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1、振动分析基础振动分析基础主讲：毕世华 教授北京理工高校宇航学院第一章第一章 绪论绪论1.1 概述概述振动振动(vibration,oscillation)：物体（包括微观粒子）经过它的平衡位置所做的往：物体（包括微观粒子）经过它的平衡位置所做的往复运动（机械振动）或系统的物理量在其平均值（或平衡值）旁边的来回变动。复运动（机械振动）或系统的物理量在其平均值（或平衡值）旁边的来回变动。振动是自然界最普遍的现象之一。大至宇宙，小到亚原子粒子，无不存在振动。振动是自然界最普遍的现象之一。大至宇宙，小到亚原子粒子，无不存在振动。声、光、热、电磁等物理现象都包含振动。本课程限于讲授机械振动基础学问。声、
2、光、热、电磁等物理现象都包含振动。本课程限于讲授机械振动基础学问。举例如下：举例如下：有害的振动：影响精密仪器的功能、降低加工精度、加剧构件的疲惫磨损；振有害的振动：影响精密仪器的功能、降低加工精度、加剧构件的疲惫磨损；振动可能引起结构的大变形破坏；飞机机翼的颤振；交通工具的振动会影响舒适性；动可能引起结构的大变形破坏；飞机机翼的颤振；交通工具的振动会影响舒适性；噪声公害和污染会恶化环境等。噪声公害和污染会恶化环境等。有益的振动：振动是通信、广播、电视、雷达的工作基础；利用振动的生产装有益的振动：振动是通信、广播、电视、雷达的工作基础；利用振动的生产装备和工艺（振动筛选、振动研磨、振动抛光、振
3、动沉桩、振动消退内应力等）；备和工艺（振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩、振动消退内应力等）；心脏的跳动、耳膜和声带的振动；声光热都包含振动。心脏的跳动、耳膜和声带的振动；声光热都包含振动。对有害振动的限制方法简述：对有害振动的限制方法简述：振动限制即振动抑制，设法把振动的危害降低到最小限度或减小到容许的振动限制即振动抑制，设法把振动的危害降低到最小限度或减小到容许的程度。振动限制方法主要分为以下三类：程度。振动限制方法主要分为以下三类：振动被动限制：包括阻尼消振、隔振与动力吸振技术等。应用特别普遍，振动被动限制：包括阻尼消振、隔振与动力吸振技术等。应用特别普遍，例如飞机机翼的颤振、交通工
4、具的减振等。原始的车辆没有任何减振环节，例如飞机机翼的颤振、交通工具的减振等。原始的车辆没有任何减振环节，现代汽车有轮胎、悬架和座椅三级减振，舒适性特别好。现代汽车有轮胎、悬架和座椅三级减振，舒适性特别好。振动半主动限制：事实上是被动限制的一种拓展。系统能够依据环境激振动半主动限制：事实上是被动限制的一种拓展。系统能够依据环境激励的变更状况，调整刚度、阻尼等参数以取得更好的减振效果。有些文献励的变更状况，调整刚度、阻尼等参数以取得更好的减振效果。有些文献将此方法纳入被动限制。将此方法纳入被动限制。振动主动限制：包括限制对象、传感器、执行机构、限制器及能源五部振动主动限制：包括限制对象、传感器、
5、执行机构、限制器及能源五部分。传感器得到反馈信号，经过调制放大后，传到限制器，限制器形成所分。传感器得到反馈信号，经过调制放大后，传到限制器，限制器形成所需的限制律，并发送指令到执行机构，由执行机构对结构施加限制力。由需的限制律，并发送指令到执行机构，由执行机构对结构施加限制力。由此构成了一个闭环限制系统。尽管从理论上讲主动限制能几乎完全抑制振此构成了一个闭环限制系统。尽管从理论上讲主动限制能几乎完全抑制振动，但由于系统的困难性、高成本和难实现等因素，真正好用的振动主动动，但由于系统的困难性、高成本和难实现等因素，真正好用的振动主动限制系统还很少。限制系统还很少。1.2 振动系统分类振动系统分
