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1、 引言引言 前面，我们探讨了参数点估计前面，我们探讨了参数点估计.它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，运用起来把握不大差范围，运用起来把握不大.区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷.譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们依据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地信任内我们合理地信任 N 的真值位于其中
2、的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.事实上，事实上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的牢靠程度信任它包含真参们能以比较高的牢靠程度信任它包含真参数值数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“牢靠程度牢靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作，这里，这里 是一个是一个很小的正数很小的正数.置信水平的大小是依据
3、实际须要选定的置信水平的大小是依据实际须要选定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能置信区间置信区间.称区间称区间 为为 的的置信水平为置信水平为 的的 一、一、置信区间定义：置信区间定义：满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的的置信水平置信水平（置信度、（置信度、置信概率）为置信概率）为 的置信区间的置信区间.分别称
4、为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限.一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间内内.这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量)(X1,Xn)(X1,Xn)2.估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高.如要求区间如要求区间长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.1.要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量牢
5、靠即要求估计尽量牢靠.牢靠度与精度是一对冲突，牢靠度与精度是一对冲突，一般是在保证牢靠度的条件下一般是在保证牢靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.N(0,1)选选 的点估计为的点估计为求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间.例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，二、置信区间的求法二、置信区间的求法明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.解：解：找寻一个待估参数和找寻一个待估参数和估计量的函数估计量的函数，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布
6、，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于随意区间的概率取值于随意区间的概率.对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得对于给定的置信水平对于给定的置信水平(或许率或许率),依据依据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间,使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平.使使为什么为什么这样取这样取？对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得使使从中解得从中解得也可简记为也可简记为于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下信区间的一般步骤如下:1.明确问
7、题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平置信水平 是多少是多少?2.寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn)称称S(T,)为为枢轴量枢轴量.3.寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量T的函数的函数 S(T,),且其分布为已知且其分布为已知.4.对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据S(T,)的分布，确定常数的分布，确定常数a,b，使得，使得 P(a S(T,)b)=5.对对“aS(T,)b”作等价变形作等价变形,得到如下得到如下形式形式:则则 就是就是 的的100()的置信区间的置信区间.可见，确定区间估计很
8、关键的是要寻找可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数一个待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数S(T,),且且S(T,)的分布为已知的分布为已知,不依赖于任何未知不依赖于任何未知参数参数(这样我们才能确定一个大概率区间这样我们才能确定一个大概率区间).而这与总体分布有关，所以，而这与总体分布有关，所以，总体分布的总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.这里，我们主要探讨总体分布为正态这里，我们主要探讨总体分布为正态的情形的情形.若样本容量很大，即使总体分布若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近未知，应用中心极限定
9、理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计估计.教材上探讨了以下几种情形：教材上探讨了以下几种情形：单个正态总体均值单个正态总体均值 和方差和方差 的区间估计的区间估计.两个正态总体均值差两个正态总体均值差 和方差比和方差比 的区间估计的区间估计.比例比例 p 的区间估计的区间估计.下面我们举几个例子，其余部分请自己看下面我们举几个例子，其余部分请自己看.休息片刻接着休息片刻接着例例2 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X随机抽查随机抽查100个婴儿个婴儿得得100个体重数据个体重数据X1,X2,X100 的区间估计的区间估计求求
10、和和（置信水平为（置信水平为1-）.解：这是单总体均值和方差的估计解：这是单总体均值和方差的估计已知已知先求均值先求均值 的区间估计的区间估计.因方差未知，取因方差未知，取 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数使使即即均值均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.即为即为从中解得从中解得取枢轴量取枢轴量从中解得从中解得再求方差再求方差 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 使使于是于是 即为所求即为所求.须要指出的是，给定样本，给定置信水须要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的平，置信
11、区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造很多置信区间对同一个参数，我们可以构造很多置信区间.N(0,1)取枢轴量取枢轴量由标准正态分布表，对随意由标准正态分布表，对随意a a、b b，我们可，我们可以求得以求得P(aUb).P(aUb).例如，设例如，设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本，求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的的 置信区间置信区间.N(0,1)例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为的的置信区间为置信区间为由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些.置
12、信区间为置信区间为我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为的的我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短.类似地，我们可得到若干个不同的置信类似地，我们可得到若干个不同的置信区间区间.随意两个数随意两个数a a和和b b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)f(u)下下95%95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%95%的置信区的置信区间间.在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时时求得的置信区间的长度为最短求得的置信区间的长度为最短.a=-b 即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布分布，
13、F分布分布，习惯上仍取对称的百分位点，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间来计算未知参数的置信区间.我们可以得到未知参数的的任何我们可以得到未知参数的的任何置信水置信水平小于平小于1的的置信区间，并且置信区间，并且置信水平越高，置信水平越高，相应的相应的置信区间置信区间平均长度平均长度越长越长.也就是说，要想得到的区间估计牢靠也就是说，要想得到的区间估计牢靠度高，区间长度就长，估计的精度就差度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对冲突这是一对冲突.好用中应在保证足够牢靠的前提下，尽好用中应在保证足够牢靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些量使得区间的长度短一些.例例3 某单位要估
14、计平均每天职工的总医疗费，某单位要估计平均每天职工的总医疗费，视察了视察了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元，标准元，标准差为差为30元，试确定职工每天总医疗费用平均值元，试确定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为的区间估计（置信水平为0.95）.解：解：设每天职工的总医疗费为设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布近似服从正态分布大样本，由中心极限定理，大样本，由中心极限定理，E(X)=,D(X)=未知，用样本标准差未知，用样本标准差S近似代替近似代替.取枢轴量取枢轴量近似近似N(0,1)分布分布 对给定的置信水平对给定的置信水平 ,确定分位数确定分位数 使使
15、得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为将将 =170,S=30,=1.96,n=30代入得代入得,的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是 159.27,180.74得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关切的只是参数在对于有些实际问题，人们关切的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限.例如对于设备、元件的运用寿命来说，平均例如对于设备、元件的运用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没
16、什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取这时，可将置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间.称为单侧置信下限称为单侧置信下限.又若统计量又若统计量 满足满足则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间.称为单侧
17、置信上限称为单侧置信上限.设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均求灯泡寿命均值值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限.例例4 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差由于方差 未知，取枢轴量未知，取枢轴量解：解：的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位数，确定分位数使使即即于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间为信区间为 将样本值代入
18、得将样本值代入得的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时小时的置信水平为的置信水平为 的单侧置信下限为的单侧置信下限为即即 请自己画一张表，将各种状况下的区间请自己画一张表，将各种状况下的区间估计加以总结估计加以总结.留作作业留作作业置信区间演示置信区间演示 为了使你对置信区间概念有更好的为了使你对置信区间概念有更好的理解，并对样本容量、置信水平对置信理解，并对样本容量、置信水平对置信区间的影响建立直观印象，请看演示：区间的影响建立直观印象，请看演示：同学们可通过练习，驾驭各种求未知同学们可通过练习，驾驭各种求未知参数的参数的 置信区间的具体方法置信区间的具体方法.这一讲，我们介绍了区间估计这一讲，我们介绍了区间估计.