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1、2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组1第四章第四章概率分布与抽样概率分布与抽样 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组2n案案 例例:n会计算彩票中奖概率就一定能够中大奖吗会计算彩票中奖概率就一定能够中大奖吗n第一节第一节 随机变量的分布随机变量的分布n第二节第二节 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理n第三节第三节 统计量的抽样分布统计量的抽样分布 第四章第四章 概率分布与抽样概率分布与抽样 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组3 学习目标学习目标1. 理解随机变量的定义理解随机变量的定义,了解其概率分布了解其概率分布;2. 会计算离散型随机变量的概率和概
2、率分布会计算离散型随机变量的概率和概率分布;3. 会计算连续型随机变量的概率和概率分布会计算连续型随机变量的概率和概率分布;4. 理解大数定律和中心极限定理理解大数定律和中心极限定理;5. 掌握常用统计量的抽样分布掌握常用统计量的抽样分布; 6. 会用会用Excel计算常见分布的概率。计算常见分布的概率。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组4 重点与难点重点与难点n1. 随机变量概率分布的意义随机变量概率分布的意义;n2. 统计量抽样分布的若干结论统计量抽样分布的若干结论;n3. 两类极限定理的意义及其若干结论两类极限定理的意义及其若干结论;n4. 小样本的精确分布。小样本的精确分布
3、。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组5第一节第一节 随机变量的分布随机变量的分布一、随机变量的定义及其类型一、随机变量的定义及其类型 1.随机变量的定义随机变量的定义 2.随机变量的两种类型随机变量的两种类型二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 1.概率分布的含义及意义概率分布的含义及意义 2.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 3.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 4.标准正态分布标准正态分布2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组6一、随机变量的定义及其类型一、随机变量的定义及其类型n（一）随机变量的定义（一）随机变量的定义 n 定义
4、定义4.1：取值与某项试验的各种结果相联系：取值与某项试验的各种结果相联系的变量，称为随机变量。的变量，称为随机变量。 n（二）随机变量的两种类型（二）随机变量的两种类型n 按取值特点的不同，随机变量可分为两大类：按取值特点的不同，随机变量可分为两大类：离散型随机变量和非离散型随机变量。离散型随机变量和非离散型随机变量。 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组71离散型随机变量离散型随机变量n 如果随机变量如果随机变量的所有取值是有限个或都的所有取值是有限个或都可以逐个列举出来，则称之为离散型随机变量。可以逐个列举出来，则称之为离散型随机变量。例如，掷骰子试验中例如，掷骰子试验中“出现
5、的点数出现的点数”、质量检、质量检验中从一批产品里验中从一批产品里“取到次品的个数取到次品的个数”等都是等都是离散型随机变量。离散型随机变量。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组82.连续型随机变量连续型随机变量n 如果随机变量的取值不止是有限个或可列如果随机变量的取值不止是有限个或可列无限多个，无限多个， 而是可取到某个区间或整个数轴上而是可取到某个区间或整个数轴上的一切值，则称该随机变量为连续型随机变量。的一切值，则称该随机变量为连续型随机变量。例如，一批电子元件的例如，一批电子元件的“使用寿命使用寿命”、抽样调、抽样调查中的查中的“测量误差测量误差”等都是连续型随机变量。等都是
6、连续型随机变量。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组9二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布n（一）（一） 概率分布的含义及意义概率分布的含义及意义n1.概率分布的含义概率分布的含义n 定义定义4.2：随机变量在其取值范围内，取值与：随机变量在其取值范围内，取值与取值概率间一一对应的关系，称为随机变量的取值概率间一一对应的关系，称为随机变量的概率分布，简称分布。概率分布，简称分布。 n2.概率分布的意义概率分布的意义n 描述随机变量变化的统计规律，能方便地计描述随机变量变化的统计规律，能方便地计算任一事件发生的概率。算任一事件发生的概率。2022-1-13版权所有 BY 统计学
