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1、函数模型及其应用函数模型及其应用2例例1 已知函数已知函数 ,填写填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这三个函下表并在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象数的图象.x0.40.81.21.62.02.42.83.23.6y=2xy=x2y=log2x1.321.742.303.034.005.286.969.1912.130.160.641.442.564.005.767.8410.212.96-1.32-0.320.260.681.001.261.491.681.85图象图象 观观察察请在图象上分别标出使不等式成立的自请在图象上分别标出使不等式成立的自变量变量x的取值范围的取值范围.y=
2、x2y=2x121086420 x4096102425664164114410064361640比较函数比较函数 ,填写下填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这两个函数表并在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象的图象.从图象可知它们有两个交点，这表明从图象可知它们有两个交点，这表明 与与 在自变量不同的区间内有不同的大小关系，在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时有时 ，有时，有时 函数函数 ,填写下表并填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象象.xy=2xy=x20102030405060110241.05E+061.07E+091
3、.10E+121.13E+151.15E+180100400900160025003600501001.10E+121.13E+15当自变量当自变量x越来越大时，可以看到，越来越大时，可以看到，的图象的图象就像与就像与X轴垂直一样，轴垂直一样，的值快速增长，的值快速增长，比起比起 来几乎微不足道来几乎微不足道3.三个函数增长情况比较三个函数增长情况比较:在区间在区间(0,+)上上,尽管函数尽管函数y=logax(a1)，y=ax(a1)与与y=xn(n0)都是增函数都是增函数,但它们的增但它们的增长速度不同长速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上。随着上。随着x的的增大，增大，y
4、=ax（a1)的增长速度越来越快的增长速度越来越快,会超过会超过并远远大于并远远大于y=xn(n0)的增长速度的增长速度,而而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢的增长速度则会越来越慢.因此总因此总存在一个存在一个x0,当当x x0时时,就会有就会有 logaxxn ax探探究究你能用同样的方法你能用同样的方法,讨论一下函数讨论一下函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与与y=xn(n0)在区间在区间(0,+)上衰减情况吗上衰减情况吗?结论结论:在区间在区间(0,+)上上,尽管函数尽管函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与与y=xn(n0)都是减函数都是减函数,但
5、它们的但它们的衰减速度不同衰减速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上。随着上。随着x的增大，的增大，y=logax(0a1)的衰减速度越来越快的衰减速度越来越快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=ax(0a1)的衰减速度的衰减速度,而而y=xn(n x0时时,就会有就会有 logaxax1时时：对数函数：对数函数y=logax(a1)，指数函数，指数函数y=ax(a1)与幂函数与幂函数y=xn(n0)在区间（在区间（0,+)上上增长情况的比较增长情况的比较:在区间在区间(0,+)上上,尽管函数尽管函数y=logax(a1)，y=ax(a1)与与y=xn(n0)都是增函数都是增函
6、数,但它们的增但它们的增长速度不同长速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上。随着上。随着x的增大，的增大，y=ax（a1)的增长速度越来越快的增长速度越来越快,会超会超过并远远大于过并远远大于y=xn(n0)的增长速度的增长速度,而而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢的增长速度则会越来越慢.因此因此总存在一个总存在一个x0,当当x x0时时,就会有就会有 logaxxn ax2.当当0 a10 a1时时：对数函数：对数函数y=logax(0a1)，指，指数函数数函数y=ax(0a1)与幂函数与幂函数y=xn(n0)在区间在区间（0,+)上衰减情况的比较上衰减情况的比较:
7、在区间在区间(0,+)上上,尽管函数尽管函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与与y=xn(n0)都是减函数都是减函数,但它们的但它们的衰减速度不同衰减速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上。随着上。随着x的增大，的增大，y=logax(0a1)的衰减速度越来越的衰减速度越来越快快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=ax(0a1)的衰减速度的衰减速度,而而y=xn(n x0时时,就会有就会有 logaxax0)比比a(a1)大多少大多少,尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内,ax会小于会小于xn,但由但由于于ax的增长快于的增长快于xn的增长的增长,因此总存在一个因此总存在一个x0,当当x x0时时,就会有就会有ax xn2.对数函数和幂函数增长情况比较对数函数和幂函数增长情况比较:在区间在区间(0,+)上上,随着随着x的增大的增大,y=logax(a1)增长得越来越慢增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与图象就像是渐渐地与x轴平轴平行一样行一样.尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内,y=logax可能会大于可能会大于xn(n0),但由于但由于y=logax的增长慢的增长慢于于xn的增长的增长,因此总存在一个因此总存在一个x0,当当x x0时时,就就会有会有y=logax xn