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1、三、模典范题分析例1 求，其中分析在上非负，如图81所示，其对应图形是以原点为中心、为半径的上半球面；是以面上原点为中心、为半径的圆域在第一象限的部分按照被积函数跟积分地域的特征，可考虑用几多何意思或极坐标停顿打算解法1按照二重积分的几多何意思，的确是以原点为中心、为半径的球体在第一卦限部分的体积，因此图81解法2采用极坐标开门见山停顿打算令那么例2设积分地域由圆所围成，且，那么ABCD分析要比较二重积分值的大小，按照性质4，是要对差异的被积函数在积分地域长停顿比较解选B如图82所示，事前，因此，故有由二重积分的性质即得图82例3设试打算极限分析此题假定先求二重积分，再求极限比较艰辛，可以考虑
2、借助积分中值定理来求解解地域的面积为由于在闭地域上连续，由积分中值定理可知，至少存在一点使得令，那么，故=例4运用重积分的性质估计积分的值，其中分析按照二重积分的性质对被积函数在积分地域长停顿估计解法1运用被积函数在积分地域上的单调性估值积分地域如图83所示由于，故有因此图83，地域的面积按照二重积分的性质可知解法2运用二重积分的中值定理估值由于被积函数在地域上连续，故在上至少存在一点，使得，又由于因此例5将二重积分化为二次积分，其中地域：1由抛物线及直线所围成；2由与曲线以及所围成解1地域如图84所示下面用两种方法来求解解法1假定将地域看作型地域，即先对积分，再对积分，起首将地域向轴投影，得
3、轴上的区间那么变量称心过区间上的任一点作平行于轴的直线由下往上穿过地域，穿入时通过的界线曲线方程为，穿出时通过的界线曲线方程为那么称心，即，图84因此解法2假定将地域看作型地域，即先对积分，再对积分，用上述“穿线法时留心到当在中变卦时，穿出时通过的界线曲线有两条，因此需要把分不为两部分那么有，因此2地域如图85所示下面用两种方法求解解法1假定将地域看作型地域，那么有因此解法2假定将地域看作型地域，那么，其中图85那么注化二重积分为二次积分是打算二重积分的关键，难点在于判定二次积分的上、下限，素日采用“穿线法：假定地域是型地域，那么要先对积分后对积分，即先将积分地域投影在轴上，失落失落落的变卦范
4、围，在其上任取点作平行于轴的直线，由下向上穿过地域，那么可以失落失落落的变卦范围，从而失落失落落二次积分的上、下限假定地域是型地域，那么要先对积分后对积分，即先将积分地域投影在轴上，失落失落落的变卦范围，在其上任取点作平行于轴的直线，由左向右穿过地域，那么可以失落失落落的变卦范围假定既不是型地域，又不是型地域，那么需要添加辅助线，将分成一些型地域跟型地域分不打算，然后运用积分地域可加性即可化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限肯定为常数例6交换以下二重积分的次序：101研；23解1由曾经明白的二次积分可知，积分地域为，如图86阴影部
5、分所示按照新的积分次序，即先对后对积分，由穿线法可得，因此图862由曾经明白的二次积分可知，积分地域为画出积分地域，如图87所示，按照新的积分次序，即先对后对积分，由穿线法可得图87因此3由曾经明白的二次积分可知，积分地域画出积分地域如图88所示，按照新的积分次序，即先对后对积分，由穿线法可得图88因此注交换二次积分的积分次序的一般步伐为：1按照曾经明白的二次积分的上、下限画出积分地域的草图；2交换积分次序，运用“穿线法失落失落落积分地域的新的描画方法；3写出交换次序后的二次积分例7求分析这是一个先对后对的二次积分，由于不克不迭用初等函数表示，因此无法开门见山打算可考虑先交换积分次序再打算解法
