用坡角在解题中的作用;4.探索解题过程探索解题过程.作作DEAB，CFAB，垂足分别为，垂足分别为E、F由题意可知由题意可知DECF4.2（米），（米），CDEF12.51（米）（米）.在在RtADE中，因为中，因为 所以所以在在RtBCF中，同理可得中，同理可得因此因此ABAEEFBF6.7212.517.9027.13（米）（米）答：答：路基下底的宽约为路基下
22、底的宽约为27.13米米w4 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,ADC=1350.w(1)求坡角ABC的大小;w(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3).w咋办w先构造直角三角形!ABCD2.01:2.51:2B CA D E F如图如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米两米,坡度由原来的坡度由原来的1:2改成改成1:2.5,已知原已知原背水坡长背水坡长BD=13.4米米,求求:(1)原背水坡的原背水坡的坡角坡角和加宽后的背水坡的坡角和加宽后的背水坡的坡角;(2)加宽后水
23、坝的横截面面积增加了加宽后水坝的横截面面积增加了多少多少?(精确到精确到0.01)1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念的一些概念(方位角方位角;坡度、坡角等坡度、坡角等)2.实际问题向数学模型的转化实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形解直角三角形)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案结束结束