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1、.一. 知识梳理：（一）、有理数的基础知识1、三个重要的定义：（1）正数：像 1、2.5、这样大于 0 的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“”号，表示比 0 小的数叫做负数；（3）0 即不是正数也不是负数。2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：负 分 数正 分 数分 数 负 整 数正 整 数整 数有 理 数 0负 分 数负 整 数负 有 理 数 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数 03、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上的所
2、表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于 0，负数都小于0，正数大于负数。4、相反数符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。其中一个数就叫另一个数的相反数。0 的相反数是 0。互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。5、绝对值（1）绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。（2）一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数之间的关系：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0；（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（二）、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值
3、相加；.异号两数相加，当绝对值相等时，和为零；当绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：加法的结合律：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变
4、成加法，再按有理数加法法则进行运算；3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。（2）有理数乘法的运算律：交换律： 结合律： 交换律： （3）倒数的定义：乘积是 1 的两个有理数互为倒数，即 ab=1，那么 a 和 b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数（0 除外），等于乘上这个数的倒数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0。5、有理数的乘方（1）有理数
5、的乘法的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂.幂的表示： naa 相 乘个n.an读作：a 的 n 次方，也叫做 a 的 n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。an的意义：表示 n 个 a 相乘。即 an= （2）幂的符号性质： 正数的任何次幂都是正数 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 0 的任何正整数次幂都得 0特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算
6、式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。二、典型例题例 1、把下列各数分别填入相应的集合里。（-2） ，0，-0.314，-（-11） ， ，-4 ，0. ， ，2 7231532正有理数集合: 负有理数集合： 整数集合: 分数集合: 自然数集合: 例 2、 （1）下列说法错误的是（ ）（A）自然数一定是有理数（B）自然数一定是整数（C）自然数一定是非负数（D）整数一
7、定是自然数幂的指数an幂幂的底数相 乘个.（2）绝对值大于 而小于 的自然数有_ 大于-3 且小于 2 的所有整数 238绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数 不超过（-5/3） 3的最大整数 在数轴上，与表示-1 的点的距离为 2 的所有数 （3）对于任何有理数 a，下列各式中必为负数的是（ ）（A） -(-3+a) （B） -a （C）-|a+1|（D） -a2-1例 3、 （1）a 的倒数的相反数是 ，-a+3 的相反数是 （2）已知 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，则 2009（a+b）+3cd= 例 4、 （1）数 a、b 在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（ ）（A）a
8、b （B）a+b0 （C）ab0 （D）|a|b|（2）数轴上点 A、B 分别表示-4 和 3，则线段 AB 的中点表示的数为_（3）已知数轴上点 A、B 分别表示-2 和 x，若 AB=3，则 x 的值为_（4）若 x2，则化简|2-x|= （5） 21()0,_则 =xyy例 5、细心填一填两个互为相反数的数的和是 ；两个互为相反数的数的商是 （0 除外） 的绝对值与它本身互为相反数； 的平方与它的立方互为相反数； 与它绝对值的差为 0； 的倒数与它的平方相等；_的倒数等于它本身；_的平方是 4，_的绝对值是 4；如果-aa，则 a_； 如果|a|=-a，则 a_；如果 ，那么 a_； 如果 ，那么 a_；例 6、已知| a | 0,b 0 B、ab0 C、b-a|b|5. （ 5）+（ 6）=_； （ 5）（ 6）=_；（ 5）（ 6）=_； （ 5）6=_。6. 21_； 214=_；73_； 93_ _。7. 20320)1(_；8 . 计算（1） 43()() （2） 324()9