6、1积分地域，如图89所示交换积分次序，那么，从而图89解法2运用分部积分法注假定先被积的函数为等方法时，肯定要交换积分次序例8设函数在区间上连续，并设，求解法1，其中，如图810所示，设关于对称的地域为，那么对换，被积函数波动，那么有图810故，因此解法2运用分部积分法例9打算二重积分其中为直线所围成的地域解法1积分地域如图811所示假定将视为型地域，那么因此，图811解法2将视为型地域，因此，解法3运用奇偶对称性将被积地域分成三部分，如图811所示被积函数是关于的偶函数，关于的奇函数，因此注比较解法1跟解法2，尽管两种分不积分地域的方法都失落失落落一个二次积分，但是显然解法2要复杂得多，由此
7、可见积分次序选择的要紧性因此打算二重积分时，要同时考虑到被积函数跟积分地域的特征，寻求一种较复杂的打算方法，假定有奇偶对称性可用，那么将大年夜大年夜简化打算例1002研打算二重积分，其中分析被积函数理论上是分段函数，在地域中，事前，；事前，因此需要将分为两部分打算解设，如图812所示，那么，图812从而例11打算其中积分地域为分析假定被积函数表达式中含有绝对值，起重要考虑去失落落绝对值标志，把被积函数写因素段函数的方法，用类似例10的方法来打算解如图813所示，将积分地域分不为两部分：图813，那么，从而例12设，且，那么ABCD图814分析被积函数与积分地域的表达式中均含有绝对值标志，应先将
8、积分地域表达式中的绝对值标志去失落落，画出积分地域，然后用类似例10、11中的方法来打算，但此题按照积分地域的特征应考虑用奇偶对称性那么更复杂解选D积分地域如图814所示由于被积函数是关于跟的偶函数，同时是关于轴都对称的地域，偏偏是位于第一象限的地域，故精确答案为D例13打算其中分析积分地域既关于轴对称，又关于轴对称，而被积函数关于或都不存在奇偶性，因此不克不迭运用奇偶对称性打算解积分地域如图815所示轴将地域分为两部分，分不记为跟那么图815错歪曲答记积分地域在第一象限的部分为那么错解分析此解法留心到了积分地域关于轴对称，想运用对称性简化打算，但是被积函数却既非奇函数也非偶函数，因此注运用对
9、称性简化打算时肯定要兼顾积分地域的对称性跟被积函数的奇偶性例14设地域，那么分析假定二重积分的被积函数中含有，或者积分地域是圆形、扇形、环形等形状，素日采用极坐标的方法停顿打算较复杂此题积分地域为圆域，宜采用极坐标打算解法1解法2留心到地域的对称性，对换被积函数中的位置积分值波动，因此注运用极坐标打算二重积分最好是能同时简化积分地域跟被积函数，假定二者不克不迭兼顾，素日选择能简化积分地域的方法也有些积分，尽管用直角坐标可以更复杂的描画积分地域，但是由于被积函数的特不性如积分不克不迭打算，那么只需通过变卦坐标来打算，比如下面的例15例15打算二重积分其中由围成分析积分地域如图816所示不雅观看此
10、被积函数的特征，假定采用直角坐标开门见山停顿打算，尽管随便化为二次积分，但是二次积分中的定积分难以打算出来可以考虑用极坐标来打算解用极坐标来打算图816错歪曲答由，得错解分析这是微积分初学者常犯的差错，将二重积分与曲线积分相混淆关于二重积分被积函数是定义在全体立体地域上的，而不仅仅是定义在的界线曲线此题为上，因此不克不迭将界线曲线称心的关系开门见山代入被积函数的表达式中注假定二重积分的被积函数可以写成的方法，那么可以用极坐标将被积函数不离变量，即一般情况下，如斯可以使积分的打算变得随便一些例1605研打算二重积分，其中，表示不逾越的最大年夜整数分析积分地域为扇形域，如图817所示采用极坐标打算