7、课程组10（二）（二） 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 n离散型随机变量概率分布的两种表现形式离散型随机变量概率分布的两种表现形式n1.分布表分布表n2.分布律分布律2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组112022-1-13版权所有 BY 统计学课程组12 常用的离散型随机变量的分布常用的离散型随机变量的分布 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组13 常用的离散型随机变量的分布常用的离散型随机变量的分布 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组14 常用的离散型随机变量的分布常用的离散型随机变量的分布2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组15
8、2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组16（三）随机变量的分布函数（三）随机变量的分布函数n2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组172022-1-13版权所有 BY 统计学课程组18（四）（四） 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布n1.密度函数的定义密度函数的定义2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组192022-1-13版权所有 BY 统计学课程组20（三）（三） 连续型随机变量的概率分布（连续型随机变量的概率分布（2）n2.密度函数密度函数 的数学性质的数学性质n3.事件事件“ ”发生的概率发生的概率 的计算方法的计算方法( )f xaXb()()(
9、)baP aXbP aXbf x dx=2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组21（三）（三） 连续型随机变量的概率分布（连续型随机变量的概率分布（3）n4.事件事件“ ”发生的概率的几何意义发生的概率的几何意义n5.连续型随机变量的期望值和方差分别为连续型随机变量的期望值和方差分别为 aXb2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组22 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组23 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组24 常见的连续型随机变量的分布常见的连续
10、型随机变量的分布2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组25 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组26 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组272022-1-13版权所有 BY 统计学课程组282022-1-13版权所有 BY 统计学课程组29（五）标准正态分布（五）标准正态分布 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组302022-1-13版权所有 BY 统计学课程组31 常见的连续型随机变量的分布常见的连续型随机变量的分布2022-1-13版权所有 BY
11、统计学课程组32 标准化变换标准化变换 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组332标准正态分布的上侧分位点和双侧分位点标准正态分布的上侧分位点和双侧分位点 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组342022-1-13版权所有 BY 统计学课程组352022-1-13版权所有 BY 统计学课程组36 第二节第二节 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 n一、大数定律n 大数定律又称大数法则，它阐述的是随机变大数定律又称大数法则，它阐述的是随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到某一常数的结论。收敛到某一常数的结论。20
12、22-1-13版权所有 BY 统计学课程组37（一）（一） 依概率收敛依概率收敛2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组382022-1-13版权所有 BY 统计学课程组39二、中心极限定理2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组402022-1-13版权所有 BY 统计学课程组41（二）（二） 李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组42（三）（三） 棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组432022-1-13版权所有 BY 统计学课程组44 第三节第三节 统计量的抽
13、样分布统计量的抽样分布 n一、抽样方式n 抽样调查属于非全面调查，抽样的核心问抽样调查属于非全面调查，抽样的核心问题是如何保证样本对总体具有充分的代表性。题是如何保证样本对总体具有充分的代表性。按是否根据已知概率抽选样本单位，抽样方式按是否根据已知概率抽选样本单位，抽样方式可分为概率抽样和非概率抽样；统计推断主要可分为概率抽样和非概率抽样；统计推断主要采用概率推断。按抽取样本单位后是否放回，采用概率推断。按抽取样本单位后是否放回，抽样方式又可分为重置抽样（放回）和不重置抽样方式又可分为重置抽样（放回）和不重置抽样（不放回）。抽样（不放回）。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组45一、
