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1、层次分析法层次分析法引言与引例引言与引例 层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是美国运筹学家 T.L.Saaty 教授于上世纪 70 年头初期提出的一种简便、敏捷而又好用的多准则决策方法。人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的困难而往往缺少定量数据的系统。在这样的系统中，人们感爱好的问题之一是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言，应当怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异？层次分析法为这类问题的决策和排序供
2、应了一种新的、简洁而好用的建模方法。它把困难问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预料、投入量的安排等问题。引例：综合评价 某公司聘请工作人员，拟从实力、学问和仪态三个方面考核应聘者的综合表现。为此建立了如下评价指标的层次结构：其中 x1=写作水平，x2=外语程度，x3=公关实力，x4=国内外政治经济时事，x5=计算机操作学问，x6=容貌与风度，x7=体形高矮与肥瘦，x8=音色。如能知道底层指标 x1,x8 对最
3、高层的权系数w1,w8 以及各底层指标的得分，就可以依据如下的评价公式对应聘者进行考核、排序。例例 高校毕业生就业选择问题高校毕业生就业选择问题 获得高校毕业学位的毕业生，在获得高校毕业学位的毕业生，在“双向选择双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：例如：能发挥自己才能作出较好贡献（即工作岗位适能发挥自己才能作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；合发挥自己的专长）；工作收入较好（待遇好）；工作收入较好（待遇好）；生活环境好（大城市
4、、气候等工作条件等）；生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；单位名声好（声誉等）；单位名声好（声誉等）；工作环境好（人际关系和谐等）工作环境好（人际关系和谐等）发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。引例：综合决策 某地要改善一条河道的过河运输条件，为此须要确定是否要建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。在此问题中过河方式的确定取决于过河的效益与代价（即成本）。通常我们用费效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此分别给出了两个层次结构（图 1.1.2 和图 1.1.3）。它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的。决
5、策的制定将取决于依据这两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之比，即如能知道底层方案 Di（i=1,2,3）对最高层 Aj（j=1,2）的权系数 wij（i=1,2,3，j=1,2），则可依据如下的决策公式Si=wi1/wi2，i=1,2,3对三个方案进行排序、选择。引例1.1.3：预料或估计 在体育竞赛中预料一个代表队的成果，有三种可能的前景：x1=名列第一 x2=名列前八名（不包括第一）x3=名落孙山所用的评价指标有三个：竞技实力、自信念、环境因素。为此构建如下的层次结构：如能知道底层指标 x1,x2,x3 对最高层的权系数 w1j,w2j,w3j（j=1,2,3），将各相同前景的权系
6、数相加，就可以依据如下的预料公式 对各前景 x1,x2,x3 对进行先验预料。引例1.1.4：投入量的安排 在这种问题中，投入量给定，要把它们安排到若干部门去。如能知道各部门对投入量的需求权重，把权系数看成安排的百分比率即可。1.2 层次分析法的基本原理和步骤层次分析法的基本原理和步骤 运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：1.建立问题的递阶层次结构；2.构造两两比较推断矩阵；3.由推断矩阵计算被比较元素相对权重；4.计算各层次元素的组合权重。1.2.1 建立递阶层次结构 建立递阶层次结构是层次分析法中的第一步。首先，将困难问题分解为称之为元素的各组成部分，把这些元素按属性不同分成若干
7、组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次。处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或志向结果。中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不确定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的全部元素。一个典型的层次可以用下图表示出来：其次，层次数与问题的困难程度和所须要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过 9 个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较推断带来困难。第三，一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立
8、在决策者对所面临的问题具有全面深化的相识基础上，假如在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。一个递阶层次结构应具有以下特点：(1)从上到下依次地存在支配关系，并用直线段表示。除第一层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最终一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多，故认为同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。(2)整个结构中层次数不受限制。(3)最高层只有一个元素，每个元素所支配的元素一般不超过 9 个，元素多时可进一步分组。(4)对某些具有子层次的结构可引
