2017年河南中考数学试卷~.doc

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1、|2017 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题3 分，共30 分） 1 （3 分）下列各数中比 1 大的数是（ ） A2 B 0 C1 D3 2 （3 分）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据“74.4 万亿”用科 学记数法表示（ ） A74.410 12 B 7.4410 13 C74.410 13 D7.4410 15 3 （3 分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A B C D 4 （3 分）解分式方程 2= ，去分母得（ ） A1 2 （x 1 ）=3 B 12（x 1）=3C1 2x 2= 3 D12x+2=3 5 （3 分）八年级某同

2、学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分， 95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是（ ） A95 分，95 分 B 95 分，90 分 C90 分，95 分 D95 分，85 分 6 （3 分）一元二次方程 2x 2 5x2=0 的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 7 （3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O，添加下列条件不能 判定ABCD 是菱形的只有（ ）|AACBD B AB=BC CAC=BD D1=2 8 （3 分）如图是一次数学活动课制作

3、的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区 域，并分别标有数字1，0，1，2若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针 所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转） ，则记录的两个数 字都是正数的概率为（ ） A B C D 9 （3 分）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边 长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B ，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D处，则点 C 的对 应点 C 的坐标为（ ） A （ ，1） B （2 ，1） C （1， ） D （2， ） 10 （3 分）如图，将半径为

4、2，圆心角为 120的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60，点 O，B 的对应点分别为 O ，B，连接 BB，则图中阴影部分的面积是（ ） A B 2 C2 D4 |二、填空题（每小题3 分，共15 分） 11 （3 分）计算：2 3 = 12 （3 分）不等式组 的解集是 13 （3 分）已知点 A（1 ，m） ，B （2，n ）在反比例函数 y= 的图象上，则 m 与 n 的大小关系为 14 （3 分）如图 1 ，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为 曲线部分的最低点

5、，则ABC 的面积是 15 （3 分）如图，在 Rt ABC 中，A=90 ，AB=AC，BC= +1，点 M，N 分别 是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠B ，使点 B 的对应点 B始终落 在边 AC 上，若 MBC 为直角三角形，则 BM 的长为 三、解答题（本题共8 个小题，满分75 分） 16 （8 分）先化简，再求值：（2x+y ） 2 +（xy） （x+y）5x（xy） ，其中 x= +1，y= 1 17 （9 分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部 分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表调查结果统计表 组别 分组（单位：

6、元） 人数|A 0x30 4 B 30x60 16 C 60x90 a D 90x120 b E x 120 2 请根据以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有 人，a+b= ，m= ； （2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数； （3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60x120 范围的 人数 18 （9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 边于点 D ， 过点 C 作 CF AB，与过点 B 的切线交于点 F ，连接 BD （1）求证：BD=BF ； （2）若 AB=10 ，CD=4 ，求 BC 的长 19 （

7、9 分）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻，两 船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南 方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45 方向，B 船测得渔船 C 在其南偏|东 53方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/小时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53 ，cos53 ，tan53 ， 1.41 ） 20 （9 分）如图，一次函数 y=x+b 与反比例函数 y= （x0）的图象交于点 A（m ，3）和 B（3，1 ） （1）填空：一次函数的解析式为 ，反比

8、例函数的解析式为 ； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD x 轴于点 D，连接 OP，若POD 的 面积为 S，求 S 的取值范围 21 （10 分）学校“ 百变魔方”社团准备购买 A ，B 两种魔方，已知购买 2 个 A 种 魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数 相同 （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔 方不超过 50 个） 某商店有两种优惠活动，如图所示请根据以上信息，说明 选择哪种优惠活动购买魔方更实惠|22 （10 分）如图 1

9、 ，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M ，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判 断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出 PMN 面积的最大值 23 （11 分）如图，直线 y= x+c 与 x 轴交于点 A （3，0） ，与 y 轴交于点 B， 抛物线 y= x

10、 2 +bx+c 经过点 A，B （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M （m，0 ）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N 点 M 在线段 OA 上运动，若以 B ，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点|M 的坐标； 点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M ，P，N 中恰有一点是其它两点所连线 段的中点（三点重合除外） ，则称 M，P ，N 三点为“ 共谐点”请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值|2017 年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3 分，共30 分） 1 （