14、抽样方式n（一）（一） 概率抽样概率抽样n 概率抽样是按照随机原则进行抽样的方式，它不概率抽样是按照随机原则进行抽样的方式，它不加任何主观因素，组成总体的每个单位都有被抽中的加任何主观因素，组成总体的每个单位都有被抽中的概率，样本对总体有很强的代表性。概率，样本对总体有很强的代表性。n1概率抽样的优点和不足概率抽样的优点和不足n 概率抽样的优点有：（概率抽样的优点有：（1） 调查结果可以用来推调查结果可以用来推断总体；（断总体；（2） 能估算出并能控制抽样误差。能估算出并能控制抽样误差。n 概率抽样的不足有：（概率抽样的不足有：（1） 在大多数案例中，相在大多数案例中，相同规模的概率抽样的费用
15、要比非概率抽样高；（同规模的概率抽样的费用要比非概率抽样高；（2） 概率抽样比非概率抽样的技术要求高，需要更多的时概率抽样比非概率抽样的技术要求高，需要更多的时间策划和实施。间策划和实施。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组46n2常用的概率抽样方法常用的概率抽样方法n（1） 简单随机抽样，又称纯随机抽样，它是抽样前对总体不加简单随机抽样，又称纯随机抽样，它是抽样前对总体不加任何分组、划类、排队等处理，完全随机地抽取样本单位的方法。任何分组、划类、排队等处理，完全随机地抽取样本单位的方法。n（2） 等距抽样，又称机械抽样或系统抽样，它是抽样前将总体等距抽样，又称机械抽样或系统抽样，它
16、是抽样前将总体各单位按一定标志或次序排队，然后按相等的距离抽取样本单位各单位按一定标志或次序排队，然后按相等的距离抽取样本单位的方法。的方法。n（3） 类型抽样，又称分类抽样或分层抽样，它是抽样前将总体类型抽样，又称分类抽样或分层抽样，它是抽样前将总体单位按其属性特征分成若干类型或层，然后在各类型或层中随机单位按其属性特征分成若干类型或层，然后在各类型或层中随机抽取样本单位的方法。抽取样本单位的方法。n（4） 整群抽样，又称集团抽样，它是抽样前将总体各单位按一整群抽样，又称集团抽样，它是抽样前将总体各单位按一定标准分成若干群或组，再从总体中随机抽取一定数量的群或组，定标准分成若干群或组，再从总
17、体中随机抽取一定数量的群或组，对抽中的群或组的所有单位进行全面调查的方法。对抽中的群或组的所有单位进行全面调查的方法。n（5） 多阶段抽样，又称多级抽样，它是将调查分成两个或两个多阶段抽样，又称多级抽样，它是将调查分成两个或两个以上的阶段进行抽样的方法。第一阶段先将总体按照一定的规范以上的阶段进行抽样的方法。第一阶段先将总体按照一定的规范分成若干抽样单位，称之为一级抽样单位，再把抽中的一级抽样分成若干抽样单位，称之为一级抽样单位，再把抽中的一级抽样单位分成若干更小的二级抽样单位，从抽中的二级抽样单位再分单位分成若干更小的二级抽样单位，从抽中的二级抽样单位再分三级抽样单位，三级抽样单位，这样就形
18、成一个多阶段抽样过程。一般在一，这样就形成一个多阶段抽样过程。一般在一次抽样不能得到样本单位而总体又超大、复杂时使用。次抽样不能得到样本单位而总体又超大、复杂时使用。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组47（二）（二） 非概率抽样非概率抽样n 1非概率抽样的特点非概率抽样的特点n 非概率抽样是按主观意向进行抽样的方式，因组非概率抽样是按主观意向进行抽样的方式，因组成总体的一部分单位没有被抽中的机会，故容易出现成总体的一部分单位没有被抽中的机会，故容易出现样本对总体的系统性偏差。一般情况下，非概率抽样样本对总体的系统性偏差。一般情况下，非概率抽样得到的样本不适宜推断总体。得到的样本不适
19、宜推断总体。n 非概率抽样的优点是简单易行、成本低、省时间非概率抽样的优点是简单易行、成本低、省时间等，在操作上也比概率抽样简单。但由于无法排除抽等，在操作上也比概率抽样简单。但由于无法排除抽样者的主观性，无法客观地评价样本的代表性，特别样者的主观性，无法客观地评价样本的代表性，特别是不能计算和控制抽样误差，因此样本不具有推论总是不能计算和控制抽样误差，因此样本不具有推论总体的性质。非概率抽样多用于探索性研究、预备性研体的性质。非概率抽样多用于探索性研究、预备性研究和总体边界不清难于实施概率抽样的研究。究和总体边界不清难于实施概率抽样的研究。（二）（二） 非概率抽样非概率抽样n 实际应用时，采
20、用非概率抽样的原因包括：实际应用时，采用非概率抽样的原因包括：（1） 受客观条件的限制，无法采用严格的概受客观条件的限制，无法采用严格的概率抽样方法；（率抽样方法；（2） 调查时效性要求高，要迅调查时效性要求高，要迅速取得调查结果；（速取得调查结果；（3） 调查对象不确定或者调查对象不确定或者无法确定；（无法确定；（4） 总体各单位的标志值差异不总体各单位的标志值差异不大，而且调查者有丰富的调查经验等。大，而且调查者有丰富的调查经验等。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组48（二）（二） 非概率抽样非概率抽样n2常用的非概率抽样方法常用的非概率抽样方法n 常用的非概率抽样方法包括方便
21、抽样、配常用的非概率抽样方法包括方便抽样、配额抽样、判断抽样和滚雪球抽样等。额抽样、判断抽样和滚雪球抽样等。n(1) 方便抽样方便抽样n 方便抽样的样本限于总体中易于抽到的一方便抽样的样本限于总体中易于抽到的一部分。最常见的方便抽样是偶遇抽样，即研究部分。最常见的方便抽样是偶遇抽样，即研究者将在某一时间和环境中所遇到的每一总体单者将在某一时间和环境中所遇到的每一总体单位均作为样本成员。位均作为样本成员。“街头拦人法街头拦人法”就是一种就是一种偶遇抽样。偶遇抽样。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组49（二）（二） 非概率抽样非概率抽样n（2） 配额抽样配额抽样n 配额抽样也称定额抽样
