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1、20102011学年度上学期单元测试高二数学试题【湘教版】选修2-1第3单元说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。图1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD2在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（ ）A B CD3在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）A60 B90 C105 D754如
2、图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）图A BC D5如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）图A BC D6正四棱锥的高，底边长，则异面直线和 之间的距离（ ）AA1DCBB1C1图A B C D7已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点。点到平面 的距离 （ ）A BC D8在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（ ）A B C D9在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面
3、ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D10在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。则与平面ABD所成角的余弦值（ ）A B C D11正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小（ ）A B C D12正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，。则三棱锥的体积V（ ）A B C D 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。13在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 。14 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 。15
4、已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 。16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共74分)。17（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长18（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30. （1）求向量的坐标； （2）设向量和的夹角为，求cos的值图19（12分）在四棱锥
5、PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角 （1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD； （2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值。20（12分）如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值； （）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。21（14分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： （）D1E与平面BC1D所成角的大小； （）二面角DBC1C的大小； （）异面直线B1D1与BC1之间的距离22（14分）如
6、图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G。 （1）求证：平面EFG平面A CB1，并判断三角形类型； （2）若正方体棱长为a，求EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离。参考答案一、选择题AABAA CABDB AC二、填空题13；14；151；16。三、解答题17解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）由于M为的中点，取中点O，所以M（，），O（，a）因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，a）根据空间两
7、点距离公式，可得18解：（1）过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30，BC=2，得BD=1，CD=，DE=CDsin30=.OE=OBBE=OBBDcos60=1.D点坐标为（0，），即向量ODTX的坐标为0，. （2）依题意：，所以.设向量和的夹角为，则cos=.19（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD （2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA=3
8、0于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=AE与CD所成角的余弦值为评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段20（）解：取线段EF的中点H，连结，因为= 及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向
9、量， -2x+2y+2z=0所以 6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为 （）解：设则， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上，所以。方法二： （）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。 （）解：设, 因为翻折后，与重合，所以， 而， 得，经检验，此时点在线段上，所以。21解：建立坐标系如图，则、，A1B1C1D1ABCDExyz， （）不难证明为平面BC1D的法向量， D1E与平面B
10、C1D所成的角的大小为 （即） （）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量， ， 二面角DBC1C的大小为 （） B1D1平面BC1D， B1D1与BC1之间的距离为22(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EFAC，EGB1C，FGAB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了。) （1）分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可。证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（
11、0，0，zG）。=（a，a，a），=（0，a，a），（xE，yF，0），=（a，a，0），=（a，0，a），=(a，a，a)(0，a，a)=0， ，同理 ，而与不共线且相交于点A，平面ACB1，又已知平面EFG， 平面EFG平面ACB1；又因为平面EFG，所以 ，则=0， 即 (a，a，a)(xE，yF，0)=0，化简得 xEyF=0；同理 xEzG=0, yFzG=0，易得 =， EFG为正三角形。 （2）解：因为EFG是正三角形，显然当EFG与 A1C1D重合时，EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=a， = = sin600= (a)2=a2 。此时EF与B1C的距离即为A1C
12、1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1HD1B并交BB1于点H，则O1H平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，所以异面直线EF与B1C的距离设为d是d = =a。(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了。)