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1、三、模模范题剖析例1断定以下级数的收敛性，假设收敛，求其跟1；2；3剖析1普通项是两项之差，前项的跟能够经过消项来求得；2普通项需先拆项，而后前项的跟能够经过消项来求得；3级数前项的跟不随意求得，因而，不易求出但级数前项的部分跟跟前项的部分跟却随意求出，因而可求出跟，从而可求出解1因为故，即原级数收敛且其跟为2因为=故，即原级数收敛且跟为3级数前项的部分跟为=，故，又因为，从而故原级数收敛且跟为例2设级数收敛，咨询级数能否收敛？什么缘故？解级数收敛，级数能够收敛也能够发散如级数收敛，但级数却发散；又如级数收敛，级数也收敛错曲解答因为级数收敛，因而，故，从而由比拟审敛法知级数收敛错解剖析解误的系
2、数，那么这不雅观念，把持级数的根天性子及收敛比拟审敛法只要用于正项级数，而标题中并未告诉级数是正项级数，故此种解法是过掉的例3判不以下级数能否收敛？1；2；3；4剖析1所给级数是正项级数，其普通项是，因为，故此级数的收敛性可用收敛级数的性子、比拟审敛法或根值审敛法等办法来判不2所给级数是正项级数，其普通项是因为，故比值审敛法生效，可用比拟审敛法3所给级数是正项级数，其普通项是，留意到事先，因而原级数与级数同时收敛同时发散故只要判不级数的收敛性就能够了4所给级数是正项级数，其普通项是因为普通项中含有定积分，故用比拟审敛法来判不其收敛性为宜解1解法1因为，而级数跟都收敛，由收敛级数的性子可知所给级
3、数收敛解法2因为，故所给级数是正项级数又因为，且正项级数收敛，故由比拟审敛法知所给级数收敛解法3因为，故所给级数是正项级数又因为，故由根值审敛法知原级数收敛错曲解答因为极限不存在.因为，假设令，那么它有两个子数列：，因而，不存在由比值审敛法可知原级数的收敛性不克不及断定错解剖析在比值审敛法中，极限存在仅仅是判不正项级数收敛性的充沛前提，而不是需求前提2因为，故所给级数是正项级数由幂级数开展式：，可得，而正项级数收敛，由比拟审敛法知原级数收敛3因为，故所给级数是正项级数又因为事先，令，由比拟审敛法知原级数与正项级数同时收敛同时发散留意到，可知级数收敛，因而原级数也收敛4因为，故所给级数是正项级数
4、又因为，且正项级数收敛，故由比拟审敛法知原级数收敛注1用比拟审敛法来判不正项级数的收敛性时a假设用不等式办法，那么应当将原级数的普通项增加为一个收敛级数的普通项如今可断定原级数收敛，或许将原级数的普通项添加为一个发散级数的普通项如今可断定原级数发散b假设用极限办法，那么应当调查级数普通项趋于无量小时的阶当它是的阶无量小时，那么可断定原级数收敛；当它是的同阶或低阶无量小时，那么断定原级数发散注2判不级数收敛性时必需先断定级数的模范，而后用照应的审敛法例4判不以下级数的收敛性：1；2为恣意实数，；3剖析1所给级数是正项级数，其普通项是，含有阶乘，故用比值审敛法比拟好2所给级数是正项级数，其普通项是
5、，含有次幂，故可用根值审敛法也可用比值审敛法来判不3所给级数是正项级数，其普通项是，含有阶乘，故用比值审敛法判不收敛性比拟好解1因为，故所给级数是正项级数又因为，故由比值审敛法知原级数收敛2因为，故所给级数是正项级数又因为，或，故由根值审敛法(或比值审敛法)知：事先，原级数收敛；事先，原级数发散；而事先，原级数变为，事先，级数收敛；事先，级数发散综上所述：当，为恣意实数时，原级数收敛；当，为恣意实数时，原级数发散；当，时，原级数收敛；当，时，原级数发散3因为，故所给级数是正项级数又因为，故由比值审敛法知事先，原级数收敛；事先，原级数发散；事先，调查,的值由极限的推导进程可知：数列是枯燥添加的，
