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1、高中数学竞赛平面几何根本定理 篇一：高中数学竞赛平面几何根本定理 平面几何根底知识（根本定理、根本性质） 1 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍 (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍 2 射影定理（欧几里得定理） 3 中线定理（巴布斯定理）设ABC的边BC的中点为P，那么有AB 中线长：ma? 2b 2 2 ?AC 2 ?2(AP 2 ?BP 2 )； ?2c2 2 ?a 2 ?AD 2 4 垂线定理：AB?CD?AC 高线长：ha?
2、2a 2 ?BC 2 ?BD 2 p(p?a)(p?b)(p?c)? bca sinA?csinB?bsinC 5 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 如ABC中，AD平分BAC，那么 2b?c? 2 BDDC ? ABAC ；（外角平分线定理） A2 角平分线长：ta?6 正弦定理：7 余弦定理：c 2 bcp(p?a)? csinC 2bcb?c cos （其中p为周长一半） asinA bsinB ? （其中R为三角形外接圆半径） ?2R， ?a?b 2 ?2abcosC sin?BAD AC ? sin?DAC AB 8 张角定理：sin ?
3、BACAD ? 9 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已经明白ABC及其底边上B、C两点间的一点D，那么有AB2DC+AC2BDAD2BC BCDCBD 10 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？） 11 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，ACBD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延 长线必平分对边 14 点到圆的幂：设P为O所在平面上任意一点，PO=d，O的半径为r，那么d2r2确实是点P关于O的幂
4、过P 任作不断线与O交于点A、B，那么PAPB= |d2r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，假设此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴假设不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心关于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(确实是两两的根轴)所在直线交于一点 15 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACBD=ABCD+ADBC，(逆命题成 立) （广义托勒密定理）ABCD+ADBCACBD 16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中点，弦CD、E
5、F通过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM 17 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点间隔之和等于到另一顶点的间隔；不在等边三角 形外接圆上的点，到该三角形两顶点间隔之和大于到另一点的间隔定理2 三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点间隔和到达最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点18 拿破仑三角形：在任意ABC的外侧，分别作等边ABD、BCE、CAF，那么AE、AB、CD三线共点，同时AE BFCD，这个命题称为拿破仑定理 以ABC的三条边分别向外作等边ABD、BCE
6、、CAF，它们的外接圆C1 、A1 、B1的圆心构成的外拿破仑的三角形，C1 、A1 、B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；ABC的三条边分别向ABC的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2 、A2 、B2的圆心构成的内拿破仑三角形，C2 、A2 、B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有一样的中心 19 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以 及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外
7、接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理 20 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同不断线（欧拉线）上 21 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的间隔为d，那么d2=R22Rr 22 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边间隔的和 23 重心：三角形的三条中线交于一点，同时各中线被这个点分成2：1的两部分；G(xA?xB?xC,yA?yB?yC) 3 3 重心性质：（1）设G为ABC的重心，连结AG并延长交
8、BC于D，那么D为BC的中点，那么AG:GD?2:1； （2）设G为ABC的重心，那么S?ABG?S?BCG?S?ACG? 13 S?ABC； （3）设G为ABC的重心，过G作DEBC交AB于D，交AC于E，过G作PFAC交AB于P，交BC 于F，过G作HKAB交AC于K，交BC于H，那么（4）设G为ABC的重心，那么 BCGAPA 2 DEBC ? FPCA ? KHAB ? 23 ; DEBC ? FPCA ? KHAB ?2； ?3GA 2 ?CA 2 2 ?3GB 2 ?AB 2 2 ?3GC 2 2 2 ； 2 ?GB?PB 2 ?GC?PC ? 13 (AB 2 ?BC 2 ?CA
9、)； 2 222 ?GA?GB?GC?3PG 2 （P为ABC内任意一点）； 2 到三角形三顶点间隔的平方和最小的点是重心，即GA?GB 2 ?GC 2 最小； 三角形内到三边间隔之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，那么G为ABC的重心） a xA? b xB? c xC , acosA y ? b yB? c yC ) 24 垂心：三角形的三条高线的交点；H(cosA cosBcosC abc ? cosAcosBcosCcosBcosC abc ? cosAcosBcosC A 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的间隔，等于外心到对边的间隔的2倍； （2）垂心H关于ABC的
10、三边的对称点，均在ABC的外接圆上； （3）ABC的垂心为H，那么ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆； （4）设O，H分别为ABC的外心和垂心，那么?BAO?HAC,?CBO?ABH,?BCO?HCA 25 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边间隔相等； I(ax A ?bxB?cxCa?b?c , ay A ?by B ?cyC a?b?c ) 内心性质：（1）设I为ABC的内心，那么I到ABC三边的间隔相等，反之亦然；（2）设I为ABC的内心，那么?BIC?90? 12 ?A,?AIC?90? 12 ?B,?AIB?90? 12?C； （3）三角形一内角平
11、分线与其外接圆的交点到另两顶点的间隔与到内心的间隔相等；反之，假设?A平分线交ABC 外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，那么I为ABC的内心； （4）设I为ABC的内心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分线交BC于D，交ABC外接圆于点K，那么 AIID ?AKKI ?IKKD ?b?ca ； （5）设I为ABC的内心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆半径为r， 令p? abcr 12 (a?b?c)，那么S?ABC?pr；AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c； ?p?AI?BI?CI 26 外心：三
