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1、内容欧氏空间等距变换的定义解析表达式重点等距变换 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.4等距变换-定义设设 a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)是是 R3 中的中的任意两点，它们之间的距离为任意两点，它们之间的距离为如果如果 T:R3 R3 是一一对应，且对任意是一一对应，且对任意 a、b R3 有有 d(a,b)=d(T(a),T(b)，则称则称 T 是是 R3 的的等距变换等距变换，也叫，也叫合同变换合同变换、保长变换保长变换或或欧
2、氏欧氏变换变换1.4等距变换-正交矩阵如果一个如果一个 3 阶矩阵阶矩阵 T 满足满足 TT t=E，则，则 T 是是一个一个 3 阶正交矩阵，其中阶正交矩阵，其中 T t 表示表示 T 的转置矩的转置矩阵，阵，E 表示表示 3 阶单位矩阵所有阶单位矩阵所有 3 阶正交矩阵阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫三阶正交矩阵群，关于矩阵的乘法构成群，叫三阶正交矩阵群，记为记为 O(3)由线性代数知，对任意由线性代数知，对任意 3 阶矩阵阶矩阵 A 以及任以及任意的向量意的向量 a、b R3，有，有(aA)b=a (bAt)，这里，这里，aA 表示表示 13 矩阵矩阵 a 与与 33 矩矩阵阵 A 的
3、积，的积，bAt 等也作同样的解释等也作同样的解释1.4等距变换-解析表达式定理定理.变换变换 T:R3 R3 是等距变换的充要条是等距变换的充要条件是存在件是存在 TO(3)以及以及 pR3，使，使 T(r)=rT+p 对任意的对任意的 r=(x,y,z)R3 成立成立看证明看证明1.4等距变换-等距变换群欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫构成一个群，叫等距变换群等距变换群上面的定理说明等距变换一定是形如上面的定理说明等距变换一定是形如 rT+p 的变换，并且的变换，并且TO(3)，因此，因此 T 的行列式的行列式等于等于 1 当当 T
4、 的行列式等于的行列式等于+1 时，对应的等距变换时，对应的等距变换叫叫刚体运动刚体运动，简称，简称运动运动；当；当 T 的行列式等于的行列式等于 1 时，对应的等距变换叫时，对应的等距变换叫反向刚体运动反向刚体运动刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫叫运动群运动群1.4等距变换-切向量设设 PR3，C 是过是过 P 点的曲线，我们把点的曲线，我们把 C 在在 P 点的切向量叫点的切向量叫 R3 在在 P 点的点的切向量切向量过过 P 点点可以作很多曲线，因此就有很多切向量可以作很多曲线，因此就有很多切向量 R3 在在 P 点的切向量的全体组成的集合记
5、为点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3，叫做，叫做 R3 在在 P 点的点的切空间切空间注意到注意到 R3 在在 P 点的任一切向量是某条过点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以对任意点的曲线在该点的切向量，所以对任意 vTP R3 有如下形式有如下形式 v=r(t 0)=(x(t 0),y(t 0),z(t 0)切向量也可以看成是切向量也可以看成是 R3 的点，这样，的点，这样，R3 与与 TP R3 就自然等同起来了就自然等同起来了1.4等距变换-幺正标架R3 的一个的一个标架标架 P;e1,e2,e3 是由是由 R3 的一个的一个点点 P（叫标架的原点）和（叫标架
6、的原点）和 P 点的点的 3 个线性无关个线性无关的有序切向量的有序切向量 e1,e2,e3 所构成如果这三个所构成如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架为架为正交标架正交标架或或幺正标架幺正标架显然，显然，O;i,j,k 是是 R3 的一个幺正标架的一个幺正标架Oe1e3e2P1.4等距变换-正标架设设 P;e1,e2,e3 是另一个标架，其中是另一个标架，其中 ei=aii+bij+cik,i=1,2,3令令如果如果 det A 0，则称，则称 P;e1,e2,e3 是是正标架正标架或或右手标架右手标架或或右手系右手系P;e1,e2,e3 是正标架的充分必要条件是混是正标架的充分必要条件是混合积合积(e1,e2,e3)0