6、类机械振动是指机械系统中的振动，一般不包括微观例子的振动。机械振动是指机械系统中的振动，一般不包括微观例子的振动。依据参数的分布特征振动系统可分为离散系统和连续系统。依据参数的分布特征振动系统可分为离散系统和连续系统。按自由度数可分为有限多自由度系统（与离散系统对应）和无限多自由度系按自由度数可分为有限多自由度系统（与离散系统对应）和无限多自由度系统（与连续系统对应）。统（与连续系统对应）。离散系统由集中参数元件构成，分为三种：质量、弹簧和阻尼器。离散系统由集中参数元件构成，分为三种：质量、弹簧和阻尼器。质量（包括转动惯量）：只有惯性的力学模型，对质量的作用力和加速度质量（包括转动惯量）：只有
7、惯性的力学模型，对质量的作用力和加速度的一次方成正比，比例系数即质量。的一次方成正比，比例系数即质量。弹簧：不计本身质量，只具有弹性的模型。弹簧力和形变一次方成正比的弹簧：不计本身质量，只具有弹性的模型。弹簧力和形变一次方成正比的弹簧，称为线性弹簧。本文只限于探讨线性弹簧。弹簧，称为线性弹簧。本文只限于探讨线性弹簧。阻尼器：运动时产生阻尼力，不具有弹性和惯性。阻尼力与速度一次方成阻尼器：运动时产生阻尼力，不具有弹性和惯性。阻尼力与速度一次方成正比的阻尼器，称为线性阻尼器。本文只限于探讨线性阻尼器。正比的阻尼器，称为线性阻尼器。本文只限于探讨线性阻尼器。定则系统：参量的变更规律可用时间的确定函数
8、描述的振动系统，称为定则系统定则系统：参量的变更规律可用时间的确定函数描述的振动系统，称为定则系统（又称确定性系统）。（又称确定性系统）。其中参量（惯性、刚度、阻尼）是常数的为常参量系统（定常系统）；反之，为其中参量（惯性、刚度、阻尼）是常数的为常参量系统（定常系统）；反之，为变参量系统（非定常系统）。变参量系统（非定常系统）。随机系统：系统参量变更无常，无法用时间的确定性函数描述。随机系统：系统参量变更无常，无法用时间的确定性函数描述。线性系统：质量不随运动参量（位移、速度、加速度）的变更而变更，弹性力和线性系统：质量不随运动参量（位移、速度、加速度）的变更而变更，弹性力和阻尼力均为线性模型
9、。阻尼力均为线性模型。非线性系统：不能简化为线性系统的振系。非线性系统：不能简化为线性系统的振系。思索题：线性系统和非线性系统的运动微分方程有什么区分？思索题：线性系统和非线性系统的运动微分方程有什么区分？现在回答不了，以后会渐渐清晰的。现在回答不了，以后会渐渐清晰的。图图1.3 振动系统的分类振动系统的分类1.3 振动形式分类振动形式分类激励（输入）、系统和响应（输出）的关系如图1.4所示。激励分为定则激励定则激励和随机激励随机激励。定则激励：定则激励：可用确定的时间函数描述的激励。如脉冲激励、阶跃激励、简谐激励、周期激励等。随机激励：随机激励：不能用确定的时间函数描述，可用随机函数描述的激
10、励。定则振动：定则振动：定则系统在定则激励作用下的响应。随机振动随机振动：系统和激励之一为随机的，则响应为随机振动。图图1.4 激励、响应和系统的关系激励、响应和系统的关系振动按激励的限制方式分为四类：自由振动、强迫振动、自激振动和参激振动。自由振动：系统不受外界激励仅在初始条件非零状况下产生的振动。强迫振动：指系统在外界激励的作用下发生的振动，这种激励不会因振动受到抑制而消逝。自激振动：系统在受到系统振动本身限制的激励作用下发生的振动。一旦振动被抑制，激励也随之消逝。参激振动：激励方式是通过周期地或随机地变更系统的特性参量来实现的振动。1.4 探讨方法探讨方法对于定则系统和随机系统的振动问题