6、同时有上界，即有，因而有，由此可得而，故，由级数收敛的需求前提可知原级数发散综上所述：事先，原级数收敛；事先，原级数发散例5证实级数收敛，并由此证实剖析所给级数是正项级数，其普通项是，含有次幂，故用根值审敛法来判不其收敛性留意到偏偏是级数的部分跟，假设级数收敛，那么有界，从而可得所要证的论断证实因为，故所给级数是正项级数又因为，故由根值审敛法知所给级数收敛由此可知该级数的部分跟数列有界，因而注在证实级数收敛时，假设用比值审敛法，那么求时较庞杂例61以下说法准确的选项是A假设收敛，那么收敛B假设收敛，那么收敛C假设收敛，那么D假设收敛且，那么不必定收敛206研假设级数收敛，那么级数A收敛B收敛C
7、收敛D收敛解1取，那么可知A，B及C过掉应选D不的，假设取，那么可知尽管级数收敛且有，但级数发散；假设级数收敛且，当跟全然上正项级数时，由比拟审敛可知也收敛。这从另一方面说清晰D是准确的2因为级数收敛，故级数也收敛，由收敛级数的性子可知D准确不的，假设取，那么可知A，B及C过掉例7判不以下级数能否收敛？假设收敛，是相对收敛依然前提收敛？1；2；3；4剖析这些级数全然上交织级数，属恣意项级数范围判不其收敛性的普通办法是：先依照正项级数的审敛法来断定能否相对收敛，假设是，那么该级数自身收敛，判不任务实现；假设不是，再判不该级数自身能否收敛假设它满意莱布尼茨定理的两个前提，那么它自身收敛，即前提收敛
8、，判不任务实现；假设它不满意莱布尼茨定理的两个前提，那么需求另寻办法判不它的收敛性值得留意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判不相对收敛的进程中，假设，那么该级数不只不相对收敛，同时其自身确信发散解1，故事先，收敛，即原级数相对收敛；事先，发散，但由莱布尼茨定理知收敛，即原级数前提收敛；事先，原级数发散2，而发散，故由比拟审敛法知发散留意到收敛满意莱布尼茨定理前提，故原级数前提收敛3，因为，故由比值审敛法知发散，留意到，因而原级数发散4解法1，因为前提收敛，级数跟相对收敛，故原级数前提收敛解法2因为，故级发散尽管原级数是交织级数，但不满意莱布尼茨定理前提，因而不克不及用莱布尼茨定理来判不其收敛性
9、，下面用收敛界说来判不.，由此可见是枯燥添加的留意到，故数列有界，因而存在极限，无妨设又，因而有，从而数列有极限，即原级数前提收敛例8设正项级数与均收敛，证实级数收敛证实正项级数与均收敛，故由收敛级数的性子知级数收敛因为，那么，由比拟审敛法知级数收敛过掉证实因为正项级数与均收敛，故，由比值审敛法知级数收敛错解剖析正项级数的比值审敛法的抗命题不成破，也确实是说，假设，那么正项级数收敛；反之，假设正项级数收敛，并非确信有也有能够或极限不存在异样需求留意的是，正项级数的根值审敛法的抗命题也不成破例9假设幂级数在处收敛，那么该级数在处A相对收敛B前提收敛C发散D敛散性不克不及断定解因为幂级数在处收敛，
10、由Abel定理可知，关于适合不等式的所有使该级数相对收敛，即该级数在区间内相对收敛而，故该级数在处相对收敛，因而谜底是A例10假设幂级数在处收敛，1试探讨该幂级数在处的敛散性；2该幂级数在处收敛性如何样？解1令，那么，由幂级数在处收敛知，幂级数在处收敛，由Abel定理可知，关于适合不等式的所有使该级数相对收敛，即幂级数在区间内相对收敛；从而可知在内相对收敛而是区间内的点，故幂级数在处相对收敛2由1知，幂级数在处的收敛性不克不及断定错曲解答1因为幂级数在处收敛，由Abel定理可知，关于适合不等式的所有使该级数相对收敛，即该级数在区间内相对收敛而是区间的端点，故该级数在处的收敛性不克不及断定2由1
