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1、等比数列例题解析【例1】 已知Sn是数列an的前n项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列B当p0时是等比数列C当p0，p1时是等比数列D不是等比数列分析 由Snpn(nN*)，有a1=S1p，并且当n2时，an=SnSn-1pnpn-1(p1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D说明 数列an成等比数列的必要条件是an0(nN*)，还要注【例2】 已知等比数列1，x1，x2，x2n，2，求x1x2x3x2n解 1，x1，x2，x2n，2成等比数列，公比q21q2n+1x1x2x3x2nqq2q3q2n=q1+2+3+2n式；(2)已知a3a4a58，求a2a
2、3a4a5a6的值a42【例4】 已知a0，b0且ab，在a，b之间插入n个正数x1，x2，xn，使得a，x1，x2，xn，b成等比数列，求证明 设这n2个数所成数列的公比为q，则b=aqn+1【例5】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(bc)2(ca)2(db)2(ad)2证法一 a、b、c、d成等比数列b2ac，c2bd，adbc左边=b22bcc2c22aca2d22bdb2=2(b2ac)2(c2bd)(a22bcd2)a22add2(ad)2右边证毕证法二 a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则：baq，caq2，d=aq3左边(aqaq2)2(aq2a)2(aq3aq)2a2
3、2a2q3a2q6=(aaq3)2(ad)2=右边证毕说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性【例6】 求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0思路：转化为等比数列an1是等比数列an1=33n-1 an=3n1an+1an是等比数列，即an+1an=(a2a1)2n-1=32n
4、-1再注意到a2a1=3，a3a2=321，a4a3=322，anan-1=32n-2，这些等式相加，即可以得到说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知(1)中发现an1是等比数列，(2)中发现an+1an是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现证 a1、a2、a3、a4均为不为零的实数上述方程的判别式0，即又a1、a2、a3为实数因而a1、a2、a3成等比数列a4即为等比数列a1、a2、a3的公比【例8】 若a、b、c成等差数列，且a1、b、c与a、b、c2都成等比数列，求b的值解 设a、b、c分别为bd、b、bd，由已知bd1、b、bd与bd、b、bd2都成等比数列，有整理，
5、得bd=2b2d 即b=3d代入，得9d2=(3dd1)(3dd)9d2=(2d1)4d解之，得d=4或d=0(舍)b=12【例9】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1与d的值；(2)b16是不是an中的项？思路：运用通项公式列方程(2)b16=b1d15=32b1b16=32b1=32a1，如果b16是an中的第k项，则32a1=a1(k1)d(k1)d=33a1=33dk=34即b16是an中的第34项解 设等差数列an的公差为d，则an=a1(n1)d解这个方程组，得a1=1，d=2或a1=3，d=2当a1=1，d=2时
6、，an=a1(n1)d=2n3当a1=3，d=2时，an=a1(n1)d=52n【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2由已知：a，aq4，aq2成等差数列即：2(aq4)=aaq2a，aq4，aq232成等比数列即：(aq4)2=a(aq232)解法二 按等差数列设三个数，设原数列为bd，b4，bd由已知：三个数成等比数列即：(b4)2=(bd)(bd)bd，b，bd32成等比数列即b2=(bd)(bd32)解法三 任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由已知：
7、a1，a2，a3成等比数列a1，a24，a3成等差数列得：2(a24)=a1a3a1，a24，a332成等比数列得：(a24)2=a1(a332)说明 将三个成等差数列的数设为ad，a，ad；将三个成简化计算过程的作用【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数分析 本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为ad，a，ad，则第四个数由已知条方法二 设后三个数为b，bq，bq2，则第一个数由已知条件推得为2bbq方法三 设第一个数与第二个数分别为x，y，则第三、第四个数依次为12y，16x由这三种
8、设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1解法二 设后三个数为：b，bq，bq2，则第一个数为：2bbq所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1解法三 设四个数依次为x，y，12y，16x这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84求这两个数列解 设成等差数列的三个数为bd，b，bd，由已知，bdbbd=126b=42这三个数可写成42d，42，42d再设另三个数为a，aq，aq2由题设，得解
9、这个方程组，得a1=17或a2=68当a=17时，q=2，d=26从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67【例14】 已知在数列an中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列证明 由已知，有2a2=a1a3即 a3(a3a5)=a5(a1a3)所以a1、a3、a5成等比数列【例15】 已知(bc)logmx(ca)logmy(ab)logmz=0(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列证明 (1)a，b，c成等差数列，且公差d0bc=ab=d，ca=2d代入已知条件，得：d(logmx2logmylogmz)=0logmxlogmz=2logmyy2=xzx，y，z均为正数x，y，z成等比数列(2)x，y，z成等比数列且公比q1y=xq，z=xq2代入已知条件得：(bc)logmx(ca)logmxq(ab)logmxq2=0变形、整理得：(ca2b)logmq=0q1 logmq0ca2b=0 即2b=ac即a，b，c成等差数列