11、，一般是已知激励、响应和系统中的对于定则系统和随机系统的振动问题，一般是已知激励、响应和系统中的二者求第三者。二者求第三者。振动分析：在激励和系统已知的状况下求系统的响应。振动分析：在激励和系统已知的状况下求系统的响应。振动环境预料：在系统和响应已知的状况下推算系统的激励。振动环境预料：在系统和响应已知的状况下推算系统的激励。系统识别：在激励和响应已知状况下，确定系统特性。系统识别：在激励和响应已知状况下，确定系统特性。振动综合（或振动设计）：在确定的激励条件下，设计系统，使系统的响振动综合（或振动设计）：在确定的激励条件下，设计系统，使系统的响应满足指定要求。应满足指定要求。一般是将振动综合
12、问题转化为若干振动分析问题处理，如图一般是将振动综合问题转化为若干振动分析问题处理，如图1.5所示。所示。1.5 主要先修课程：主要先修课程：理论力学、材料力学、高等数学、微分方程理论、线理论力学、材料力学、高等数学、微分方程理论、线性代数、矩阵分析等。性代数、矩阵分析等。依据约束条件设计依据约束条件设计初拟系统初拟系统建立系统模型进建立系统模型进行振动分析行振动分析满足条件？满足条件？系统设计完成系统设计完成接受灵敏度分析接受灵敏度分析等手段修改系统等手段修改系统图图1.5 振动综合问题的解决方案振动综合问题的解决方案补充内容：离散系统元件的特性补充内容：离散系统元件的特性在国际单位制中k的
13、单位为牛/米；c的单位为牛秒/米。线性弹簧和线性阻尼器线性弹簧和线性阻尼器线性弹簧和线性阻尼器的特性线性弹簧和线性阻尼器的特性弹簧的串并联弹簧的串并联其次章其次章 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动2.2 谐振子与谐振动谐振子与谐振动无阻尼的单自由度线性系统可用图无阻尼的单自由度线性系统可用图2.2.1所示的质量弹簧模型来描述。所示的质量弹簧模型来描述。自由振动自由振动(free vibration)：系统受到初始扰动后，仅靠弹性复原力来维持的：系统受到初始扰动后，仅靠弹性复原力来维持的振动。如图所示系统，弹簧未变形时长振动。如图所示系统，弹簧未变形时长l，略去弹簧本身质量，
14、取静平衡位，略去弹簧本身质量，取静平衡位置为坐标原点。不论在哪个位置上质量块所受到的弹簧力总是力图使其返回置为坐标原点。不论在哪个位置上质量块所受到的弹簧力总是力图使其返回平衡位置，称为复原力（平衡位置，称为复原力（restoring force)。假设弹簧力大小与变形成正比，。假设弹簧力大小与变形成正比，此即线性弹簧。比例常数此即线性弹簧。比例常数k称为弹簧刚度或弹簧常数称为弹簧刚度或弹簧常数(spring stiffness or spring constant)，在国际单位制中单位是，在国际单位制中单位是N/m。假如系统的初始条件不为零，。假如系统的初始条件不为零，即初始位移和初始速度不
15、全为零。由于弹性复原力和系统惯性的缘由，系统即初始位移和初始速度不全为零。由于弹性复原力和系统惯性的缘由，系统会发生振动。会发生振动。取质量取质量m为分别体，运用牛顿定律可得：为分别体，运用牛顿定律可得：图图2.2.1 无阻尼单自由度线性系统无阻尼单自由度线性系统简谐函数：正弦函数和余弦函数统称为简谐函数。简谐函数：正弦函数和余弦函数统称为简谐函数。简谐振动（谐振动）：可以用简谐函数描述得振动。单自由度线性系统的简谐振动（谐振动）：可以用简谐函数描述得振动。单自由度线性系统的无阻尼自由振动是简谐振动。无阻尼自由振动是简谐振动。谐振子：无阻尼的单自由度线性系统。谐振子：无阻尼的单自由度线性系统。