11、3 分） （2017河南）下列各数中比 1 大的数是（ ） A2 B 0 C1 D3 【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案 【解答】解：2 01 3， 故选：A 【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关 键2 （3 分） （2017河南）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据 “74.4 万亿”用科学记数法表示（ ） A74.410 12 B 7.4410 13 C74.410 13 D7.4410 15 【解答】解：将 74.4 万亿用科学记数法表示为：7.4410 13 故选：B 3 （3 分） （2017河南）某几何体的左视图如图所

12、示，则该几何体不可能是（ ） A B C D 【分析】左视图是从左边看到的，据此求解 【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为 2，1 ，|D 不符合， 故选 D 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构 成，难度不大4 （3 分） （2017河南）解分式方程 2= ，去分母得（ ） A1 2 （x 1 ）=3 B 12（x 1）=3C1 2x 2= 3 D12x+2=3 【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母 x1 得到结果，即可作出判 断 【解答】解：分式方程整理得： 2= ， 去分母得：1 2（x 1）= 3， 故选 A 【点评】

13、此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检 验5 （3 分） （2017河南）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分， 85 分，95 分，95 分，95 分，100 分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分 别是（ ） A95 分，95 分 B 95 分，90 分 C90 分，95 分 D95 分，85 分 【解答】解：位于中间位置的两数分别是 95 分和 95 分， 故中位数为 95 分， 数据 95 出现了 3 次，最多， 故这组数据的众数是 95 分， 故选 A 【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会 找一组数据的众数和中位

14、数6 （3 分） （2017河南）一元二次方程 2x 2 5x 2=0 的根的情况是（ ）|A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：=（5 ） 2 42（2）=410， 方程有两个不相等的实数根 故选 B 7 （3 分） （2017河南）如图，在ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O，添加 下列条件不能判定ABCD 是菱形的只有（ ） AACBD B AB=BC CAC=BD D1=2 【分析】根据平行四边形的性质菱形的判定方法即可一一判断 【解答】解：A、正确对角线垂直

15、的平行四边形的菱形 B、正确邻边相等的平行四边形是菱形 C、错误对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形 D、正确可以证明平行四边形 ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形 故选 C 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练 掌握菱形的判定方法8 （3 分） （2017河南）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分 成四个扇形区域，并分别标有数字1，0 ，1 ，2若转动转盘两次，每次转盘停 止后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转） ，则 记录的两个数字都是正数的概率为（ ）|A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图

16、求得所有等可能的结果与两 个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两个数字都是正数的有 4 种情况， 两个数字都是正数的概率是： = 故选：C 9 （3 分） （2017河南）我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角 坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A ，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D 处， 则点 C 的对应点 C的坐标为（ ） A （ ，1） B （2 ，1） C （1， ） D （2， ） 【分析】由已知条件得到

17、AD=AD=2 ，AO= AB=1 ，根据勾股定理得到 OD= = ，于是得到结论 【解答】解：AD=AD=2， AO= AB=1 ， OD= = ， CD=2，CDAB，|C （2， ） ， 故选 D 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识 别图形是解题的关键10 （3 分） （2017河南）如图，将半径为 2，圆心角为 120的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60 ，点 O，B 的对应点分别为 O ，B，连接 BB，则图中阴影部分 的面积是（ ） A B 2 C2 D4 【解答】解：连接 OO，BO， 将半径为 2 ，圆心角为 120的扇形 OAB 绕点

18、A 逆时针旋转 60， OAO=60 ， OAO 是等边三角形， AOO=60 ， AOB=120， OOB=60 ， OOB 是等边三角形， AOB=120 ， AOB=120， BOB=120， OBB=OBB=30 ，|图中阴影部分的面积=S BOB （S 扇形 OOB S OOB ） = 12 （ 2 ）=2 故选 C 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质， 正确的作出辅助线是解题的关键二、填空题（每小题3 分，共15 分） 11 （3 分） （2017河南）计算：2 3 = 6 【分析】明确 表示 4 的算术平方根，值为 2 【解答】解：2 3 =82

19、=6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目， 比较简单12 （3 分） （2017河南）不等式组 的解集是 1x2 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分 【解答】解： 解不等式0 得：x2， 解不等式得：x1 ， 不等式组的解集是1x2， 故答案为1x2 |【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的 关键是求出不等式组的解集13 （3 分） （2017河南）已知点 A （1，m ） ，B （2，n）在反比例函数 y= 的 图象上，则 m 与 n 的大小关系为 m n 【分析】由反比例函数 y= 可知函数

