《2017届广州市普通高中毕业班综合测试检查(一)(理数)试题~及内容答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届广州市普通高中毕业班综合测试检查(一)(理数)试题~及内容答案.doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、|2017 届广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 本试卷共 4 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数
2、 2 2 1 i 1 i 的共轭复数是（A）1 i （B）1 i （C ） 1 i （D） 1 i （2）若集合 1 M x x ， 2 , 1 N y y x x ，则（A）M N （B）M N （C）N M （D ）M N （3）已知等比数列 n a 的各项都为正数, 且 3 5 4 1 2 a , a ,a 成等差数列, 则 3 5 4 6 a a a a 的值是（A） 5 1 2 （B ） 5 1 2 （C） 3 5 2 （D ） 3 5 2 （4）阅读如图的程序框图. 若输入 5 n , 则输出k 的值为（A） 2 （B）3 （C） 4 （D）5 （5）已知双曲线C 2 2 2 :
3、1 4 x y a 的一条渐近线方程为 2 3 0 x y , 1 F , 2 F 分别是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且 1 7 PF , 则 2 PF 等于 （A）1 （B ）13 （C） 4 或10 （D）1 或13|（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图, 且该几何体的体积为 8 3 , 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来
4、的概率为 （A） 1 2（B ） 15 32（C ） 11 32（D） 5 16 （8）已知 1 F , 2 F 分别是椭圆C 2 2 2 2 : 1 0 x y a b a b 的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P使 1 2 FPF 为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是 （A） 2 ,1 2 （B ） 1 ,1 2 （C） 2 0, 2 （D） 1 0, 2 （9）已知 : 0, 1 x p x e ax 成立, : q 函数 1 x f x a 在 R 上是减函数, 则 p 是 q 的 （A）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）
5、九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将 四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 P ABC 为鳖臑, PA 平面 ABC , 2 PA AB ， 4 AC , 三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为 （A）8 （B）12 （C） 20 （D ） 24 （11）若直线 1 y 与函数 2sin 2 f x x 的图象相交于点 1 1 , P x y ， 2 2 , Q x y ，且 1 2 x x 2 3 ，则线段PQ 与函数 f x 的图象所围成的图形面积是 （A） 2 3 3 （B） 3 3 （C） 2 3 2 3 （D
6、） 3 2 3 |PCBA （12）已知函数 3 2 3 3 1 2 4 8 f x x x x , 则 2016 1 2017 k k f 的值为 （A） 0 （B）504 （C）1008 （D） 2016 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。 （13）已知 1, 2 a b ，且a ( ) a b ，则向量a 与向量b 的夹角是 . （14） 3 n x 的展开式中各项系数和为 64 ，则 3 x 的系数为 .（用数字填写答案） （15）已知函数 1 2
7、2 , 0, 1 log , 0, x x f x x x 若 2 f a , 则实数a 的取值范围是 . （16）设 n S 为数列 n a 的前n 项和, 已知 1 2 a , 对任意 , p q N * , 都有 p q p q a a a ，则 60 ( 1 n S f n n n N * )的最小值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分）如图, 在ABC 中, 点P 在BC 边上, 60 , 2, 4 PAC PC AP AC .() 求 ACP ;() 若APB 的面积是 3 3 2 , 求sin BAP . （18） （本小
8、题满分 12 分） 近年来，我国电子商务蓬勃发展. 2016 年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达 516 亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系 统. 从该评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率 为 0.6，对服务的满意率为 0.75，其中对商品和服务都满意的交易为 80 次.() 根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？() 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务都满 对服务满意 对服务不满意 合计 对商
