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1、第四节可落阶的二阶微分方程对普通的二阶微分方程不广泛的解法，本节探讨三种特别方式的二阶微分方程，它们有的能够经过积分求得，有的经过恰当的变量交换可落为一阶微分方程，而后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.散布图示型例1例2例3型例4例5例6例7型例8例9内容小结讲堂训练习题74前往内容要点一、型在方程两头积分，得再次积分，得注：这品种型的方程的解法，可推行到阶微分方程，只需延续积分n次,就可得那个方程的含有n个恣意常数的通解.二、型这种方程的特色是不显含未知函数y，求解的办法是：令那么，原方程化为认为未知函数的一阶微分方程，设其通解为而后再依照关联式又失掉一个一阶微分
2、方程对它进展积分，即可失掉原方程的通解三、型这种方程的特色是不显含自变量x.处理的办法是：把临时看作自变量，并作变更因此，由复合函数的求导法那么有如此就将原方程就化为这是一个对于变量y、p的一阶微分方程.设它的通解为这是可别离变量的方程，对其积分即失掉原方程的通解例题选讲型例1E01求方程满意的特解.解对所给方程接连积分二次,得(1)(2)在(1)中代入前提得在(2)中代入前提得从而所求题设方程的特解为例2E02求方程的通解.解设代入题设方程,得解线性方程,得为恣意常数)，即两头积分,得再积分失掉所求题设方程的通解为此中为恣意常数.进一步通解可改写为此中为恣意常数.例3品质为的质点受力的感化沿
3、轴作直线活动.设力仅是时间的函数:在开场时辰时跟着时间的增年夜,此力平均的增加,直到时,假如开场时质点位于原点,且初速率为零,求这质点的活动法则.解设在时辰质点的地位为由牛顿第二定律，得质点活动的微分方程(1)由题设,随增年夜而平均地增加,又因此方程(1)能够写成(2)其初始前提为在方程(2)式两头积分,得代入初始前提得因此将前提代入上式,得因此所求质点的活动法则型例4E03求方程的通解.解这是一个不显含有未知函数的方程.令那么因此题设方程落阶为即双方积分,得即或再积分得原方程的通解例5求微分方程初值咨询题.的特解.解题设方程属型.设代入方程并别离变量后,有两头积分，得即由前提得因此两头再积分
4、,得又由前提得因此所求的特解为例6求微分方程满意且事先，有界的特解.解法1所给方程不显含属型,令那么代入方程落阶后求解,此法留给读者训练.解法2因为即这是一阶线性微分方程，解得因为时，有界,得故由此得及又由已经知道前提得从而所求特解为例7设有一平均、柔嫩的而无伸缩性的绳子，两头牢固，绳子仅受重力的感化而下垂.求绳子曲线在均衡形态时的方程.解设绳子的最低点为取轴经过点铅直向上，并取轴程度向右，且即是某个定值(那个定值将在当前阐明).设绳子曲线的方程为调查绳子上点到另一点间的一段弧设其长为假设绳子的线密度为那么弧的分量为因为绳子是柔嫩的，因此在点处的张力沿程度的切线偏向，其巨细设为在点处的张力沿该
5、点处的切线偏向，设其倾角为其巨细为(如图).因感化于弧段的外力互相均衡，把感化于弧段上的力沿铅直及程度两偏向解得两式相除得因为代入上式即得将上式两头对求导，便得满意得微分方程(1)取原点到点的间隔为定值即那么初始前提为对方程(1)，设那么代入并别离变量得：由得即将前提代入上式，得因此该绳子的曲线方程为这曲线叫做悬链线.型例8E04求方程的通解.解设那么代入原方程得即由可得因此原方程通解为例9求微分方程满意初始前提的特解.解令由代入方程并化简得上式为可别离变量的一阶微分方程，解得再别离变量,得由初始前提定出从而得再双方积分,得或由定出从而所求特解为讲堂训练1.求方程的通解.2.一品质为m的物体,在粘性液体中由活动自在着落,假设液体阻力与活动速率成反比,试求物体的活动法则.