20、的图象在第二、第四象限内，可以知道在 每个象限内，y 随 x 的增大而增大，根据这个判定则可 【解答】解：反比例函数 y= 中 k=2 0 ， 此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 012 ， A 、B 两点均在第四象限， mn 故答案为 mn 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反 比例函数图象所在的象限是解答此题的关键14 （3 分） （2017河南）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀 速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象， 其中 M 为曲线部分的

21、最低点，则ABC 的面积是 12 【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运 动时，BP 先变小后变大，从而可求出 BC 与 AC 的长度 【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 向 C 运动时，BP 的最大值为 5，|即 BC=5 ， 由于 M 是曲线部分的最低点， 此时 BP 最小， 即 BP AC，BP=4 ， 由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， PA=3， AC=6， ABC 的面积为： 46=12 故答案为：12 【点评】本题考查动点问题的函数图象

22、，解题的关键是注意结合图象求出 BC 与 AC 的长度，本题属于中等题型15 （3 分） （2017河南）如图，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC，BC= +1， 点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠B，使点 B 的对 应点 B始终落在边 AC 上，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为 + 或 1 【解答】解：如图 1 ， 当BMC=90，B 与 A 重合，M 是 BC 的中点， BM= BC= + ； 如图 2 ，当MBC=90 ， A=90，AB=AC， C=45 ，|CMB是等腰直角三角形， CM= MB， 沿 MN 所在的直线折叠B ，使点

23、B 的对应点 B， BM=BM， CM= BM ， BC= +1 ， CM+BM= BM+BM= +1 ， BM=1， 综上所述，若MBC 为直角三角形，则 BM 的长为 + 或 1， 故答案为： + 或 1 【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出 图形是解题的关键三、解答题（本题共8 个小题，满分75 分） 16 （8 分） （2017河南）先化简，再求值：（2x+y） 2 +（x y） （x+y ）5x（x y） ， 其中 x= +1，y= 1|【分析】首先化简（2x+y） 2 +（x y ） （x+y ）5x （x y） ，然后把 x= +1，y= 1 代入

24、化简后的算式，求出算式的值是多少即可 【解答】解：（2x+y） 2 + （x y ） （x+y ）5x （x y ） =4x 2 +4xy+y 2 +x 2 y 2 5x 2 +5xy =9xy 当 x= +1，y= 1 时， 原式=9 （ +1） （ 1） =9 （2 1 ） =91 =9 17 （9 分） （2017河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机 调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图 表调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0x30 4 B 30x60 16 C 60x90 a D 90x120 b E x 120 2 请根据

25、以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有 50 人，a+b= 28 ，m= 8 ； （2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数； （3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60x120 范围的 人数|【解答】解：（1 ）调查的总人数是 1632%=50 （人） ， 则 b=5016%=8，a=504 1682=20， A 组所占的百分比是 =8% ，则 m=8 a+b=8+20=28 故答案是：50，28，8 ； （2）扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 360 =144； （3）每月零花钱的数额 x 在 60 x 120 范围的人数是 1000 =

26、560 （人） 【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解 题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18 （9 分） （2017河南）如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CFAB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD （1）求证：BD=BF ； （2）若 AB=10 ，CD=4 ，求 BC 的长 【分析】 （1 ）根据圆周角定理求出 BDAC，BDC=90，根据切线的性质得出 ABBF，求出ACB= FCB ，根据角平分线性质得出即可； （2）求出 AC=10，AD=6 ，根据勾股定理求出 BD ，再

27、根据勾股定理求出 BC 即|可 【解答】 （1 ）证明：AB 是O 的直径， BDA=90 ， BDAC，BDC=90， BF 切O 于 B， ABBF， CF AB， CF BF，FCB=ABC， AB=AC， ACB=ABC， ACB=FCB ， BDAC，BFCF， BD=BF； （2）解：AB=10，AB=AC， AC=10 ， CD=4， AD=104=6， 在 RtADB 中，由勾股定理得：BD= =8， 在 RtBDC 中，由勾股定理得：BC= =4 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判 定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键19 （9

28、分） （2017河南）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，|某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东 53 方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海 里/小时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53 ，cos53 ，tan53 ， 1.41 ） 【分析】如图作 CEAB 于 E设 AE=EC=x ，则 BE=x 5，在 RtBCE 中，根据 tan53= ，可得 = ，求出 x，再求出 B