9、品满意 80 对商品不满意 合计 200|EDCBAEDCBA意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX . 附： 2 K 2 n ad bc a b c d a c b d （其中n a b c d 为样本容量） （19） （本小题 满分 12 分） 如图 1，在直角梯形ABCD 中，AD /BC ，AB BC ，BD DC , 点E 是BC 边 的 中点, 将ABD 沿BD 折起，使平面ABD 平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到 如 图 2 所示的几何体.() 求证：AB 平面ADC ； () 若 1 AD ，二面角C AB D 的平面角的正切值为 6 ，求二面角
10、B AD E 的余弦值.图 1 图 2 （20） （本小题满分 12 分）过点 , 2 P a 作抛物线 2 : 4 C x y 的两条切线, 切点分别为 1 1 , A x y , 2 2 , B x y .() 证明:1 2 1 2 x x y y 为定值; () 记PAB 的外接圆的圆心为点M , 点F 是抛物线C 的焦点, 对任意实数a , 试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ? 并说明理由. （21） （本小题满分 12 分）已知函数 ln 0 a f x x a x .() 若函数 f x 有零点, 求实数a 的取值范围;() 证明:当a 2 e ， 1 b 时, 1 ln f
11、b b .请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 2 P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635|PCBA 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 3 , ( 1 , x t t y t 为参数 ) . 在以坐标原点为极 点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 : 2 2 cos . 4 C () 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; () 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. （23
12、） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 1 2 f x x a x a . () 若 1 3 f ，求实数a 的取值范围; () 若 1, a x R , 求证： 2 f x . 数学（理科）参考答案 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确
13、做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D （7）C （8）A （9）B （10）C （11 ）A （12）B 二、填空题（13） 4 （14） 540 （15） 1 , 8, 2 （16） 29 2 三、解答题 (17) 解: () 在APC 中, 因为 60 , 2, 4 PAC PC AP AC ,由余弦定理得 2 2 2 2 cos PC AP AC AP AC PAC , 1 分所以 2 2 2 2 4 2 4 cos 60 AP AP AP AP ,整理得 2 4 4 0 AP AP , 2 分解得
14、 2 AP . 3 分所以 2 AC . 4 分|DPCBA所以APC 是等边三角形. 5 分所以 60 . ACP 6 分 () 法 1: 由于 APB 是APC 的外角, 所以 120 APB . 7 分因为APB 的面积是 3 3 2 , 所以 1 3 3 sin 2 2 AP PB APB .8 分所以 3 PB . 9 分在APB 中, 2 2 2 2 cos AB AP PB AP PB APB 2 2 2 3 2 2 3 cos120 19 , 所以 19 AB . 10 分在APB 中, 由正弦定理得 sin sin AB PB APB BAP , 11 分所以sin BAP
15、3sin120 19 3 57 38 .12 分 法 2: 作AD BC , 垂足为D ,因为APC 是边长为 2 的等边三角形, 所以 1, 3, 30 PD AD PAD . 7 分因为APB 的面积是 3 3 2 , 所以 1 3 3 2 2 AD PB . 8 分所以 3 PB . 9 分所以 4 BD .在 Rt ADB 中, 2 2 19 AB BD AD , 10 分 所以 4 sin 19 BD BAD AB , 3 cos 19 AD BAD AB . 所以 sin sin 30 BAP BAD sin cos30 cos sin 30 BAD BAD 11 分 4 3 3
16、1 2 2 19 19 3 57 38 . 12 分|（18）解： ()2 2 列联表： 对服务满意 对服务不满意 合计 对商品满意 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 2002 分 2 2 200 80 10 40 70 11.111, 150 50 120 80 K 3 分因为 11.111 6.635 ， 所以能有 99% 的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. 4 分 () 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为 2 5 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3 6 分 3 2 1 3 3 27 2 3 54 0 ; 1 ; 5 125
