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1、|2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学 参考答案与解析 一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。 1、设z= ，则|z|= A、0 B、 C、1 D、 【答案】C【解析】由题可得 ，所以|z|=1 i z 2i ） i - （【考点定位】复数 2、已知集合A=x|x 2 -x-20，则 A= A、x|-12 D、x|x -1x|x 2 【答案】B【解析】由题可得 C R A=x|x 2 -x-20，所以x|-1 x 2【考点定位】集合 3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村
2、建设前后农村的经济收入构成比 例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是： A、新农村建设后，种植收入减少。 B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。 C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。 D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。|【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%60%，【考点定位】简单统计 4、记S n 为等差数列a n 的前n项和，若3S 3 =S 2 +S 4 ，a 1 =2，则a 5 = A、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】B【解析】3*(a 1 +a 1 +d+a 1 +2d)=(a 1 +a 1
3、 +d) (a 1 +a 1 +d+a 1 +2d+a 1 +3d)，整理得: 2d+3a 1 =0 ; d=-3 a 5 =2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列 求和 5、设函数f（x）=x 3 +(a-1)x 2 +ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处 的切线方程为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得: f（x）+f（-x）=2*(a-1)x 2 =0 a=1 f（x）=x 3 +x 求导f（x）=3x 2 +1 f（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇
4、偶性；函数的导数 6、在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 = A、 - - B、 - - C、 - + D、 -|【答案】A【解析】AD为BC边上的中线 AD= AC 2 1 AB 2 1 E为AD的中点AE= AC 4 1 AB 4 1 AD 2 1 EB=AB-AE= AC 4 1 AB 4 3 ） AC 4 1 AB 4 1 （ - AB 【考点定位】向量的加减法、线段的中点 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对 应点为11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到 N的路径中，最短路径的长度为
5、A、 B、 C、3 D、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：注意到B点在 圆周处。 4 1 最短路径的长度为AB= 2 2 + 4 2 【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径 8.设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点， 则 =A.5B.6C.7D.8 【答案】D【解析】 A A B|抛物线C：y=4x的焦点为F(1,0) 直线MN的方程: ） 2 （ 3 2 y x 消去 x 整理得：y 2 -6y+8=0 y=2 或 y=4 M、N 的坐标（1，2） ， （4，4） 则 =(0,2)(3,4)=0*3+2*4=8【考点定位】
6、抛物线焦点 向量的数量积 如果消去，计算量会比较大一些，您不妨试试。 9.已知函数f（x）= g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的 取值范围是A. -1，0）B. 0，+）C. -1，+）D. 1，+） 【答案】C【解析】 根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。令 M(x)=-a, N(x)=f(x)+x = + 0 + 0 _ 分段求导：N(x)=f(x)+x = 说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如 + 1 0 0 1 + 1 0 0 _ 下： M(x)=-a 在区间(-，+1上有2个交点。 a的取值范围是C. -1，+）【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参
7、数法|10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆 的直径分别为。直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. ABC的三边所围成的区 域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自 ，的概率分别记为p1，p2，p3，则 A. p 1 =p 2 B. p 1 =p 3 C. p 2 =p 3 D. p 1 =p 2 +p 3 【答案】A【解析】 整个区域的面积： S 1 +S 半圆BC = S 半圆AB + S 半圆AC +S ABC 根据勾股定理，容易推出S 半圆BC = S 半圆AB + S 半圆AC S 1 = S ABC 故