16、A振幅（振幅（amplitude），表示质量块偏离平衡位置的最大距离；），表示质量块偏离平衡位置的最大距离；初相角（初相角（phase angle）；）；p角频率角频率(固有频率固有频率)（frequency）；单位：）；单位：rad/s由式由式(2.2.5)可见，振幅和初相角依靠于初始条件。而角频率与初始条件无可见，振幅和初相角依靠于初始条件。而角频率与初始条件无关，仅取决于系统的刚度与质量，因此称关，仅取决于系统的刚度与质量，因此称p为系统的固有（角）频率。为系统的固有（角）频率。T周期（周期（period）：谐振动重复一次所需的时间，又称固有周期。）：谐振动重复一次所需的时间，又称固有周
17、期。f频率：周期的倒数，又称固有频率，即单位时间（频率：周期的倒数，又称固有频率，即单位时间（1s）内振动的重复次）内振动的重复次数，单位数，单位Hz，赫兹，简称赫。，赫兹，简称赫。结论：振系质量越大，刚度越小，系统固有频率越低，周期越长；反之，结论：振系质量越大，刚度越小，系统固有频率越低，周期越长；反之，则固有频率越高，周期越短。则固有频率越高，周期越短。pt图图2.2.2 简谐振动简谐振动下面探讨有常力作用的状况：下面探讨有常力作用的状况：结论：只要取质量块的静平衡位置作为坐标原点，就可以不考结论：只要取质量块的静平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力和弹簧的静变形影响。与不受常力的状况
18、相比，微分方虑常力和弹簧的静变形影响。与不受常力的状况相比，微分方程形式完全一样，只是坐标原点有所变动而已。程形式完全一样，只是坐标原点有所变动而已。图图2.2.3 受常力作用的情形受常力作用的情形2.3 能量法能量法无阻尼单自由度线性系统机械能应当守恒。由此可以计算系统的固有频率。无阻尼单自由度线性系统机械能应当守恒。由此可以计算系统的固有频率。2.4 弹性元件的等效质量弹性元件的等效质量当弹性元件（弹簧、梁、轴等）的质量远小于振动物体的质量时，略去当弹性元件（弹簧、梁、轴等）的质量远小于振动物体的质量时，略去弹性元件的质量是合理的，也是足够精确的。弹性元件质量不能忽视的弹性元件的质量是合理
19、的，也是足够精确的。弹性元件质量不能忽视的状况下，一种近似的处理方法是将弹性元件的质量折算到物体上去，弹状况下，一种近似的处理方法是将弹性元件的质量折算到物体上去，弹性元件仍作无质量处理。能量法可以有效地计算弹性元件的等效质量，性元件仍作无质量处理。能量法可以有效地计算弹性元件的等效质量，关键在于计算系统的动能时要考虑弹性元件的动能。通常取弹性元件的关键在于计算系统的动能时要考虑弹性元件的动能。通常取弹性元件的静变形模式作为假设振动模式。静变形模式作为假设振动模式。如图如图2.4.1所示扭振系统，探讨弹性轴的等效转动惯量问题。所示扭振系统，探讨弹性轴的等效转动惯量问题。图图2.4.1 扭摆示意
20、图扭摆示意图2.5 线性阻尼系统的自由振动线性阻尼系统的自由振动严格讲，无阻尼自由振动是不存在的。阻力的来源多种多样，如滑动面之严格讲，无阻尼自由振动是不存在的。阻力的来源多种多样，如滑动面之间的摩擦力，四周介质（空气、水）的阻力，材料内部的损耗等。变更规间的摩擦力，四周介质（空气、水）的阻力，材料内部的损耗等。变更规律困难多样，有的阻力接近常数，有的与速度成正比，有的与速度平方成律困难多样，有的阻力接近常数，有的与速度成正比，有的与速度平方成正比。我们只考虑线性阻尼状况，如图正比。我们只考虑线性阻尼状况，如图2.5.1所示。所示。图图2.5.1 单自由度线性阻尼系统单自由度线性阻尼系统图图2