12、角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点间隔相等； O( sin2Ax A ?sin2Bx B ?sin2Cx C sin2A?sin2B?sin2C , sin2Ay A ?sin2By B ?sin2Cy C sin2A?sin2B?sin2C ) 外心性质：（1）外心到三角形各顶点间隔相等； （2）设O为ABC的外心，那么?BOC?2?A或?BOC?360?2?A； （3）R ? abc4S ? ；（4）锐角三角形的外心到三边的间隔之和等于其内切圆与外接圆半径之和 27 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设ABC的三边BC?a,AC?b,AB?c,令 p? 1
13、2 (a?b?c)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆圆心记为IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC 12 ?A,?BIBC?BI C?C 12 旁心性质：（1）?BIAC?90?（2）?IAIBIC?（3）设AI 12 ； ?A,（关于顶角B，C也有类似的式子） (?A?C)； A 的连线交ABC的外接圆于D，那么DI A ?DB?DC（关于BI B ,CI C 有同样的结论）； （4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接圆半径R等于ABC的直径为2R 28 三角形面积公式：S?ABC? 12aha? 12 absinC? abc4R ?2R 2 sinAsi
14、nBsinC? a 2 ?b 2 ?c 2 4(cotA?cotB?cotC) 12 ?pr? r为内切圆半径，p?其中ha表示BC边上的高，R为外接圆半径，p(p?a)(p?b)(p?c)， (a?b?c) 29 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的互相关系： r?4Rsin A2 r tan B2tan C2 sin B2 sin C2 ;ra?4Rsin r tan A2tan C2 A2 cos B2 cos r C2 ,rb?4Rcos 1ra 1rb A2 sin B2 1r. cos C2 ,rc?4Rcos A2 cos B2 sin C2 ; ra?,rb?,rc? tan
15、A2 tan B2 ;? 1rc ? 30 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不通过它们任一顶点的直线的交点 分别为P、Q、R那么有 BPPC ?CA ?ARRB ?1（逆定理也成立）31 梅涅劳斯定理的应用定理1：设ABC的A的外角平分线交边CA于Q，C的平分线交边AB于R，B的平分 线交边CA于Q，那么P、Q、R三点共线 32 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延 长线交于点P、Q、R，那么P、Q、R三点共线 33 塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为ABC的边BC、CA、
16、AB上的一点，那么AX、BY、CZ所在直线交于一点的充 要条件是 AZBXCY =1 ZBXCYA 34 塞瓦定理的应用定理：设平行于ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S， 那么AS一定过边BC的中点M 35 塞瓦定理的逆定理：（略） 36 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线 交于一点 37 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，那么AR、BS、CT 交于一点 38 西摩松（Simson）定理：从ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA
17、、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别 是D、E、R，那么D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line） 39 西摩松定理的逆定理：（略） 40 关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 41 关于西摩松线的定理2（安静定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角 形的西摩松线，这些西摩松线交于一点 42 史坦纳定理：设ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心 43 史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和A
18、BC的垂心H同在一条 （与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线 44 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个 四边形的牛顿线 45 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线 46 笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一 点，这时假设对应边或其延长线相交，那么这三个交点共线 47 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交 于一点，这时假设对应边或其延长线相交，那么这
19、三个交点共线 48 波朗杰、腾下定理：设ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，那么P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧 AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?) 49 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为ABC的外接圆上的三点，假设P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点， 那么A、B、C三点关于PQR的的西摩松线交于与前一样的一点 50 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的 垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点 51 波朗杰、腾下定理推论3：调查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这
20、条西摩 松线该外接圆的弦，那么三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点 52 波朗杰、腾下定理推论4：从ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、 AB的中点分别是L、M、N，那么D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点53 卡诺定理：通过ABC的外接圆的一点P，引与ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、 PF，与三边的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线 54 奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M、N， 在ABC
21、的外接圆上取一点P，那么PL、PM、PN与ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线 55 清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、 V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线 56 他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W， 这时，假设QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线（反点：P、Q分别为圆O的半径OC
