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1、一、教学内容 函数图象与性质的综合应用（一）二、学习指导 1函数性质是函数的重点内容，它包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性，函数图象是研究函数性质的直观工具，函数问题已成为高考永恒的热点、重点考查的内容之一，在选择题、填空题和解答题三种题型中每年都有试题.主要考查的内容有函数、反函数的概念及性质，函数的图象及变换和以基本初等函数出现的综合题及应用题等，同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.2理解映射、一一映射、函数、反函数的有关概念及其联系.映射是一种多对一和一对一的对应，函数是一个特殊的映射，只有当确定函数的映射是一一映射
2、时，函数才具有反函数，反函数的定义域、值域是原函数的值域和定义域，且有f（a）bf1（b）a.3掌握基本初等函数的图象，能熟练地运用函数图象的平移、对称、伸缩等变换画函数的图象，会自觉运用图象研究函数的性质（如定义域、值域、蛋调性、奇偶性等），讨论方程的解的个数及解不等式等.三、典型例题【例1】 2005年湖南设P是ABC内任意一点，SABC表示ABC的面积，1，2，3，定义f（p）（1，2，3）.若G是ABC的重心，f（Q）（，），则 （ A ）A点Q在GAB内 B点Q在GBC内 C点Q在GCA内 D点Q与G重合【解析】 利用特殊值法，假设ABC是边长为1的正三角形，易判断点Q在GAB内.【
3、评析】 本题考查了映射的定义及运用“新定义”分析、解决问题的能力.在正确理解“新定义”的基础上，通过特殊三角形，运用筛选法求解.变式题 由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，定义映射f（a1，a2，a3，a4）b1+b2+b3+b4，则f（4，3，2，1） （ ）A10 B7 C1 D0【例2】2005年天津设f1（x）是函数f（x）（axax）（a1）的反函数，则使f1（x）1成立的x的取值范围为 （ A ）A（，+） B（，） C（，a） Da，+）【分析】 思路一：先求f1（x），再解不等式f1（x）1.思路二
4、：利用反函数的定义，转化为求f（x）（x1）的值域.解法一：先求得f1（x）loga（x+）（a1），由f1（x）1得loga（x+）logaa，x+a，解得x.解法二：a1，f（x）（axax）为增函数，根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，由f1（x）1，即在x1的条件下求f（x）的值域.f（x）f（1）（aa1）.【评析】 本题考查反函数的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函数与反函数定义域、值域的关系，以及函数的单调性，起到了事半功倍的效果.变式题 设f1（x）是函数f（x）的反函数，则以下不等式中恒成立的是 （ ）Af1（x） 2x1 Bf1（x） 2x+1Cf1（x） 2
5、x1 Df1（x） 2x+1【例3】2005年湖北函数yelnxx1的图象大致是 （ D ）图121【解析】 法一：当x1时，y1，根据图象排除C，取x时，y1，排除A，B，故选D.法二：由已知得y= 结合图象选D.【评析】 处理选图问题，通常有两种方法：方法一是采用选特殊点或利用函数性质排除，方法二直接作函数的图象.变式题 2005年辽宁一给定函数yf（x）的图象在下列图中，并且对任意an（0，1），由关系式an+1f（an）得到的数列an满足an+1an（nN*），则该函数的图象是 （ ） A B C D 图122【例4】 2005年上海对定义域分别是Df，Dg的函数yf（x），yg（x）
6、.规定：函数h（x）（1）若函数f（x），g（x）x2，写出函数h（x）的解析式；（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）若g（x）f（x+），其中是常数，且0，请设计一个定义域为R的函数yf（x）及一个的值，使得h（x）cos4x，并予以证明.h(x)=【分析】 先仔细审题，理解题意.其中（1）（2）问写出h（x）的解析式是关键，第（3）问联想相关三角函数求解.【解】 （1）由已知得（2）当x1时，h（x）x1+2若x1，则h（x）4，其中等号当x2时成立.若x1，则h（x）0，其中等号当x0时成立.函数h（x）的值域是（，014，+）解法一：令f（x）= sin2x+ cos2x，则
7、g（x）= f（x+）= sin2（x+）+ cos2（x+）= cos2x sin2x于是解法二：令f（x）1+sin2x，则g（x）f（x+）1+sin2（x+）1sin2x，于是h（x）f（x）f（x+）（1+sin2x）（1sin2x）12sin22xcos4x.【评析】 本题主要考查分段函数、三角函数、函数的值域等基础知识，以及运用构造法解题的能力.解此题的关键是要准确得出函数的解析式.*【例5】 2005年全国已知函数f（x），x0，1.（1）求f（x）的单调区间和值域；（2）设a1，函数g（x）x33a2x2a，x，若对于任意x10，1，总存在x00，1，使得g（x0）f（x1）
8、成立，求a的取值范围.【解】 （1）对函数f（x）求导，得f（x） 令f（x）0，解得x或x（舍去）当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x0（0，）（，1）1f（x）0+ f（x）43所以，当x（0，）时，f（x）是减函数；当x（，1）时，f（x）是增函数.当x（，1）时，f（x）的值域为4，3.（2）对函数g（x）求导，得g（x）3（x2a2）.因为a1，当x0，1时，g（x）3（1a2）0.因此当x0，1时，g（x）为减函数，从而当x0，1时，有g（x）g（1），g（0）.又g（1）12a3a2，g（0）2a，即当x0，1时，有g（x）12a3a2，2 a.任给x10，1，f（
9、x1）4，3，存在x00，1使得g（x0）f（x1），则12a3a2，2 a4，3即 解式得a1或a，解式得a. 又a1，故a的取值范围为1a.【评析】 本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识，考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是：求导，令导数等于0，求y0的根，求出最值点，写出范围（值域）.方法技巧提炼1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a1和0a1分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.巩固练习培优辅导材料四解答