整式分式复习预习资料.doc

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1、.整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即 ( , 都是正整nma数)（2）幂的乘方:幂的乘方:底数不变, 指数相乘.即 ( , 都是正整数)mna)(（3）积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.即 ( 是nba(正整数)（4）同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.（这个也可以看做分式的运算）即 ( 0, , 都是正整数，且 )nmanmn 零指数幂:不等于零的数的零次幂等于 1. 即 1( 0).0a推

2、导过程： （这里面注意：a0，因为分母中有 a）1a0-amm负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 ( 0, 是正整数).p1p例 1. 计算 aa243)解: =243( 9989 523a点评:在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大括号， ） ，然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例 2：0. 25 2009420098 1000. 5300解： 0. 252009420098 1000. 5300（0. 254） 2009（2 3） 1000. 53001 2009（20. 5） 30011 3000【知识点二】整式乘法(1

3、) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因数.即：3a 2b4c2x3bc6=(32)(b4b)(cc6)a2x3=6a2x3b5c7.(2)单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即：a(m+n)=am+an（单项式计算部分与上面原理相同）(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（就是反复多用几次乘法分配律） 。即：（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn。 （单项式计

4、算部分与上面原理相同）例 3.计算：(1) ； (2) （2a 3-3a+5） （3-a 2） ；)3()2()3(2 bacba解:(1) )(2= )()94(323c= cbaba87422 (2)（2a 3-3a+5） （3-a 2）= 2355196a= 223a点评：为防止“漏项” ，应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项；要正确确定积中每项的符号；如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果；通常情况下，最后结果应按某一字母的降幂排列.【知识点三】：乘法公式(1)平方差公式:两个数的和与这两个数的积,等于这两个数的平方差. 即 .2baba(2)完全平方公式:两数和(

5、或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的 2 倍.即: , 2222baba例 4.利用乘法公式计算: nm34解: = =nm23422 2234nm= =2196 916点评:巧妙的将 看作一个整体是解决本题的关键.【知识点四】：整式除法（了解即可，这几年几乎不从这部分里出题）.(1) 单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.【知识点五】因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的

6、积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2因式分解的方法：常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”.（前三个较常考，第四个较难理解，而且大纲里不作要求，近几年不常考，但是用好了会简化许多计算）一、提公因式法. am+an=a(m+n)二、运用公式法. a2-b2=(a+b)(a-b)；a 22ab+b2=(ab)2；三、分组分解法. 把需要分解的式子改变顺序，对其中某部分提公因式或运用公式，然后再进行下一步的因式分解（一）分组后能直接提公因式例 5、分解因式： bnm分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也

7、不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(na= 每组之间还有公因式！ b= m【注】分组的选择是不唯一的，这道题还可以选择其他的分组方式，试试看。（二）分组后能直接运用公式例 6、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= )()(2yx= yxa= 例 7、分解因式： 22cb解：原式= 2)(a= cb= (四、十字相乘法.（这是因式分解的最精华部分，但是大

8、纲里不做要求，是课本中的思考题部分，所以了解即可，但是如果学会了，解题会快很多）（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 8、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。 .1 2解： = 1 3 652x32)(2x=例 6、分解因式： 72解：原式= 1 -1 )6()(1xx= 1 -6 6)(（-1）+（

9、-6 ） = -7（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a11（2） c22（3） 11b分解结果： =x2 )(2cxa例 7、分解因式： 032分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =2x)5(x（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 2218ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。b1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba )16(8)16(bab= )(（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、2267yx 232xy1 -2y 把 看

10、作一个整体 1 -1 xy2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)( )(【典型题】例 1. 设 m2m20，求 m33m 22000 的值分析：由 m2m20 无法求 m，所以要把 m33m 22000 及 m2m20 变形解：由 m2m20，得 m22m，m 2m2，原式m 2m3m 22000（2m）m3m 220002mm 23m 220002（m 2m）20002220002004 评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法例 2. 化简求值：5（mn） （mn）2（mn） 23（mn） 2，其中 m2，n 15分析

11、：先应用乘法公式化简，再代入求值解：5（mn） （mn）2（mn） 23（mn） 25（m 2n 2）2（m 22mnn 2）3（m 22mn n 2）.5m 25n 22m 24mn2n 23m 26mn3n 210n 22mn当 m2，n 时，15原式10n 22mn2n（5nm）2 （5 2） （3）15 15 25 65评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确【注】这类习题一定要先化简，在代数求值，以后的分式部分也要这样做例 3. 已知（ab） 211， （ab） 25，求（1）a 2b 2；（2）ab分析：利用完全平方公式变形即可解：由（ab） 211，得 a22abb