22、和其延长线的两点，假设OC2=OQOP 那么称P、Q两点关于圆O互为反点） 57 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4 个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，那么四个垂足在同一条直线上 58 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59 一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点 61 康托尔定理2：一个圆周
23、上有A、B、C、D四点及M、N两点，那么M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、 ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同不断线上这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线 62 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，那么M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、 L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点 63 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，那么M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、 DEAB、EABC中的每一个康
24、托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线 64 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 65 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，那么如此的三个交点可以构成一 个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形 66 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，那么这三线共点 67 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点 共线 68 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的间隔之比为定比m
25、：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成 m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆 69 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心 都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆 70 密格尔（Miquel）点： 假设AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是 ABF、AED、BCE、DCF，那么这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点 71 葛尔刚（Gergonne）点：ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，那么A
26、E、BF、CD三线共点，这个 点称为葛尔刚点 72 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足 构成的三角形的面积，其公式： SS ?DEF?ABC ? |R 2 ?d 2 2 | 4R 2009年全国高中数学结合竞赛湖北省预赛篇二：高中数学竞赛平面几何根底圆幂定理 圆幂定理 篇三：个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲 一、 1. 梅涅劳斯定理平面几何 证明：当直线交ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时， (AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1 逆定理证明： 证明：X、Y、Z分别在ABC的BC
27、、CA、AB所在直线上，那么X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一 过点A作AGBC交DF的延长线于G， 那么AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 证明二 过点C作CPDF交AB于P，那么BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 因而有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 证明四 过三顶点作直线DEF的垂线，AA，BB，CC 有AD：DB=AA：BB 另外两个类似， 三
28、式相乘得1 得证。如百科名片中图。 推论 在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是 =BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。因而AL、BM、CN三线交于一点的是=-1。（留意与塞瓦定理相区分，那儿是=1） 第一角元方式的梅涅劳斯定理如图：假设E，F，D三点共线，那么 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1 即上图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积 该方式的梅涅劳斯定理也特别有用证明：可用面积法推出：第一角元方式的梅氏定理与顶分顶方式的梅氏定理等价。 第二角元方式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且ED
29、F共线，那么（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOE/sinAOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 梅涅劳斯球面三角形定理 在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么(sin弧AP/sin弧PB)(sin弧BQ/sin弧QC)(sin弧CR/sin弧RA)=1 意义 在ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，那么 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1定理的内容 托勒密(Ptolemy) 定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内
30、接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面 积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公 式及一系列的三角恒等式，托勒密定理本质上是关 于共圆性的根本性质 定理内容：指圆内接凸四边形两对对边 乘积的和等于两条对角线的乘积 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特别情况。） 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE. 那么ABEACD 因而 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) 由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC= EAD, 因而ABCAED. BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2) (1)+(2),得