17、 5 5 125 P X P X C 2 1 2 3 2 3 36 2 = 5 5 125 P X C ； 3 0 3 3 2 3 8 3 = 5 5 125 P X C . 10 分X 的分布列为： 11 分 所以 27 54 36 8 6 0 1 2 3 125 125 125 125 5 EX . 12 分 或者:由于 ，则 2 6 3 5 5 EX . 12 分 5 2 , 3 B X (19) 解： () 因为平面ABD 平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD ，又BD DC ，所以DC 平面ABD . 1 分因为AB 平面ABD ，所以DC AB . 2 分 X 0 1 2 3
18、 P 27 125 54 125 36 125 8 125|zyxEDCBA又因为折叠前后均有AD AB ，DC AD D , 3 分 所以AB 平面ADC . 4 分() 由（）知AB 平面ADC ，所以二面角C AB D 的平面角为CAD . 5 分 又DC 平面ABD ，AD 平面ABD ，所以DC AD . 依题意 6 tan AD CD CAD . 6 分 因为 1 AD ，所以 6 CD . 设 0 AB x x ，则 1 2 x BD .依题意ABD BDC ，所以 AB CD AD BD ，即 1 6 1 2 x x . 7 分解得 2 x ，故 2 2 2, 3, 3 AB
19、BD BC BD CD . 8 分 法 1：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz ，则 ) 0 , 0 , 0 ( D , ) 0 , 0 , 3 ( B , ) 0 , 6 , 0 ( C ， 3 6 , ,0 2 2 E ， 3 6 ,0, 3 3 A ， 所以 3 6 , ,0 2 2 DE ， 3 6 ,0, 3 3 DA . 由（）知平面BAD 的法向量 ) 0 , 1 , 0 ( n .9 分 设平面ADE 的法向量 ) , , ( z y x m 由 0, 0, m DE m DA 得 3 6 0, 2 2 3 6 0. 3 3 x y x z 令 6 x ，得 3, 3 y
20、z , 所以 ) 3 , 3 , 6 ( m . 10 分 所以 2 1 | | | | , cos m n m n m n . 11 分 由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角， 所以二面角B AD E 的余弦值为 1 2 . 12 分 法 2 ：因为DC 平面ABD ， 过点E 作EF /DC 交BD 于F ， 则EF 平面ABD . |GFEDCBA 因为AD 平面ABD ， 所以EF AD . 9 分 过点F 作FG AD 于G ，连接GE ， 所以AD 平面EFG ，因此AD GE . 所以二面角B AD E 的平面角为 EGF . 10 分 由平面几何知识求得 2 6 2 1
21、CD EF ， 2 2 2 1 AB FG ， 所以 2 2 2 EG EF FG . 所以 cosEGF = 2 1 EG FG . 11 分 所以二面角B AD E 的余弦值为 1 2 . 12 分 （20）解：() 法 1:由 2 4 x y ,得 2 1 4 y x ,所以 1 2 y x . 所以直线PA 的斜率为 1 1 2 x .因为点 1 1 , A x y 和 2 2 , B x y 在抛物线C 上, 所以 2 1 1 1 4 y x , 2 2 2 1 4 y x .所以直线PA 的方程为 2 1 1 1 1 1 4 2 y x x x x . 1 分因为点 , 2 P a
22、 在直线PA 上,所以 2 1 1 1 1 1 2 4 2 x x a x ,即 2 1 1 2 8 0 x ax . 2 分同理,2 2 2 2 8 0 x ax . 3 分所以 1 2 , x x 是方程 2 2 8 0 x ax 的两个根.所以 1 2 8 x x . 4 分又 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 4 4 4 16 y y x x x x , 5 分所以 1 2 1 2 4 x x y y 为定值. 6 分 法 2:设过点 , 2 P a 且与抛物线C 相切的切线方程为 2 y k x a , 1 分 由 2 2 , 4 , y k x a x y 消去y 得
23、 2 4 4 8 0 x kx ka , 由 2 16 4 4 8 0 k ak , 化简得 2 2 0 k ak . 2 分 所以 1 2 2 kk . 3 分|由 2 4 x y ,得 2 1 4 y x ,所以 1 2 y x .所以直线PA 的斜率为 1 1 1 2 k x ,直线PB 的斜率为 2 2 1 2 k x . 所以 1 2 1 2 4 x x , 即 1 2 8 x x . 4 分又 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 4 4 4 16 y y x x x x , 5 分所以 1 2 1 2 4 x x y y 为定值. 6 分 () 法 1：直线PA 的垂直
24、平分线方程为 1 1 1 2 2 2 2 y x a y x x , 7 分由于 2 1 1 1 4 y x , 2 1 1 8 2 x ax ,所以直线PA 的垂直平分线方程为 1 1 1 2 4 2 ax x a y x x . 8 分同理直线PB 的垂直平分线方程为 2 2 2 2 4 2 ax x a y x x . 9 分由解得 3 2 x a , 2 1 2 a y ,所以点 2 3 ,1 2 2 a M a . 10 分抛物线C 的焦点为 0,1 , F则 2 3 , , ,3 . 2 2 a MF a PF a 由于 2 2 3 3 0 2 2 a a MF PF ，11 分所