11、为宜被积函数理论上是分段函数，应将积分地域分开考虑图817解法1解法2可先将积分地域分开，再作极坐标变卦记，那么事前，；事前，因此例17用二重积分求曲线所围成地域的面积分析由二重积分的几多何意思可知，当被积函数为1时，曲顶柱体的体积在数值上等于积分地域的面积即又由于曲线方程中含有项，可以考虑在极坐标系下打算此二重积分解令并代入曲线方程，得画出曲线所围成的地域，如图818所示运用对称性只需打算第一象限内的地域的面积即可，其中图818即例18设半径为的球面的球心在定球面上征询当取何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大年夜？分析此题为考察二重积分与极值的综合题运用二重积分求出球面在定球内的部分的
12、面积它是的函数再运用求极值的方法求出极值点不失落一般性，球面的球心不妨选在轴上解设球面的方程为，那么两球面交线方程为消去可得，两球面的交线在面上的投影为记此投影地域为球面在定球面内的方程为，那么这部分球面的面积为，对上式中间关于求导得令，求得唯一驻点由于，因此事前，球面在定球面内部的部分的面积最大年夜注1求曲面面积是二重积分的一个运用解题步伐是先写出曲面方程，比如求出在呼应坐标面上的投影地域以及曲面微元公式那么可得曲面面积为注2求曲面在坐标面上的投影地域，一般的确是求曲面的界线限在坐标面上的投影曲线所围成的地域例19求球体与的大年夜众部分的体积分析设该立体为，其图形如图819所示，设在坐标面上
13、的投影地域为，那么其体积可视为以为底，分不以跟为顶的两个曲顶柱体的体积之差，按照二重积分的几多何意思可得；还可以按照三重积分的几多何意思，立体体积等于被积函数为1，积分地域为该立体所围的空间地域所对应的三重积分图819解法1采用二重积分打算起首求地域按照立体几多何的知识，将与联破并消去，就失落失落落此立体在立体上的投影地域为，显然为一圆域故所求立体体积解法2采用三重积分，再将三重积分用“先一后二的方法来打算注在用重积分求立体的体积时，假定用三重积分来打算，那么将三重积分用“先一后二的方法来打算时，当把其中的“一次积分打算出来后，失落失落落的确实是解法1中的二重积分，可见两种方法尽管意思差异，但
14、计的确是相通的例20打算三重积分其中是由立体及三个坐标面围成的周围体分析积分地域如图820所示，它由空间中的立体围成，宜选用直角坐标来描画然后考虑将三重积分化为二重积分或定积分来打算，素日有两种方法：“先一后二法跟“先二后一法解法1采用“先一后二法先判定将投影到某个坐标立体，再用“穿线法将二重积分化为二次积分积分地域为，将投影到坐图820标面上，失落失落落投影地域为，在内任取一点过此点作平行于轴的直线穿过地域，它从立体穿入，从立体穿出，因此解法2采用“先二后一法先判定将投影到某个坐标轴上，再用“截面法空间地域在轴上的投影区间为在此区间内任取一点，过该点作立体垂直于轴，所得截面为这里把看作定值，
15、那么注打算重积分，起重要选择合适的坐标系，将重积分化为累次积分停顿打算关于三重积分，有直角坐标、柱面坐标跟球面坐标三种坐标系可以选择：1当积分地域是由较多立体或不存在对称性的曲面围成时，素日选用直角坐标停顿打算；2当积分地域含有项，或可以看作是以空间中某曲线为母线、绕某坐标轴改变而失落失落落的立体地域时，素日选用柱面坐标系较为复杂；3当积分地域含有项时，素日选用球面坐标打算因此，选用哪种坐标系不仅需考虑积分地域的特征，还要兼顾被积函数的特征例21打算三重积分其中是由曲面及立体围成分析积分地域如图821示按照的特征，宜采用直角坐标系留心到在内任取一点用“穿线法，易揣摸穿入点跟穿出点分不为跟因此采