11、知，该级数在处的收敛性也不克不及断定错解剖析下面的过掉缘故在于过掉地运用了Abel定理，Abel定理是对形如的级数有效，而关于那么不克不及单刀直入用例11求以下幂级数的收敛半径与收敛域：1；2；3；4剖析1所给幂级数不缺项，故可单刀直入用公式来求幂级数的收敛半径，求时可用比值法也可用根值法，用后者时要用到论断：2，幂级数短少偶次项，故不克不及单刀直入用公式求幂级数的半径，而用比值法或根值法，这里用比值法较好3令，那么原级数可化为，如此就可按后面的办法来求该幂级数的收敛域，再运用关联就可求得原级数的收敛域4，幂级数短少奇次项，故不克不及单刀直入用公式求幂级数的半径，而用比值法或根值法，这里用根值
12、法较好解1因为，故所求幂级数的收敛半径为事先，原级数为，收敛；事先，原级数为，收敛故所求幂级数的收敛域为2因为=，由比值审敛法知：当，即时，幂级数相对收敛；当，即时，幂级数发散由幂级数收敛半径的界说知，所求幂级数的收敛半径为又因为事先，级数为，收敛；事先，级数为，也收敛故所求幂级数的收敛域为3解法1令，那么原级数可化为，因为=，故幂级数的收敛半径为又因为事先，级数即为，因为，故如今幂级数发散；异样可知事先幂级数也发散故幂级数的收敛域为而事先，；事先，故原级数的收半径为，收敛域为解法2因为=，故由比值审敛法可知，当=，即时，幂级数相对收敛；当=即或时，幂级数发散由此可知所求幂级数的收敛半径为不难
13、验证，当跟时幂级数发散故所求幂级数的收敛域为4解法1因为=故由比值审敛法知：当，即时，幂级数相对收敛；当，即时，幂级数发散由幂级数收敛半径的界说知，所求幂级数的收敛半径为又因为事先，级数为，收敛，故所求幂级数的收敛域为解法2令，那么原级数可化为，这里，由公式法求得其收敛半径为，故当，即时，原级数收敛；当，即时，原级数发散由此可知原级数的收敛半径为，事先，级数为，收敛，故所求幂级数的收敛域为例12设幂级数的收敛半径为，求幂级数的收敛半径解由可知，任取，级数相对收敛，因而数列有界，即存在负数，使成破因而关于的恣意一点，有，另一方面，由比值审敛法能够断定级数对任何都收敛，从而由比拟审敛法可知幂级数对
14、任何也相对收敛，即错曲解答由有，故，从而错解剖析尽管后果准确但解法过掉因为，不克不及推出比方，幂级数，即极限不存在，但用根值审敛法易知此幂级数的收敛半径为例13求幂级数的跟函数剖析求幂级数的跟函数，平日要运用跟函数的剖析运算性子，将其转化为跟函数已经清晰或许随意求出的办法解随意求得所给幂级数的收敛半径，设，那么，故，又因为，故，不的，事先，所给幂级数收敛，其跟函数也延续；事先，所给幂级数发散故幂级数的收敛地区为因而，为所求错曲解答随意求得所给幂级数的收敛半径，设，那么，故，错解剖析因为，因而不的，事先，所给幂级数收敛，其跟函数也延续故收敛域应包含区间的左端点例14求以下幂级数的跟函数：1；2；
15、3；剖析1要害是经过逐项积分消去，使级数化为的办法求跟2要害是经过两次逐项积分消去，使级数化为的办法求跟3要害是经过两次逐项求导消去分母中的，使级数化为的办法求跟解1先求收敛域由得收敛半径事先，幂级数酿成，是发散的；事先，幂级数酿成，是发散的，因而收敛域为下面求跟函数设，上式双方从到积分，得，上式双方再对求导，得=，2先求收敛域由得收敛半径事先，幂级数酿成，是发散的；事先，幂级数酿成，是发散的，因而收敛域为下面求跟函数设，上式双方从到积分，得，令=，由1可知=，因而，上式双方再对求导，得=，3解法1先求收敛域由得收敛半径，事先，幂级数酿成，收敛；事先，幂级数酿成，也是收敛的，因而收敛域为下面求