25、以 . MF PF 所以以PM 为直径的圆恒过点 . F12 分 另法: 以PM 为直径的圆的方程为 2 3 2 1 0. 2 2 a x a x a y y 11 分 把点 0,1 F 代入上方程,知点F 的坐标是方程的解. 所以以PM 为直径的圆恒过点 . F12 分 法 2：设点M 的坐标为 , m n ，则PAB 的外接圆方程为 2 2 2 2 2 x m y n m a n ，由于点 1 1 2 2 , , , A x y B x y 在该圆上，|则 2 2 2 2 1 1 2 x m y n m a n ， 2 2 2 2 2 2 2 x m y n m a n .两式相减得 1
26、2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 x x x x m y y y y n , 7 分由( ) 知 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 , 8, , 4 4 x x a x x y x y x ,代入上式得 3 1 2 4 4 4 2 0 x x a m a a an , 8 分当 1 2 x x 时, 得 3 8 4 2 0 a m a an , 假设以PM 为直径的圆恒过点F ,则 , MF PF 即 , 1 , 3 0 m n a A ,得 3 1 0 ma n , 9 分由解得 2 3 1 , 1 2 2 m a n a , 10 分 所以点 2 3 1 ,1 2
27、2 M a a . 11 分 当 1 2 x x 时, 则 0 a ,点 0,1 M . 所以以PM 为直径的圆恒过点 . F12 分 （21）解: ()法 1: 函数 ln a f x x x 的定义域为 0, . 由 ln a f x x x , 得 2 2 1 a x a f x x x x . 1 分因为 0 a ,则 0, x a 时, 0 f x ; , x a 时, 0 f x .所以函数 f x 在 0,a 上单调递减, 在 , a 上单调递增. 2 分当x a 时, min ln 1 f x a . 3 分当 ln 1 0 a , 即 0 a 1 e 时, 又 1 ln1 0
28、 f a a , 则函数 f x 有零点. 4 分 所以实数a 的取值范围为 1 0, e . 5 分 法 2：函数 ln a f x x x 的定义域为 0, . 由 ln 0 a f x x x , 得 ln a x x . 1 分|令 ln g x x x ，则 ln 1 g x x . 当 1 0, x e 时, 0 g x ; 当 1 , x e 时, 0 g x . 所以函数 g x 在 1 0, e 上单调递增, 在 1 , e 上单调递减. 2 分 故 1 x e 时, 函数 g x 取得最大值 1 1 1 1 ln g e e e e . 3 分 因而函数 ln a f x
29、x x 有零点, 则 1 0 a e . 4 分 所以实数a 的取值范围为 1 0, e . 5 分() 令 ln h x x x a , 则 ln 1 h x x .当 1 0 x e 时, 0 f x ;当 1 x e 时, 0 f x .所以函数 h x 在 1 0, e 上单调递减, 在 1 , e 上单调递增.当 1 x e 时, min 1 h x a e . 6 分于是,当a 2 e 时, 1 1 . h x a e e 7 分令 x x xe , 则 1 x x x x e xe e x .当 0 1 x 时, 0 f x ;当 1 x 时, 0 f x .所以函数 x 在 0
30、,1 上单调递增, 在 1, 上单调递减.当 1 x 时, max 1 x e . 8 分于是, 当 0 x 时, 1 . x e 9 分显然, 不等式、中的等号不能同时成立.故当 0, x 2 a e 时, ln x x x a xe . 10 分因为 1, b 所以 ln 0 b .所以 ln ln ln ln ln b b b a b e . 11 分|所以 1 ln ln ln a b b b , 即 1 ln f b b . 12 分 （22）解：() 由 3 , 1 , x t y t消去t 得 4 0 x y , 1 分所以直线l 的普通方程为 4 0 x y . 2 分由 2
31、2 cos 4 2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin 4 4 , 3 分得 2 2 cos 2 sin . 4 分将 2 2 2 , cos , sin x y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为 2 2 2 2 x y x y , 即 2 2 1 1 2 x y . 5 分() 法 1: 设曲线C 上的点为 1 2 cos ,1 2 sin P , 6 分 则点P 到直线l 的距离为 1 2 cos 1 2 sin 4 2 d 7 分 2 sin cos 2 2 2sin 2 4 . 2 8 分当 sin 1 4 时, max 2 2 d , 9 分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 2 2 .10 分 法 2: 设与直线l 平行的直线为 : 0 l x y b , 6 分当直线l 与圆C 相切时, 得 1 1 2 2 b , 7 分解得 0 b 或 4 b ( 舍去),所以直线l 的方程为 0 x y . 8 分