21、.5.2 特征根随阻尼率的变更特征根随阻尼率的变更1 临界阻尼情形临界阻尼情形（1，critical damping case）图图2.5.3 临界阻尼情形临界阻尼情形2 超临界阻尼情形（超临界阻尼情形（1，over damped case)图图2.5.4 超临界阻尼情形超临界阻尼情形3 亚临界阻尼情形（亚临界阻尼情形（01，under damped case)图图2.5.5 亚临界阻尼情形亚临界阻尼情形2.6 对数衰减率对数衰减率我们已经求得单自由度线性系统在亚临界阻尼情形下的振动为衰减振动，即：图图2.5.5A 亚临界阻尼情形亚临界阻尼情形振动的例子：单摆振动的例子：单摆(simple p
22、endulum)轻质不行伸缩的弦，小球的体积忽视不计。轻质不行伸缩的弦，小球的体积忽视不计。单摆的振动单摆的振动第三章第三章 单自由度线性系统的定常强迫振动单自由度线性系统的定常强迫振动3.1 引言引言自由振动可以看做是系统对初始扰动的响应。初始扰动是外界对系统极自由振动可以看做是系统对初始扰动的响应。初始扰动是外界对系统极短暂的作用，自由振动起先于扰动终了时刻。系统在常常性激励的作用短暂的作用，自由振动起先于扰动终了时刻。系统在常常性激励的作用下的振动称为强迫振动。下的振动称为强迫振动。线性系统的一个最重要的特点是叠加原理适用于它。线性系统的一个最重要的特点是叠加原理适用于它。叠加原理：系统
23、对于多个激励的总响应，等于系统对各个激励单独作用叠加原理：系统对于多个激励的总响应，等于系统对各个激励单独作用下的响应之和。下的响应之和。3.2 无阻尼系统对简谐激励的响应无阻尼系统对简谐激励的响应 图图3.2.1 简谐激励作用下的谐振子简谐激励作用下的谐振子在式(3.2.11)中：第一项和其次项分别对应于初速度和初位移引起的自由振动；第三项对应于扰力引起的自由振动；第四项对应于系统的定常强迫振动，它是与扰力形式相同的简谐函数。值得留意的是，扰力不仅激起强迫振动，同时也激起自由振动。即使对于零初始条件，也是如此。以下具体说明此问题。图图3.2.2 共振的建立过程共振的建立过程图图2.3.1 简
24、谐激励作用下的单自由度线性阻尼系统简谐激励作用下的单自由度线性阻尼系统3.3 线性阻尼系统对简谐激励的响应线性阻尼系统对简谐激励的响应实际的振系总是有阻尼的。本节仅探讨亚临界阻尼情形（实际的振系总是有阻尼的。本节仅探讨亚临界阻尼情形（01)图图3.3.4 线性阻尼情形下共振的建立过程线性阻尼情形下共振的建立过程3.4 定常强迫振动的复数解法与频率响应函数定常强迫振动的复数解法与频率响应函数以图以图3.3.1所示系统为例进行探讨。所示系统为例进行探讨。图图3.4.1 复简谐函数的旋转矢量表示复简谐函数的旋转矢量表示图图3.4.2 方程方程(3.4.14)对应的旋转矢量封闭多边形对应的旋转矢量封闭
25、多边形3.5 周期激励下的定常强迫振动周期激励下的定常强迫振动3.5.1 Fourier级数级数图图3.5.2 f(t)的频谱的频谱3.5.2 强迫振动的一般表示式强迫振动的一般表示式3.6 测振原理测振原理本节探讨惯性式测振仪的工作原理。包括位移计和加速度计。参见图本节探讨惯性式测振仪的工作原理。包括位移计和加速度计。参见图3.6.1。3.7 隔振原理隔振原理运动隔振运动隔振：精密机械、仪器隔离从基础传来的振动；力隔振力隔振：减小振动机械对基础的作用。3.7.1 运动隔振运动隔振参见图3.7.1，m代表设备，隔振装置用k和c来表示。图图3.7.1 基座振动的隔离基座振动的隔离3.7.2 力隔振力隔振参见图3.7.3，这时机器本身是振源，隔振的目的是减小机器的振动对基础的作用。图图3.7.3 传递力隔振传递力隔振3.9 品质数与半功率带宽品质数与半功率带宽当系统阻尼较小时，放大率的曲线具有尖峰幅频特性。图图3.9.1 半功率带宽半功率带宽