29、C、AC，分别求出 A、B 两船到 C 的 时间，即可解决问题 【解答】解：如图作 CEAB 于 E 在 RtACE 中，A=45， AE=EC ，设 AE=EC=x，则 BE=x5， 在 RtBCE 中， tan53= ， = ， 解得 x=20 ，|AE=EC=20， AC=20 =28.2， BC= =25， A 船到 C 的时间 =0.94 小时，B 船到 C 的时间= =1 小时， C 船至少要等待 0.94 小时才能得到救援 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、锐角三角函数、速度、时 间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考 常考题型20 （9

30、 分） （2017河南）如图，一次函数 y=x+b 与反比例函数 y= （x0）的 图象交于点 A（m ，3 ）和 B （3，1） （1）填空：一次函数的解析式为 y=x+4 ，反比例函数的解析式为 y= ； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD x 轴于点 D，连接 OP，若POD 的 面积为 S，求 S 的取值范围 【解答】解：（1 ）将 B （3，1）代入 y= ， k=3， 将 A （m ，3）代入 y= ， m=1， A （1 ，3 ） ，|将 A （1 ，3 ）代入代入 y= x+b ， b=4， y=x+4 （2）设 P （x ，y ） ， 由（1）可知：1x3

31、 ， PD=y=x+4 ，OD=x， S= x（x+4 ） ， 由二次函数的图象可知： S 的取值范围为： S2 故答案为：（1 ）y= x+4；y= 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次 函数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型21 （10 分） （2017河南）学校“ 百变魔方” 社团准备购买 A ，B 两种魔方，已知 购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种 魔方所需款数相同 （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔

32、方不超过 50 个） 某商店有两种优惠活动，如图所示请根据以上信息，说明 选择哪种优惠活动购买魔方更实惠|【解答】 （按买 3 个 A 种魔方和买 4 个 B 种魔方钱数相同解答） 解：（1 ）设 A 种魔方的单价为 x 元/ 个，B 种魔方的单价为 y 元/ 个， 根据题意得： ， 解得： 答：A 种魔方的单价为 20 元/ 个，B 种魔方的单价为 15 元/ 个 （2）设购进 A 种魔方 m 个（0m 50 ） ，总价格为 w 元，则购进 B 种魔方 （100m）个， 根据题意得：w 活动一 =20m0.8+15（100m）0.4=10m+600； w 活动二 =20m+15（100 m

33、m ）=10m+1500 当 w 活动一 w 活动二 时，有 10m+600 10m+1500 ， 解得：m45； 当 w 活动一 =w 活动二 时，有 10m+600= 10m+1500 ， 解得：m=45 ； 当 w 活动一 w 活动二 时，有 10m+600 10m+1500 ， 解得：45m50 综上所述：当 m45 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=45 时，选择两种 活动费用相同；当 m45 时，选择活动二购买魔方更实惠 （按购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方需要 130 元解答） 解：（1 ）设 A 种魔方的单价为 x 元/ 个，B 种魔方的单价为 y 元/ 个，

34、 根据题意得： ， 解得： 答：A 种魔方的单价为 26 元/ 个，B 种魔方的单价为 13 元/ 个 （2）设购进 A 种魔方 m 个（0m 50 ） ，总价格为 w 元，则购进 B 种魔方 （100m）个， 根据题意得：w 活动一 =26m0.8+13（100m）0.4=15.6m+520；|w 活动二 =26m+13（100 m m ）=1300 当 w 活动一 w 活动二 时，有 15.6m+5201300 ， 解得：m50； 当 w 活动一 =w 活动二 时，有 15.6m+520=1300， 解得：m=50 ； 当 w 活动一 w 活动二 时，有 15.6m+5201300 ， 不

35、等式无解 综上所述：当 m50 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=50 时，选择两种 活动费用相同 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不 等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1 ）找准等量关系，列出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出 w 活动一 、w 活动二 关于 m 的函数关系式22 （10 分） （2017河南）如图 1 ，在 RtABC 中， A=90 ，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M ，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中 点 （1）观察猜想图 1 中，线段 PM 与 P

36、N 的数量关系是 PM=PN ，位置关系是 PMPN ； （2）探究证明把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判 断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出 PMN 面积的最大值|【分析】 （1 ）利用三角形的中位线得出 PM= CE，PN= BD，进而判断出 BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出 PMCE 得出 DPM= DCA，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出ABD ACE ，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM= BD，PN= BD ，即可得出

