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1、地下工程监测与检测技术地下工程监测与检测技术第九章 测量误差分析及数据处理人民交通出版社测量误差及分类单随机变量的数据处理多数据变量的处理内容提要第一节第一节 测量误差及分类测量误差及分类一.测量误差的定义 测量值与被测量的真实量值之间存在着差异，这个差异称为测量误差。误差公理认为，在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。二.测量误差的分类 系统误差是指在相同条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都保持不变的误差，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差；系统误差的
2、主要特性是规律性。 随机误差是指在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都以不可预知的方式变化的误差；随机误差的主要特性是随机性。 明显地偏离被测量真值的测量值所对应的误差，称为粗大误差。1. 系统误差、随机误差和粗大误差2. 基本误差和附加误差 任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分为基本误差和附加误差。测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误差，称为基本误差。而在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为附加误差。 3.
3、 静态误差和动态误差 根据被测量随时间变化的速度，可将误差分为静态误差和动态误差。在测量过程中，被测量稳定不变，所产生的误差称为静态误差。在测量过程中，被测量随时间发生变化，所产生的误差称为动态误差。在实际的测量过程中，被测量往往是在不断地变化的。当被测量随时间的变化很缓慢时，这时所产生的误差也可认为是静态误差。三.测量的精度 测量的精度，包含准确度、精密度和精确度，它们都是定性的概念，不能用数值作定量表示。 测量的准确度表征了测量值和被测量真值的接近程度。准确度越高则表征测量值越接近真值。准确度反映了测量结果中系统误差的大小程度，准确度越高，则表示系统误差越小。 测量的精密度表征了多次重复对
4、同一被测量进行测量时，各个测量值分布的密集程度。精密度越高则表征各测量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了测量结果中随机误差的大小程度，精密度越高，则表示随机误差越小。测量的精确度是准确度和精密度的综合，精确度高则表征了准确度和精密度都高。精确度反映了系统误差和随机误差对测量结果的综合影响，精确度高，则反映了测量结果中系统误差和随机误差都小。对于具体的测量，精密度高的准确度不一定高；准确度高的，精密度也不一定高；但是精确度高的，精密度和准确度都高。第二节第二节 单随机变量的数据处理单随机变量的数据处理一.误差估计 测量值与被测量的真实量值之间的差异称为误差，对误差的计算称为误差估计。1.绝对误
5、差0iixx0iixx 绝对误差只能用来判断对同一测量的测量精确度，但不能表征精确的程度，它需要用相对误差来判别。测量值和真值之间的差值的绝对值。2.算术平均误差 当n较大时，可用下式估算为各次测量误差绝对值的算术平均值叫算术平均误差1011niniiixxnn11(1)(1)nniiiixxn nn n3.相对误差 相对误差是一个没有单位的量，常用百分数表示。测量值得到的相对误差相等，则其测量精确度也相等。绝对误差与算术平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差100%4.标准误差(试验标准差)标准误差是测量列中各次误差的方均根，反映了数据的分散状况。2011niixxn5.算术平均值的标准差算
6、术平均值的标准差与标准误差( 实验标准差)的关系1xxSSn二.可疑似数据的舍弃 在多次测量中，有时会遇到个别测值和其它多数测值相差较大的情况，这些个别数据就是所谓的可疑数据。对可疑数据，可利用正态分布来决定取舍。因为在多次测量中，误差在-3 +3之间时，其出现概率为99.7，在此范围之外的误差出现的概率只有0.3。 常用3 法三.单随机变量的数据处理1.标准差法例1：同一岩体的10个岩石试件的抗压强度分别为15.3,14.4,16.2,15.3,15.6,14.8,16.9,18.2,14.7,14.9。计算平均值计算标准差剔除可疑值：第8个数据18.2疑为可疑数据，10111(15.3 1