12、 211由（ab） 25，得 a22abb 25，得 2a22b 216故 a2b 28，得 4ab6故 ab 32例 4 abc 的三边 a、b、c 有如下关系式：c 2a 22ab2bc0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解（还有些题是对某部分因式分解） 。 证明：c 2a 22ab 2bc0 ，（ac） （a c ）2b （a c）0，（ac） （a2bc ）0 又a、b、c 是abc 的三条边，a2b c 0，ac0， 即 ac，abc 为等腰三角形。例 5 简便计算 2001199920011999=（2000+1） （2000-1

13、）=20002-12000+12000+1（-1）=20002-1 （用平方差公式也可以直接得到这一步）=4000000-1=3999999例 6计算 am+5bn+1a-m+6bn-1 解：a m+5bn+1a-m+6bn-1 分析：无论指数多繁杂同底数幂结合是关键。=(a m+5a-m+6)(bn+1bn-1) =a m+5-m+6 bn+1+n-1 =a 11b2n 例 7计算(-1) 2k+1(- )2k 解：(-1) 2k+1(- )2k 分析：(-1)的奇次幂是-1 .=(-1)(- )2k （-1）的偶次幂是+1 =-1( )k 利用 amn (am)n 将(- )2k =-(

14、)k = 变形(- )2k=(- )2k=( )k例 8用简便方法计算：(1) (-9) 3(- )3( )3 分析：本题逆用积的乘方公式，即同指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂。ambmcm=(abc)m 解：(1) (-9)3(- )3( )3 =(-9)( - )( )3 =(9 )3=23=8例 9 如果 28n16n=222, 求 n 的值分析：依据相等的 2 个幂，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。 解： 28 n16n=222 又 左边=28 n16n=2(23)n(24)n=223n24n=21+3n+4n =21+7n 2 1+7n=222, 1+7n=22 n=3

15、 例 10 已知 求 的值,21x21x解：（ ） 2=x2-2x +( )2= x2-2+( )2=41=4+2=62x例 11 如果 a b 2a 4b 50 ，求 a、b 的值解：a b 2a 4b 5（a-1） 2+（b+2 ） 2=0 所以 a-1=0 b+2=0 所以 a=1 b=-2例 12 两个连续整数的平方差必是奇数解：设这两个连续整数是 n 和 n+1则 这两个数的平方差是 （n+1） 2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1因为 n 是整数 所以 2n+1 是奇数 则结论成立。分式一、重点难点：重点是提高分式部分化简求值的运算能力，注意分式什么时候无意义，什么时候

16、值为 0；会.解分式方程，会用分式方程解决实际问题。难点是计算要快速准确，解方程记得检验是否是增根。二、知识要点【知识点一】分式的基础知识1. 分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称 为分AB AB式若 B0，则 有意义；若 B=0，则 无意义；若 A=0，B0，则 0. AB AB AB2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为 , (C0).C3. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分

17、.【注】通分的关键是确定 n 个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式例 1 下列各式，哪些是整式，哪些是分式？例 2 分别求出使下列式子有意义的 x 的值。解:分式有意义，只要分母不为 0 就可以 第一个：x-30 x3第二个： -30 x 3x第三个：x 20 x0例 3 如果分式 的值为零，那么 等于 93xx解：依题意得 3x-90 x3.-3=0 x= 3 综合起来，x=-3（x=3 的时候分式分母为 0，无意义）x例 4 例 5 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。【知识点二】 分式的运算【注：这部分中考必有一道题，计算一定要大量练

18、习，要保证准的基础上，提高速度。 】（1）分式乘除法：概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现例 6解：原式= =b)a(-)-(22b）（ 2-例 7. 先化简，再求值。 【中考题型，一定要先化简，再代数，切记。 】.（2）分时加减法同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：异分母

19、的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。例 8例 9【知识点三】 分式方程概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。【注】对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整.式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。 （验跟是只有分式方程中才特有的，但是必须的）验根的方法有两种，一种是把求得

20、的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。例 10 ()xx6211解：方程两边同时乘以 得()()()xx6212整理，得 0解这个方程，得 123经检验， 是原方程的增根，应舍去.所以原方程的根是x2 x例 11 年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 1/3。小丽家去年 12 月份的水费是 15 元，而今年 7 月份的水费则是 30 元。已知小丽家今年 7 月份的用水量比去年 12 月份的用水量多 5m3，求该市今年居民用水的价

21、格。主要的等量关系是：小丽家今年 7 月份的用水量小丽家去年 12 月份的用水量=5m 3所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格 x 元/ m 3 ，则今年的水价为（1+1/3）x 元/ m 3，根据题意，得51-x30）（解这个方程，得 x=1.5经检验，x=1.5 是所列方程的根。1.5（1+1/3）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格 2 元/ m 3。例 12 xx210解：原方程变为（ ） 2+（ ）-2=0x1所以 =-2 x1=x2=-1或 =1 这个方程无解x经检验，x 1=x2=-1 是这个方程的跟。例 13 如果方程 有增根 ,则 k=_kx2x1解：解这种题，不要先带 x 的值，因为带进去分母为 0，分式无意义，所以，先通分，