8、选A【考点定位】古典概率、 不规则图形面积 11.已知双曲线C： -y=1，O 为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条 渐近线的交点分别为M，N. 若OMN为直角三角形，则MN=A. B.3C. D.4 【答案】B 【解析】 右焦点,OF= =2， 3 + 1 渐近线方程y= x NOF=MOF =30 3 3 在RtOMF中，OM=OF*cosMOF=2*cos=30 3 在RtOMN中，MN=OM = * =3 tan 3 tan (30 + 30) 【考点定位】双曲线渐近线、焦点 概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。 如果用解方 M F N o|
9、程，计算量很大。 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体 所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 如图平面截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH= 2 2 截面面积S=6 （ ） 2 = 3 4 2 2 【考点定位】立体几何 截面 【盘外招】交并集理论：ABD 交集为 ，AC 交集为 ，选 A 3 3 4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 . 【答案】6 【解析】 当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Z max =3*2+0=6|【
10、考点定位】线性规划（顶点代入法）14.记S n 为数列a n 的前n项和.若S n =2a n +1，则S 6 = . 【答案】-63 【解析】 S 1 =2a 1 +1=a 1 a 1 =-1 n1时，S n =2a n +1，S n-1 =2a n-1 +1 两式相减：S n -S n-1 = a n =2a n -2a n-1 a n =2a n-1 a n =a12 n-1 = （-1）2 n-1 S 6 =（-1）（2 6 -1）=-63【考点定位】等比数列的求和 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法 共有 种.（用数字填写答案） 【答案
11、】16 【解析】 =2 6+1 =16 1 2 2 4 + 2 2 1 4 4 【考点定位】排列组合 16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 . 【答案】 3 3 2 【解析】 f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx) 考虑到f（x）为奇函数，可以求f（x）最大值.将f（x）平方： f 2 （x）=4sin 2 x(1+cosx) 2 =4(1-cosx)(1+cosx) 3 =4/3(3-3cosx)(1+cosx) 3 (4/3) 3- （ 3cosx） 3(1+cosx)/4） 4 = （ ） 4 = +
12、3 4 4 6 4 27|当3-3cosx=1+cosx 即cosx 时，f 2 （x）取最大值 = 1 2 f（x） min = 3 3 2 【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用 【其他解法】：求导数解答 f（x）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。 三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分） 在平面四边形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5. （1）求cosADB； （2）若DC= ，求B
13、C. 【答案】 【解析】 （1）在ABD 中，由正弦定理得 = sinADB =ABsinADB/BD= 2 5 由题设可知，ADB400, 应该对这箱余下的所有产品作检验。|【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式） 、数学期望 21、 （12分） 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 存在两个极值点 , ,证明： . 【答案】 【解析】 （1）f（x）的定义域为（0，+） f（x）=- =- 1 2 1 + 2 + 1 2 =a 2 -4 (i)若a2,则f（x）0，当且仅当a=2,x=1时f（x）=0，f（x）在（0，+）单调递 减。 (i)若a2,令f（x）=0得
14、到， = 2 4 2 当x（0， ）（ ，+）时，f（x）0 2 4 2 + 2 4 2 f（x）在x（0， ）,（ ，+）单调递减, 在（ , ）单调 2 4 2 + 2 4 2 2 4 2 + 2 4 2 递增。 (2)由(1)可得 f(x)存在 2 个极值点当且仅当 a2 由于 f(x)的极值点 x1,x2 满足 x2-ax+1=0 所以 x1x2=1 不妨设 x11 由于 (1 ) (2 ） 1 2 = 1 12 1 + 1 2 1 2 = 2 + 1 2 1 2 = 2 + 22 1/2 2 等价于 1 2 2 + 22 0 + 2 0 _ 显然，K=0 时，C 1 与 C 2 相切，只有一个交点。 K0 时，C 1 与 C 2 没有交点。 C 1 与 C 2 有且仅有三个交点，则必须满足 K0) 与 C 2 相切,圆心到射线的距离 d= 故 K=-4/3 或 K=0.| + 2| 2 + 1 = 2 经检验，因为 K 1 _ 不等式f（x）1 的解集为x|x 1 2 (2) 当 x（0，1）时不等式f（x）=x+1-ax-1x 成立,等价于ax-10，当x（0，1）时ax-1=1 故0a2 2 2 综上所述，a的取值范围是（0，2 。 【考点定位】绝对值不等式 含参数不等式恒成立的问题|