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1、【课题】55 线性规划问题的应用举例【教学目标知识目标：用六个案例介绍了线性规划模型在生产实际中的应用. 能力目标：通过六个案例，学习线性规划模型建立的方法和技巧.【教学重点】用适当的方法，解决线性规划问题.【教学难点】用适当的方法，解决线性规划问题.【教学设计】1本节分别介绍了投资问题，生产安排问题，环境保护问题，混合问题，运输问题和下料问题等六个案例，通过这些具体的案例，使学生认识线性规划的应用.2案例1是一个投资计划制定问题，要在可承受的亏损范围内，使获利尽可能的多，因此目标函数是获得利润，约束条件是资金限制和亏损的承受范围.这是二元线性规划问题，故可用图解法解得.案例2是一个简单的生产
2、安排问题，生产所获利润取决于三种产品的产量，因此以三种产品产量为决策变量，表格中列出了资源限制条件，据此可得约束条件.案例3是一个环境保护问题，其中各种因素已经作了简化，在列出的三个条件中，（3）成立必使（2 ）成立，因此条件有冗余，作简化后得约束条件.案例4是混合问题，类似于案例2.案例5是运输调配问题，这是一类典型的问题，一般的运筹学教材中都会专门介绍，本例是产销平衡的，要使总费用最低，必须知道各调运路线的运量，因此所设决策变量较多，为便于学生理解，变量写成教材的形式，有时我们也可用双下标的形式来表示变量.案例6是下料问题，与前面所举例一样，只是截法增多了.教 学 过 程教师行为学生行为教
3、学意图时间*新阶段学习导入语线性规划是目前应用非常广泛也非常成功的一种数学方法，但由于实际问题是复杂的，千变万化的，因此下面仅举一些经过简化的几种不同类型的问题.介绍倾听了解引领学生了解新阶段的学习的重点3*揭示课题了 前面我们已经学习了三种解线性规划问题的方法分别为图解法、 表格法、Excel软件法.它们各有利弊，本节就实际问题，选用式当的方法解决线性规划问题.3这就是我们将要研究学习的5.5线性规划问题的应用举例.介绍说明了解引入教学内容5*创设情景 兴趣导入案例1 投资问题制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙
4、两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？试建立线性规划模型，并用图解法求解.解 设投资人投资甲项目万元，投资乙项目万元.目标函数最大化，满足 画出可行域，如图5-10作出目标函数 的0等值线。即,将0等值线项可行域内平行移动至点A处.此时目标函数取最大值.解方程组得点的坐标为（4，6）所以，当=4,=6时，目标函数取得最大值答 问题的最优解为分别投资甲、乙两项为4万元和6万元，其可能盈利最大为7万元.案例2 生产安排问题
5、一个毛纺厂用羊毛和涤纶生产A 、B、C三种混纺面料 ，生产1单位产品需要的原料如下表（表5.15）所示：表5.15产品原料羊毛涤纶A32B11C24这三种产品的利润分别为4、1、5，每月可购进的原料限额为羊毛8 000单位，涤纶为6 000单位，问此毛纺厂应如何安排生产能获得最大利润？请建立线性规划模型，并用表格法求解.解 设生产产品 A为 单位，产品 B为 单位，产品C为 单位,目标函数，满足 表格计算过程如下（为简便起见，将3张表合并一起，用左边的序号表示表格的顺序 ） 表5.16Cj415001CBXB03121080004000021(4)016000150041500020(2)01
6、5000250051015003000007500341025005012500011250得到最优解：生产A为2 500单位，B为0单位，C为250单位，最大利润为11 250单位 .案例3 环境保护问题 某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图5-11所示，已知流经甲厂的河水日流量为,在两厂之间有一条河水日流量为的支流. 甲、乙两厂每天生产工业污水分别为和，甲厂排出的污水经过主流和支流交叉点P后已有20%被自然净化.按环保要求，河流中工业污水的含量不得超过0.2%，为此两厂必须自行处理一部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污水的成本分别为1 000元和800元.问：在满足环保要求的条件下，各
7、厂每天应处理多少污水，才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型，并求解. 甲厂污水厂乙厂解 设甲、乙两厂每天分别处理污水量为、（单位：）.目标函数 .在甲厂到P点之间，河水中污水含量不得超过0.2%，所以满足 在点P到乙厂之间，河水中污水含量也不得超过0.2%，所以应满足流经乙厂以后，河水中污水含量仍不得超过0.2%，所以应满足 综上，得线性规划模型：目标函数 满足利用Excel软件求解结果为总费用最少为1 640元.案例4 混合问题 某养猪场所用的混合饲料由 A 、 B 、 C三种配料组成，表5.17给出1单位各种配料所含的营养成分，单位成本以及1份混合饲料必须含有的各种营养成分，问如何配制饲
8、料时成本最小？ 表5.17配料营养成分单位成本DEFA126B113C1121份饲料应含量20610解 设 为混合饲料中第中配料的含量，,目标函数 ,满足利用Excel软件求解（请读者完成）结果为总费用最少为44.案例5 运输问题 设有两座铁矿山A、B，另有三个炼铁厂甲、乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿石才能使总费用最小？表5.18铁矿山炼铁厂产量甲乙丙A691260B13345矿石需求量503025105解 设为从 A 运到甲厂的运量， 为从 A运到乙厂的运量， 为从 A运到丙厂的运量， 为从 B 到甲厂的运量，为从 B到乙厂的运量，为
9、从 B到丙厂的运量， 根据表中给出的条件，建立线性规则模型如下：满足利用Excel软件求解（请读者完成），结果为总费用最少为525元.案例6 下料问题将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，长0.98m的需1 000根，长0.78m的需2 000根，问怎样截法，才能使所用钢管最少？解 将长为5米的钢管，分别截成0.98m和0.78m两种规格的材料，共有如表5.19所列可能截法.表5.19截法0.98m0.78m料头（m）15根0根0.124根1根0.333根2根0.542根3根0.751根5根0.1260根6根0.32显然，为了节省钢管，不能一根钢管只截一段一种规格的材
10、料，而应采用合理套截方法，为此，必须综合考虑这6种截法.设采用第种截法的钢管数为根（）建立线性规划模型： 目标函数 满足利用Excel软件求解，结果为最少钢管数为520根.播放课件引导分析找出可行域播放课件引导分析观看课件思考自我建构明确可行域为阴影部分观看课件思考讨论从实际问题出发，学生自然的学习知识点图像法解决回忆图像法的解题步骤分析题意，选择解题方法表格法解决152535455565*运用知识 强化练习 练习5.51.食品 A、B中都含有维生素、淀粉和蛋白质，但单位含量各不相同，价格也各不相同，数据如下表所示：成分食品A食品B最低需要维生素1390淀粉51100蛋白质32120价格1.2
11、1.9今有一消费者购买上述两种产品，要求其中维生素、淀粉和蛋白质的单位数不能低于90、100、120.该消费者应购买A、B各多少，才能使营养适当而价格最低？2.现有一批7.4m长的钢管，生产某产品需长2.9m,2.1m,1.5m的三种钢管各为100，100，120根，问如何截取才可使原材料最省？提问巡视指导思考动手求解及时了解学生知识掌握情况75*理论升华 整体建构本次课重点学习了选用适当的方法解线性规划问题.总结归纳交流理解体会从整体再一次突出解题方法80*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力88*继续探索 活动探究(1)阅读理解： 教材5.5；(2)书面作业：学习与训练5.5训练题；(3)实践调查： 应用适当的方法解线性规划问题.说明记录90