16、跟函数设，事先，那么，上式双方对求导，得=，=，双方从到积分，并留意到，得，双方再从到积分，并留意到，得，即，故当且时，；事先，；事先，综上所述，所求的跟函数为解法2求收敛域与后面解法1一样；下面求跟函数，将原级数拆成两个级数的跟：，记，那么，故，令，那么，故，即，故，因而例15 求常数项级数的跟剖析先将原级数化成两个级数之跟，即，再运用幂级数与常数项级数的关联来求级数跟的跟要害是结构两个幂级数，求出其跟函数央求所结构的这两个幂级数在它们的某一收敛点的值偏偏是所求级数与的跟解调查两个幂级数：跟由莱布尼茨判合法知它们在处都收敛令跟，那么，故，因而注运用函数项级数求常数项级数的办法：先结构一个函数
17、项级数，使得，而是函数项级数的一个收敛点，再求出的跟函数，那么为所求例161将函数开展成的幂级数；203研将函数开展成的幂级数，并求的跟剖析1要害是将函数拆分红局部分式之跟：，而后再运用已经清晰的幂级数开展式将跟开展成幂级数2所给函数是反三角函数，便当套用已经清晰的幂级数开展式因而将函数求导：，而后再运用已经清晰的幂级数开展式将开展成幂级数，最初经过逐项积分即可求得幂级数开展式解1将函数拆分红局部分式之跟：，即，即，故=，2因为=，即上式双方从到积分，并留意到，因而得，显然事先，幂级数即为常数项级数，收敛又在处延续，因而有，再求级数的跟在上式中令，并留意到，得从而例17填空题：103研设，那么
18、_2设是周期为的周期函数，它在区间上的界说为，那么的傅里叶级数在处收敛于_解1由因而偶函数，故2是的延续点，依照狄利克雷充沛前提，级数在处收敛于例18将函数开展成傅里叶级数，并探讨其收敛性剖析先画函数图象的草图，借助图形测验该函数能否满意狄利克雷收敛定理前提因为该函数只界说在，故首进步展周期延拓，使其成为认为周期的周期函数，而后再计划傅里叶系数图101图102解函数及其周期延拓后的图象如图101所示那么它在上满意狄利克雷充沛前提，因而能够开展成傅里叶级数因为，事先，因而在开区间内因延续有在处，上式左边收敛于因而，在上的傅里叶级数的跟函数的图象如图102所示留意它与图101的差异例19设是认为周
19、期的周期函数，且其傅里叶系数为跟，那么为实数的傅里叶系数为_，_解，此中因为全然上认为周期的周期函数，故，因而；同理可得例20将函数开展成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的跟剖析这是求周期为的普通周期函数的傅里叶级数咨询题与后面办法相似，先画函数图象的草图，借助图形测验该函数能否满意狄利克雷充沛前提因为该函数只界说在，故首进步展周期延拓，使其成为以2为周期的周期函数，图103而后再计划傅里叶系数在算系数时要留意两点：一是要用到普通周期函数的傅里叶系数公式；二是所给函数为偶函数，故解先求傅里叶级数函数及其周期延拓后的图象如图103所示那么它在上满意狄利克雷充沛前提因而能够开展成傅里叶级数由因而偶函数，故，因而在闭区间上留意延续，再求级数的跟在上式中令，并留意到，得即，而，故例21将函数分不开展成正弦级数跟余弦级数解1将函数开展成正弦级数起首将界说在上的函数进展奇延拓到到上，再作周期延拓到全部实数轴上，如图104所示那么延拓后的函数满意狄利克雷充沛前提，它在上是延续点留意：是延续点由傅里系数计划公式得，图104，此中因而，为所求的正弦级数2将函数开展成余弦级数起首将界说在上的函数进展偶延拓到到上，再作周期延拓到全部实数轴上，如图105所示那么延拓后的函数满意狄利克雷充沛前提，它在上只要是延续点留意：跟是延续点由傅里系数计划公式得，图105，因而，为所求的余弦级数