37、PM=PN ，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出 MN 最大时，PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得 出 MN 最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论 【解答】解：（1 ）点 P，N 是 BC ，CD 的中点， PNBD，PN= BD， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， PMCE，PM= CE， AB=AC，AD=AE ， BD=CE， PM=PN， PNBD， DPN=ADC， PMCE， DPM= DCA， BAC=90 ， ADC+ACD=90 ，|MPN=DPM +DPN= DCA +ADC=90， PMPN ， 故答案为：PM=PN，PMPN， （2）

38、由旋转知，BAD= CAE， AB=AC，AD=AE ， ABDACE （SAS ） ， ABD=ACE ，BD=CE ， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE， PM=PN， PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PMCE， DPM= DCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNC=DBC， DPN=DCB +PNC=DCB +DBC ， MPN=DPM +DPN= DCE+DCB+DBC =BCE+DBC=ACB+ACE+DBC =ACB+ABD+DBC= ACB+ABC， BAC=90 ， ACB+ABC=90， MPN=90， PMN 是等腰直角三角形，

39、|（3）如图 2 ，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形， MN 最大时，PMN 的面积最大， DEBC 且 DE 在顶点 A 上面， MN 最大=AM+AN， 连接 AM ，AN ， 在ADE 中，AD=AE=4 ，DAE=90 ， AM=2 ， 在 RtABC 中，AB=AC=10，AN=5 ， MN 最大 =2 +5 =7 ， S PMN 最大 = PM 2 = MN 2 = （7 ） 2 = 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角 三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1） 的关键是判断出 PM= CE，PN= BD，解（

40、2）的关键是判断出ABDACE， 解（3）的关键是判断出 MN 最大时，PMN 的面积最大，是一道中考常考 题23 （11 分） （2017河南）如图，直线 y= x+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y= x 2 +bx+c 经过点 A ，B （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M （m，0 ）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N|点 M 在线段 OA 上运动，若以 B ，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M 的坐标； 点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M ，P，N 中恰

41、有一点是其它两点所连线 段的中点（三点重合除外） ，则称 M，P ，N 三点为“ 共谐点”请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值 【分析】 （1 ）把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B 点坐标，由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由 M 点坐标可表示 P、N 的坐标，从而可表示出 MA、MP 、PN、PB 的 长，分NBP=90和BNP=90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关 于 m 的方程，可求得 m 的值； 用 m 可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN 的中点、M 为 线段 PN 的中点或 N 为

42、线段 PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，可求得 m 的值 【解答】解： （1）y= x+c 与 x 轴交于点 A （3，0） ，与 y 轴交于点 B， 0= 2+c，解得 c=2， B（0，2） ， 抛物线 y= x 2 +bx+c 经过点 A，B ， ，解得 ，|抛物线解析式为 y= x 2 + x+2 ； （2）由（1）可知直线解析式为 y= x+2 ， M（m，0 ）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物 线分别交于点 P，N， P（m， m+2 ） ，N （m， m 2 + m+2） ， PM= m+2，AM=3m，PN= m 2 + m+2

43、（ m+2）= m 2 +4m， BPN 和APM 相似，且BPN=APM ， BNP= AMP=90或NBP=AMP=90， 当BNP=90时，则有 BN MN， BN=OM=m ， = ，即 = ，解得 m=0 （舍去）或 m=2.5， M（2.5，0 ） ； 当NBP=90时，则有 = ， A （3 ，0 ） ，B（0，2 ） ，P （m， m+2） ， BP= = m ，AP= = （3m） ， = ，解得 m=0 （舍去）或 m= ， M（ ，0 ） ； 综上可知当以 B ，P ，N 为顶点的三角形与APM 相似时，点 M 的坐标为 （2.5，0 ）或（ ，0） ； 由可知 M（m，

44、0 ） ，P（m， m+2） ，N（m， m 2 + m+2） ，|M，P，N 三点为“共谐点”， 有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点， 当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（ m+2）= m 2 + m+2，解得 m=3（三点 重合，舍去）或 m= ； 当 M 为线段 PN 的中点时，则有 m+2+（ m 2 + m+2）=0 ，解得 m=3（舍去） 或 m=1； 当 N 为线段 PM 的中点时，则有 m+2=2（ m 2 + m+2） ，解得 m=3（舍去） 或 m= ； 综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为 或1 或 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相 似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等 知识在（1 ）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用相似三角形的性质 得到关于 m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）中利用“共谐点” 的定义得到 m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多， 综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大