22、，它是将总体依某配额抽样也称定额抽样，它是将总体依某种标准分层，按照各层样本数与该层总体数成种标准分层，按照各层样本数与该层总体数成比例的原则主观地抽取样本的方法。配额抽样比例的原则主观地抽取样本的方法。配额抽样与类型概率抽样很接近，不过，它们有两点重与类型概率抽样很接近，不过，它们有两点重要的区别：一是配额抽样的被调查者不是按随要的区别：一是配额抽样的被调查者不是按随机原则抽出来的，而类型抽样必须遵守随机原机原则抽出来的，而类型抽样必须遵守随机原则；二是配额抽样的目的在于探索性研究，而则；二是配额抽样的目的在于探索性研究，而类型抽样的目的在于样本推断总体。类型抽样的目的在于样本推断总体。20
23、22-1-13版权所有 BY 统计学课程组50（二）（二） 非概率抽样非概率抽样n（3） 判断抽样判断抽样n 判断抽样又称立意抽样，它是研究者从总判断抽样又称立意抽样，它是研究者从总体中选择那些被判断为最能代表总体的单位作体中选择那些被判断为最能代表总体的单位作为样本的抽样方法。当研究者对自己的研究领为样本的抽样方法。当研究者对自己的研究领域十分熟悉，对研究总体比较了解时采用这种域十分熟悉，对研究总体比较了解时采用这种抽样方法，可获代表性较高的样本。这种抽样抽样方法，可获代表性较高的样本。这种抽样方法多应用于总体单位数较少而内部差异大的方法多应用于总体单位数较少而内部差异大的情况，以及在总体边
24、界无法确定或因研究者的情况，以及在总体边界无法确定或因研究者的时间与人力、物力有限时采用。时间与人力、物力有限时采用。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组51（二）（二） 非概率抽样非概率抽样n（4） 滚雪球抽样滚雪球抽样n 滚雪球抽样是以若干个具有所需特征的人为最初的调查对象滚雪球抽样是以若干个具有所需特征的人为最初的调查对象，然后依靠他们提供认识并合格的调查对象，再由这些人提供第，然后依靠他们提供认识并合格的调查对象，再由这些人提供第三批调查对象，三批调查对象，依次类推，样本如同滚雪球般由小变大的，依次类推，样本如同滚雪球般由小变大的抽样方法。滚雪球抽样多用于总体单位的信息不足或
25、观察性研究抽样方法。滚雪球抽样多用于总体单位的信息不足或观察性研究的情况，这种抽样中有些总体单位最后仍无法找到，有些总体单的情况，这种抽样中有些总体单位最后仍无法找到，有些总体单位被提供者漏而不提，两者都可能造成误差。滚雪球抽样调查的位被提供者漏而不提，两者都可能造成误差。滚雪球抽样调查的优点是调查费用大大减少，然而这种成本的节约是以调查质量的优点是调查费用大大减少，然而这种成本的节约是以调查质量的降低为代价的。这种抽样方法很可能导致较大的偏差，因为那些降低为代价的。这种抽样方法很可能导致较大的偏差，因为那些总体单位的名单来源于那些最初调查过的人，而他们之间可能十总体单位的名单来源于那些最初调
26、查过的人，而他们之间可能十分相似，因此，样本也许不能很好地代表总体。分相似，因此，样本也许不能很好地代表总体。2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组522022-1-13版权所有 BY 统计学课程组53二、样本与统计量二、样本与统计量 n（一）（一） 简单随机样本简单随机样本 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组54（二）（二） 常用统计量常用统计量2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组55（二）（二） 常用统计量常用统计量 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组56（二）（二） 常用统计量常用统计量2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组57三、抽样分
27、布三、抽样分布n补充知识：补充知识：自由度自由度n在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中。其中n为样本容量，为样本容量，k为被限制的条件数或变量个数，为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。数。自由度通常用于抽样分布中。 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组582022-1-13版权所有 BY 统计学课程组592022-1-13版权所有 BY 统计学课程组602022-
28、1-13版权所有 BY 统计学课程组612022-1-13版权所有 BY 统计学课程组622022-1-13版权所有 BY 统计学课程组63四、正态总体的样本均值与样本方差的分布四、正态总体的样本均值与样本方差的分布n（一）（一） 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布n 1总体为正态总体总体为正态总体 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组642总体为非正态总体，但为大样本总体为非正态总体，但为大样本 2022-1-13版权所有 BY 统计学课程组652022-1-13版权所有 BY 统计学课程组662022-1-13版权所有 BY 统计学课程组672022-1-13版权所有 BY 统计学课程组682022-1-13版权所有 BY 统计学课程组69本章小结本章小结