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1、第八节点函数的积分不雅念迄今为止,我们先落后修了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等多种差异典范的积分.在深造过程中,我们也留心到上述种种积分在定义与性质的表述上相当类似,那么是否可从上述积分不雅念中抽象出一种分歧的积分不雅念的表述,使得上述种种积分根本上它的一种专门状况呢?谁人征询题的答案是确信的.由此要引入点函数积分的不雅念.分布图示弁言点函数积分的不雅念点函数积分的性质点函数积分的分类及其关系前去内容要点点函数积分的不雅念点函数积分的性质点函数积分的分类及其关系一、点函数积分的不雅念定义1设为有界闭地域,函数为上的有界点函数.将形体任意分成n个子闭地域其中表示第i个子闭地域,
2、也表示它的度量,在上任取一点,作乘积并作跟假定当各子闭地域的直径中的最大年夜值趋近于零时,这跟式的极限存在,那么称此极限为点函数在上的积分,记为,即其中称为积分地域,称为被积函数,P称为积分变量,称为被积表达式,称为的度量微元.点函数积分存在如下物理意思:设一物体占拥有界闭地域,其密度为那么该物体的质量特不地,事前,有假定点函数在有界闭地域上连续,那么在上可积.二、点函数积分的性质设在有界闭地域上都可积,那么有性质1性质2性质3其中且与无大年夜众内点.性质4假定那么性质5假定那么特不地,有性质6假定在积分地域上的最大年夜值为M,最小值为m,那么性质7(中值定理)假定在有界闭地域上连续,那么至少
3、有一点使得其中称为函数在上的平均值.三、点函数积分的分类及其关系1.假定这时那么(1)这是一元函数在区间上的定积分.事前,是区间长.2.右且L是一立体曲线,这时因此(2)事前,是曲线的弧长.(2)式称为第一类立体曲线积分.3.假定且是空间曲线,这时那么(3)事前,是曲线的弧长.(3)式称为第一类空间曲线积分.2、3的专门状况是曲线为直线段,而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明可用一次定积分打算,因此用了一次积分号.4.假定且D是立体地域,这时那么(4)(4)式称为二重积分.事前,是立体地域D的面积.5.假定且是空间曲面,这时那么(5)(5)式称为第一类曲面积分.事前,是空间曲面的面积.由于(5)的专门状况是立体地域上的二得积分,说明该积分可化为两次定积分的打算,因此用二重积分号.6.假定为空间立体,这时那么(5)(6)式称为三重积分.当,那么是空间立体的体积.更进一步,我们还可以使用点函数积分的不雅念分歧来表述占据界闭地域的物体的重心、转动惯量、引力等物理不雅念,此处不再表述.