7、4.4 16.2 15.3 15.6 14.8 16.9 18.2 14.714.9)15.61010ciixMPa21112.371.1799niixxMPa1018.2 15.62.221.991.17dd故18.2应当剔除。再计算其余9个值的算术平均值和标准误差：9111(15.3 14.4 16.2 15.3 15.6 14.8 16.9 14.714.9)15.399ciixMPa2115.040.7988niixxMPa在余下的9个数据中再检查可疑数据，取与平均值偏差最大的第7个数据16.9916.9 15.32.021.920.79dd故16.9应当剔除。再计算其余8个值的算术平
8、均值和标准误差：8111(15.3 14.4 16.2 15.3 15.6 14.8 14.7 14.9)15.288ciixMPa2112.320.5877niixxMPa在余下的8个数据中再检查可疑数据，取与平均值偏差最大的第7个数据16.9816.2 15.21.721.860.58dd故16.2这个数据是合理的处理结果用算术平均值和极限误差表示为315.230.5815.21.74cc 根据误差的分布特征，该种岩石的抗压强度在13.46 16.94MPa的概率是99.7%，正常情况下的测试结果不会超出该范围。2.保证极限法xkxk 地基基础规范中对重要建筑物的地基土指标采用保证极限法。
9、这种方法是根据数理统计中的推断理论提出来的，如。如前述在 区间内数据出现的概率与所取的k有关。例如k2，相当于保证率为95，即在 区间内数据出现的概率为95， 第三节第三节 多数据变量的处理多数据变量的处理一.数据拟合与回归分析1.数据拟合 在测量数据的处理中，通常需要根据实际测量所得数据，求得反映各变量之间的最佳函数关系表达式。如果变量间的函数形式根据理论分析或以往的经验已经确定了，而其中有一些参数是未知的，则需要通过测量数据来确定这些参数；如果变量间的具体函数形式还没有确定，则需要通过测量数据来确定函数形式和其中的参数。根据实测数据，求得反映各变量之间的最佳函数关系表达式称为数据拟合，所得
10、函数关系式为拟合方程式。2.回归分析 应用最小二乘法进行数据拟合的方法称为回归分析，求得的函数关系式称为回归方程。回归分析实质上就是应用数理统计的方法，对测量数据进行分析和处理，从而求出反映变量间相互关系的经验公式，即回归方程。将最小二乘法应用于等精度测量的数据拟合，其基本原则是各个实测的数据点与拟合曲线的偏差（即残余误差）的平方和应为最小值。二.一元线性回归1. 一元线性回归的数学模型2. 回归方程的参数估计3. 正规方程组4. 正规方程的求解5. 回归效果衡量三.多元元线性回归1. 多元线性回归的数学模型2. 正规方程及其解3. 回归效果衡量指标四.一元元非线性回归1.非线性回归 在实际问
11、题中，有时变量之间的内在关系并不是线性，而是某种曲线关系，需进行非线性回归。对于非线性回归，一般分两步进行：首先确定非线性回归的数学模型；其次求解回归方程中的未知参数。 最小二乘法直接求解非线性回归方程是非常复杂的，通常采用下面两种方法： 一是通过相应的变量代换，把曲线回归转换成线性回归，即采用线性化回归，继而用前面给出的线性回归的方法求解线性化回归方程，最后将线性化回归方程还原为非线性回归方程。 二是把回归方程展开成回归多项式，直接用回归多项式来描述两个变量之间的关系，这样就把求解曲线回归的问题转化为解多项式回归的问题。2.回归方程函数类型的选择 线性化回归的关键是数学模型的判定，亦即回归方程的函数类型的选择。较常用的方法有下面两种方法： 一是直接判断法，即根据专业知识，从理论上推导或者根据以往的实践经验来确定两个变量之间的函数类型。 二是观察法，即将测量数据描在坐标纸上作散点图，再将散点连成曲线，并与各类典型曲线相比较，从而初步选定经验公式的类型，必要时，还须对初选的经验公式进行检验。3.非线性回归方程的线性化五.多项式回归多项式回归方程为对自变量x作变换，令可得到 这是一个m元回归分析问题,可按多元线性回归方法求解。多元线性回归方程的系数即为多项式回归方程的系数。mmxbxbxbby 2210mjxxjj, 2 , 1 mmxbxbxbby 22110