16、用“先一后二的方法较复杂解法1用“先一后二法在立体上的投影地域为，再由“穿线法得因此图821解法2用“先二后一法将向轴投影得，再用垂直于轴的立体截得，那么例22证明：其中是由球体所判定，是上的可积函数分析此被积函数只是关于变量的函数同时用垂直于轴的立体截积分地域如图822所示失落失落落的截面为圆域与有关，不妨记为，截面圆的面积易求，假定采用“先二后一的方图822法来打算，那么二重积分的积分地域即为上述圆域，而由于被积函数是1，那么二重积分的值即为圆的面积，再求一次定积分即得结果证有用“先二后一法在轴的投影区间为，用垂直于轴的立体去截失落失落落的圆域为，记为，那么证毕注假定被积函数只是关于变量的
17、函数，而用垂直于轴的立体截失落失落落的截面面积随便求如本例中截面为圆时，采用“先二后一的方法较复杂例23打算三重积分其中是由曲面及围成分析留心到积分地域的表达式中含有项，可以考虑采用柱坐标打算；或者假定留心到被积函数只含有，垂直于轴的立体截积分地域如图823所示失落失落落的截面为圆，还可以采用“先二后一的方法解法1用柱坐标变卦那么图823解法2用“先二后一法其中为垂直于轴的立体截曲面所得的半径为的圆域，为垂直于轴的立体截曲面所得的半径为的圆域，因此注当积分地域为圆柱体、扇形柱体、环形柱体，或被积函数含有项时，素日选用柱坐标系较为复杂运用柱面坐标打算三重积分，可以看作是对三重积分的“先一后二法中
18、的二重积分运用极坐标打算例2497研打算，其中为立体曲线绕轴改变一周形成的曲面与立体所围成的地域分析起重要将的界线曲面弄明晰，它由两部分形成，一是改变抛物面的一部分，另一部分是立体的一部分由于被积函数与的界线表达式中均含有，故可考虑用柱面坐标或用“先二后一解法1曲线绕轴改变一周生成的改变抛物面为，它与立体围成，在立体上的投影地域为选用柱坐标变卦，由于被积函数与有关，可拔取先后、的积分次序，那么可表示为，故解法2用“先二后一法，截面方程为，因此例25打算其中是由球体形成分析由于被积函数跟积分地域都含有项，合适用球面坐标系来解解积分地域如图824所示，采用球面坐标，那么由可得，此球体的球心为，半径
19、为，因此，故可以表示为，图824错歪曲答错解分析此解法之差错在于将三重积分打算与曲面积分打算相混淆关于三重积分而言，被积函数是定义在全体空间地域上的在此题中的确是球体，而不仅仅是的表面在此题中的确是球面，因此不克不迭将被积函数开门见山换成例26打算三重积分其中是球体分析被积函数中含有项，可考虑采用球面坐标打算；留心到被积函数是关于的奇函数，且积分地域是关于对称的，那么可运用奇偶对称性简化打算解法1采用球面坐标打算令那么解法2由于被积函数是关于的奇函数，同时积分地域是关于立体即面对称的，因此例27打算三重积分，其中是锥面跟球面所围的空间地域分析积分地域如图825由锥面跟球面围成，宜采用球面坐标打
20、算；假定留心到被积函数是关于的奇函数，且积分地域关于立体临称，那么而只是关于的函数，用垂直于轴的立体截，截面为圆域，面积易求，故可采用“先二后一法解法1采用球面坐标随便看出锥面的母线对应的角即与轴正向的夹角，因此从而积分地域可以表示为因此图825解法2先运用被积函数的奇偶性跟积分地域的对称性，然后采用“先二后一法由于中被积函数是关于的奇函数，同时积分地域是关于立体临称的，故因此注打算三重积分，假定可以运用被积函数的奇偶性跟积分地域的对称性，打算量将会大年夜大年夜减小例2803研设函数连续且恒大年夜于零，其中1讨论在区间内的单调性2证明事前，分析1要讨论在区间内的单调性，可以讨论的正负号，为此需