9、入虚元素，使之成为递阶层次结构。1.2.2 构造两两比较推断矩阵 在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1,An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赐予 A1,An 相应的权重。对于大多数社会经济问题，特殊是对于人的推断起重要作用的问题，干脆得到这些元素的权重并不简洁，往往须要通过适当的方法来导出它们的权重。层次分析法所用的是两两比较的方法。第一，在两两比较的过程中，决策者要反复回答问题：针对准则 Ck，两个元素 Ai 和 Aj 哪一个更重要一些，重要多少。须要对重要多少赐予确定的数值。这里运
10、用 19 的比例标度，它们的意义见表 1.3.1。表1.3.1 标度的意义1表示两个元素相比，具有同样的重要性3表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要5表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要7表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要9表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要2，4，6，8为上述相邻判断的中值 例如，准则是社会经济效益，子准则可分为经济、社会和环境效益。假如认为经济效益比社会效益明显重要，它们的比例标度取 5，而社会效益对于经济效益的比例标度则取 1/5。19 的标度方法是将思维推断数量化的一种好方法。首先，在区分事物的差别时，人们总是用相同、较强、强
11、、很强、极端强的语言。再进一步细分，可以在相邻的两级中插入折衷的提法，因此对于大多数决策推断来说，19 级的标度是适用的。其次，心理学的试验表明，大多数人对不同事物在相同程度属性上差别的辨别实力在 59 级之间，接受 19 的标度反映多数人的推断实力。再次，当被比较的元素其属性处于不同的数量级时，一般须要将较高数量级的元素进一步分解，这可保证被比较元素在所考虑的属性上有同一个数量级或比较接近，从而适用于 19 的标度。其次，对于 n 个元素 A1,An 来说，通过两两比较，得到两两比较推断矩阵 A：A=(aij)nn 其中推断矩阵具有如下性质：（1）aij 0；（2）aij=1/aji；（3）
12、aii=1。我们称 A 为正的互反矩阵。依据性质（2）和（3），事实上，对于 n 阶推断矩阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个给出推断即可。1.2.3 和法计算权重和法计算权重 步骤如下a)将A的每一列向量归一化得b)对c)归一化按行求和得d)计算1.2.3 方根法计算权重 方根法是一种更简化的近似求解矩阵特征向量和最大特征根的方法，其特征向量Wi按下式计算。式中式中而最大特征根则按下式计算：=式中(AW)=aWTo试用方根法求例所示推断矩阵的特征向量及特征根。o设一推断矩阵如下所示。o 1 1/7 1/9o a=7 1 1/2o 9 2 1o o由此便可求出该推断矩阵各目标的相
13、应权重系数分别为：最大特征根为：最大特征根为：1.2.4 计算单一准则下元素的相对权重 这一步是要解决在准则 Ck 下，n 个元素A1,An 排序权重的计算问题。对于 n 个元素 A1,An，通过两两比较得到推断矩阵 A，解特征根问题Aw=maxw所得到的 w 经归一化后作为元素 A1,An 在准则 Ck 下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Perron 定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性：定定理理 设 n 阶方阵 A 0，max 为 A 的模最大的特征根，则有 (1)max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；(2)A
14、的任何其它特征根 恒有|max；(3)max 为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量w，可用 Matlab 软件干脆计算。例如：计算矩阵的最大特征值及相应的特征向量。相应的 Matlab 程序如下：A=1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1;x,y=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y 是特
15、征值，且从大到小排列；是特征值，且从大到小排列；x 是特征向量矩阵，每一列为是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。相应特征值的一个特征向量。输出结果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604 1.2.4 推断矩阵的一样性检验 在特殊状况下，推断矩阵 A 的元素具有传递性，即满足等式aij ajk=aik例如当 Ai 和 Aj 相比的重要性比例标度为 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例标度为 2，一个传递性的推断应有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例标度为 6。当上式对矩阵 A 的全
16、部元素均成立时，推断矩阵A 称为一样性矩阵。一般地，我们并不要求推断具有这种传递性和一样性，这是由客观事物的困难性与人的相识的多样性所确定的。但在构造两两推断矩阵时，要求推断大体上的一样是应当的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的推断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的推断矩阵有可能导致决策的失误，而且当推断矩阵过于偏离一样性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其牢靠程度也值得怀疑。因而必需对推断矩阵的一样性进行检验。推断矩阵一样性检验的步骤如下：(1)计算一样性指标 C.I.：其中 n 为推断矩阵的阶数；(2)查找平均随机一样性指标 R.I.：平均随机一
17、样性指标是多次（500次以上）重复进行随机推断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏1986年得出的115阶推断矩阵重复计算1000次的平均随机一样性指标如下：阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59(3)计算一样性比例 C.R.：当 C.R.0.1 时，一般认为推断矩阵的一样性是可以接受的。否则应对推断矩阵作适当的修正。1.2.5 计算各层元素的组合权重 为了得到递阶层次结构中每一层次中全部元素相对于总目标的相对权重，须要把1.2.3 中的计算结果
