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1、2.10 函数与方程一、填空题1已知方程2x10x的根x(k，k1)，kZ，则k_.解析设f(x)2xx10，则由f(2)40，f(3)10，所以f(x)的零点在(2,3)内答案22已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足_(与零的关系)解析因为f(x)是(0，)上的增函数，且f(a)0，于是由0x0a，得f(x0)f(a)0，即f(x0)0.答案f(x0)03若函数f(x)axb的零点为2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析由f(x)axb有零点2，得2ab0(a0)，代入g(x)，得g(x)2ax2axax(2x1)，它有零点x0和x.答案0，4设函数
2、y(x)xln x(x0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，)内的零点个数分别为_解析设yx与yln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，)内仅有两个零点答案0,25若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集为.答案6.已知函数有且只有一个零点,则实数m的值为 . 解析 由题知:方程只有一个零点.令 方程只有一个正根. 由图象(图略)可知 m=-2. 答案 -2 7已
3、知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析画出图象，令g(x)f(x)m0，即f(x)与ym的图象的交点有3个，0m1.答案(0,1)8偶函数f(x)在区间为0，a(a0)上是单调，函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是_解析由f(0)f(a)0，且f(x)在0，a(a0)上单调，知f(x)0在0，a上有一根，又函数f(x)为偶函数，f(x)0在a,0上也有一根所以f(x)0在区间a，a内有两个根答案29设函数f(x)x2axa3，g(x)ax2a.若存在x0R，使得f(x0)0与g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围是_解析g
4、(x)ax2aa(x2)，当a0时，x2，由f(2)0，得42aa30，a7，舍去；当a0时，x2，由f(2)0，得42aa30，a7.综上，a(7，)答案(7，)10.若二次函数中ac0,则函数的零点个数是_个解析 令 因判别式故函数必有两个零点. 答案 211已知函数f(x)1x，g(x)1x，设F(x)f(x3)g(x3)，且函数F(x)的零点均在区间a，b(ab，a，bZ)内，则ba的最小值为_解析由f(x)1xx2x3x2 010，则f(x)0，f(x)为增函数，又f(0)10，f(1)0，从而f(x)的零点在(1,0)上；同理g(x)为减函数，零点在(1,2)上，F(x)的零点在(
5、4，3)和(4,5)上，要区间a，b包含上述区间(ba)min9.答案912若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：P、Q都在函数f(x)的图象上；P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与(Q，P)看作同一个“友好点对”)已知函数f(x)则f(x)的“友好点对”有_个解析根据题意：“友好点对”，可知，只须作出函数y2x24x1(x0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y(x0)交点个数即可如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2.即f(x)的“友好点对”有：2个答案213已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是
6、_解析因为(1k)24k(1k)20对一切kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k3.答案(2,3)二、解答题14若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围解析(1)当a0时，函数f(x)x1为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点(2)当a0时，函数f(x)ax2x1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0，解得a.综上，当a0或a时，函数仅有一个零点15关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于
7、4，求实数m的取值范围解析令f(x)mx22(m3)x2m14，依题意得或即或解得m0，即实数m的取值范围是.16已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点思路分析由题意可知，方程4xm2x10仅有一个实根，再利用换元法求解解析f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点
8、为x0.【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题17已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围解析当a0时，函数f(x)2x3的零点x1,1当a0时，函数f(x)在1,1上的零点可能有一个与两个这两种情况函数在区间1,1上只有一个零点，则有或解得1a5或a.函数在区间1,1上有两个零点，则有或解得a或a5.综上，得a的取值范围是5，)18(1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解析(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，知5m1.故m的取值范围为(5，1)法二由题意，知即5m1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，则|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)，h(x)的图象由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，