21、要先求出的表达式，即需要将分子的三重积分与分母的二重积分先打算出来；2要证明不等式，可以先讨论的单调性，为此需要先求出的表达式，即要将分子的二重积分打算出来，由于，要证时，即证，亦即解1分不作球坐标变卦：与极坐标变卦：因此，因此在区间单调添加2下面用两种方法来证明不等式证法1构造函数，运用函数单调性证明令，那么，故在内单调添加由于在处连续且，因此事前，有，因此事前，不等式成破证毕证法2运用柯西不等式的积分方法即许瓦兹不等式证明柯西不等式的积分方法为：假定在上连续可放宽为可积，那么有，其中等号当且仅当存在常数，使时成破差异时为零因此，即不等式成破证毕例29打算三重积分其中是球体，被积函数分析被积
22、函数是分段函数，因此需将积分地域分成三个部分地域如图826所示来打算解按照被积函数的表达式及积分地域的特征，采用球面坐标停顿打算，并将积分地域分为三部分：，那么图826注与二重积分类似，假定三重积分的被积函数含有绝对值，起重要考虑去失落落绝对值标志，立即积分地域分为几多部分，使得在每一部分地域上，被积函数都保持波动号理论上的确是将含有绝对值的被积函数化为分段函数来打算例30设立体薄片所占的闭地域由直线及轴所围成，面密度函数，求该薄片的质量解设所求薄片的质量为，地域如图827所示，那么图827例31设有一球心在原点，半径为的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求谁人球体的质
23、量解由题意可得，该球体的密度函数为为一常数，那么所求质量为例32设有一个等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的重心解树破坐标系如图828所示，那么立体薄片所占的地域面密度函数为，那么此薄片的质量为图828此薄片对轴的静距为，由对称性可知此薄片对轴的静距，故重心坐标为例3300研设有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比比例常数，求球体的重心肠位分析起首树破坐标系，以球心为坐标原点，取在某个轴上，比如可取在轴上，即的坐标为也可以以为坐标原点，球心在某个坐标轴上，比如以点为球心开门见山运用重心坐标的打算公式
24、，采用球面坐标打算三重积分即可得重心坐标解法1记球体为，以的中心为坐标原点，射线为轴树破空间直角坐标系，那么球面方程为，点的坐标为，球体的密度函数为设的重心肠位为由对称性知而采用球面坐标来打算上式中的三重积分，并运用奇偶对称性，得，即得因此，在此坐标系下球体的重心肠位为解法2取为坐标原点，球心在，那么球面方程为，球体的密度函数为，设的重心肠位为，那么由对称性知，而，采用球面坐标来打算式中的三重积分，球面方程为，由奇偶对称性可得即得因此，在此坐标系下球体的重心肠位为注求重心是三重积分的运用之一，要记取求重心的公式在打算公式中的重积分时，留心运用奇偶对称性例34设立体薄片所占的闭地域由曲线及围成，且其面密度函数求该薄片对轴、轴以及原点的转动惯量解地域如图829所示，那么图829例35设有一半径为的球体，球体在动点处的密度的与该点到球心的距离成正比，且在与球心距离为1处的密度为求此球体对直径的转动惯量解以球心为坐标原点树破空间直角坐标系，那么由题意可得该球体的密度函数为且称心时，因此得，即，那么所求转动惯量为例36求一高为1，顶角为的均匀正圆锥体设密度为1对其顶点质量为1的引力解以圆锥的定点为坐标原点，圆锥的中心轴为轴树破空间直角坐标系，如图830所示由正圆锥体的对称性可知，引力沿轴以及轴倾向的分力相互平衡，即，而沿轴倾向的分力为图830因此引力为