18、进行适当的组合，并进行总的一样性检验。这一步是由上而下逐层进行的。最终计算结果得出最低层次元素，即决策方案的优先依次的相对权重和整个递阶层次模型的推断一样性检验。假定递阶层次结构共有 m 层，第 k 层有 nk（k=1,2,m）个元素，如图。已经计算出第 k1 层 nk1个元素 A1,A2,相对于总目标的组合排序权重向量w(k1)=(w1(k1),w2(k1),wnk1(k1)T，以及第 k 层 nk 个元素 B1,B2,相对于第 k 1层每个元素 Aj（j=1,2,nk1）的单排序权重向量pi(k)=(p1j(k1),p2j(k1),pnk j(k1)T，i=1,2,nk 其中不受 Aj 支
19、配的元素权重取为 0。作 nk nk 1 阶矩阵P(k)=(p1(k),p2(k),pnk 1(k)那么第 k 层 nk 个元素 B1,B2,相对于总目标的组合排序权重向量为w(k)=(w1(k),w2(k),wnk(k)T=P(k)w(k1)，并且一般公式为w(k)=P(k)P(k1)P(3)w(k1)。对于递阶层次模型的推断一样性检验，须要类似地逐层计算。若分别得到了第 k1 层次的计算结果 C.I.k1、R.I.k1 和 C.R.k1，则第 k 层次的相应指标为 1.3 范例范例工工作作选选择择：经经双双方方恳恳谈谈，已已有有三三个个单单位位表表示示情情愿愿录录用用某某毕毕业业生生。该该
20、生生依依据据已已有有信信息息建建立立了了一一个个层层次结构模型，如下图所示：次结构模型，如下图所示：经过细致斟酌，该生对准则层和方案层分别进行了两两比较，所做的两两比较推断矩阵为：对矩阵 A 和 Bj（j=1,6）分别进行求最大特征值、一样性推断、求权值等运算，再经过组合权重的计算和组合一样性的推断，最终结果是：该生最满足的工作为工作 1。中间的具体计算结果如表 1.3.1 和表 1.3.2 所示。(归一化）表1.3.1 各层及组合权值准则研究 发展 待遇 同事 地理 单位课题 前途 情况 位置 名气总排序权 值准则层权值0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0
21、.2879方案层单排序权 值工作10.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.79860.3952工作20.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.10490.2996工作30.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.09650.3052表1.3.2 各层及组合一样性比例准则研究 发展 待遇 同事 地理 单位课题 前途 情况 位置 名气 组合一致比例准则层一致比例0.0981方案层一致比例0.0176 0.0236 0.0068 0.0624 0.0000 0.00680.1111留留意意：事事实实上上，
22、在在准准则则层层的的最最终终组组合合一一样样性性比比例例为为0.1111，大大于于0.1。但但由由于于各各个个单单层层的的一一样样性性都都是是可可以以接接受受的的，组组合合一一样样性性比比例例比比0.1大大的的很很少少，考考虑虑到到调调整整两两两两比比较较推推断断矩矩阵阵特特别别麻麻烦烦，故故在在此此问题中，我们认可这样的一样性比例。问题中，我们认可这样的一样性比例。六、层次分析法应用实例六、层次分析法应用实例某单位拟从某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务学问、口才、写作实力有政策水平、工作作风、业务学问、口才、写作实力和健康状
23、况。下面用和健康状况。下面用AHP方法对方法对3人综合评估、量化人综合评估、量化排序。排序。目标层目标层选一领导干部选一领导干部 准则层准则层 方案层方案层 健健康康状状况况业业务务知知识识口口才才写写作作能能力力工工作作作作风风政政策策水水平平建立层次结构模型建立层次结构模型健康情况健康情况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风健健康康情情况况业业务务知知识识写写作作能能力力口口才才政政策策水水平平工工作作作作风风A的最大特征值的最大特征值相应的特征向量为：相应的特征向量为：构造成对比较矩阵及层构造成对比较矩阵及层次单排序次单排序一样性指标一样性指标随机一样
24、性指标随机一样性指标 RI=1.24(查表查表)一样性比率一样性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1通过一样性检验通过一样性检验假设假设3人关于人关于6个标准的推断矩阵为：个标准的推断矩阵为：健康状况健康状况业务学问业务学问写作实力写作实力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值特征值健康情况健康情况 业务知识业务知识 写作能力写作能力 口才口才 政策水平政策水平 工作作风工作作风 3.02 3.02 3.05 3.05 3.00 3.02各属性的最大特征值各属性的最大特征值均通过一样
25、性检验均通过一样性检验从而有从而有即在即在3人中应选择人中应选择A担当领导职务。担当领导职务。层次总排序及一样性检验层次总排序及一样性检验旅游问题旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林。（2）构造成对比较矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一样性检验成对比较矩阵 的最大特征值表明 通过了一样性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量 对成对比较矩阵 可以求层次总排序的权向量并进行一样性检验，结果如下：计算 可知 通过一样性检验。对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一样性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得，对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一样性检验。可作为最终的决策依据。故最终的决策应为去桂林。又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，即各方案的权重排序为感谢！