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1、勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸2019 年中考数学专题复习 与圆有关的计算 命题点 1 扇形弧长、面积的计算 1(2013河北 T143 分)如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，C30，CD2 3.则 S阴影(D)A B2 3 2(2014河北 T193 分)如图，将长为 8 cm 的铁丝首尾相接围成半径为 2 cm 的扇形则 S扇形4cm2.命题点 2 正多边形与圆 3(2014河北 T153 分)如图，边长为 a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S阴影S空白(C)A3 B4 C5 D6 重难点 1 弧长的计算 如图，ABC 是正三角
2、形，曲线 CDEFG叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧 (1)图中已经有 4 段圆弧，请接着画出第 5 段圆弧 GH；(2)设 ABC 的边长为 a，则第 1 段弧的长是2a3；第 5 段弧的长是10a3；前 5 段弧长的和(即曲线 CDEFGH 的长)是 10a；(3)类似地有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”，边长为 a 的正方形的渐开线的前 5 段弧长的和是15a2；(4)猜想：老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备边长为 a 的正 n 边形的前 5 段弧长的和是30an；边长为 a 的正 n 边形的前 m 段弧长的和是m
3、（m1）an【思路点拨】(1)以点 B 为圆心，BG 长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算但要先确定弧所对的圆心角都是 120 度，半径却在不断地增大，第 1 段弧的半径是 a，第 2 段弧的半径是 2a，第 3 段弧的半径是 3a，依此下去第 5 段弧的半径是 5a，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正 n 边形的性质解决【变式训练 1】(2018淄博)如图，O 的直径 AB6.若 BAC50，则劣弧 AC 的长为(D)A2 【变式训练 2】(201
4、8廊坊模拟)如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是 6(结果保留)方法指导 1求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可 2同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长 模型建立 边长为 a 的正 n 边形的渐开线第 m 段弧长为2man.重难点 2 扇形面积的有关计算 如图 1，直径 AB 为 6 的半圆，绕点 A 逆时针旋转 60，此时点 B 到达点 B，求圆中阴影部分的面积 以家为家，以乡为乡，以国为国，以
5、天下为天下。管子牧民人不知而不愠，不亦君子乎？论语图 1 图 2 图 3【变式 1】(2018大庆)如图 2，在 Rt ABC 中，ACB90，ACBC2，将 Rt ABC 绕点 A 逆时针旋转 30后得到 Rt ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为23【变式 2】如图 3，在 Rt ABC 中，ACB90，AC1，ABC30，将 Rt ABC 绕 A 点逆时针旋转 30后得到 Rt ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积是13【变式 3】如图 4，在 ABC 中，AB6，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转 60后得到 DBE，点 A 经过的路径为弧
6、AD，则图中阴影部分的面积是 6 图 4 图 5【变式 4】如图 5，在 Rt ABC 中，ACB90，BC1，将 Rt ABC 绕点 C 顺时针旋转 60，此时点 B 恰好在 DE 上，其中点 A 经过的路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是234(注：所有小题结果保留)【思路点拨】阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB 为半径的扇形面积；只有变式 4 阴影部分的面积是 S扇形ACDS BCE.【自主解答】解：ABAB6，BAB60，S阴影S扇形BABS半圆OS半圆OS扇形BAB60360626.方法指导 在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：(1)弓形或弓形的一部分可转化
7、成扇形减去三角形的面积；(2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；(3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积 重难点 3 正多边形和圆 (2017河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形若阴影部分的周长为 10，则这个图形的外轮廓线的周长为(A)一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸A18 B18 3 C22 D22 3【思路点拨】从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的 2 倍 提示：设正六边形的边长为 a，则正方形
8、的边长为 2a，由题意，得 5a10，解得 a2.则外轮廓线的周长为 3a2a39a18.【变式训练 3】(2017河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心 O.若 BOC 是正 n 边形的一个外角，则 n的值为(C)A8 B10 C12 D16 【变式训练 4】(2018石家庄二模)正六边形 ABCDEF 与正三角形 ACG 按如图所示位置摆放，在六边形 AGCDEF 中，S阴影S空白的值是(D)方法指导 1熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系 2正 n 边形的中心角与每一个外角相等，都等于360n(n3)3研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法 注：正
9、多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形 1(2018盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB)，则AB的展直长度为(B)A3 m B6 m C9 m D12 m 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行 2(2018成都)如图，在ABCD 中，B60，C 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是(C)A B2 C3 D6 3(2018德州)如图，从一块直径为 2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，则此扇形的面积为(A)m2 m2 C m2 D2 m2 4
10、(2018河北模拟)如图，分别把正六边形边 AB，EF，CD 向两个方向延长，相交于点 M，N，Q，则阴影部分与空白部分的面积比为(A)5(2018河北模拟)如图，六边形 ABCDEF 和六边形 MNPQGH 都是正六边形若 AB10，则 MN 的值可能是(D)B5 C5 2 D5 3 6(2018株洲)如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是O 的内接多边形，则 BOM48 常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖 7(2018石家庄藁城区模拟)如图，M，N 分别是正五边形 ABCDE 的边 AB，AE 的中点，四
11、边形 MNHG 是位于该正五边形内的正方形，则 BMH 的度数是 99 8(2018盐城)如图，图 1 是由若干个相同的图形(图 2)组成的美丽图案的一部分，图 2 中图形的相关数据：半径 OA2 cm，AOB120.则图 2 的图形周长为83cm(结果保留)9(2018河南)如图，在 ABC 中，ACB90，ACBC2，将 ABC 绕 AC 的中点 D 逆时针旋转 90得到 ABC，其中点 B 的运动路径为BB，则图中阴影部分的面积为5432 10(2018邢台宁晋县模拟)如图，半圆 O 的直径 AB4，P，Q 是半圆 O 上的点，弦 PQ 的长为 2，则AP与QB的长度之和为(B)D 提示
12、：连接 OP，OQ，易知 OPQ 为等边三角形，lAPlQB120180243.勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹 11(2018威海)如图，在正方形 ABCD 中，AB12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连接 AF，EF，则图中阴影部分的面积是(C)A1836 B2418 C1818 D1218 提示：作 FHBC 交 BC 延长线于点 H，连接 AE，S阴影S正方形ABCDS半圆S ABES AEF1212126212126126 56 51818.12(2018河北模拟)如图，点 P 是O 外一点，
13、PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接 OP，过点 B 作 BC OP交O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D.(1)求证：PC 是O 的切线；(2)若 PD163 cm，AC8 cm，则图中阴影部分的面积为25482 cm2；(3)在(2)的条件下，若点 E 是AB的中点，连接 CE，求 CE 的长 解：(1)证明：连接 OC，PA 切O 于点 A，PAO90.OP BC，AOP OBC，COP OCB.海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫 OCOB，OBC OCB.AOP COP.在 PAO 和 PCO 中，OAOC，AOP C
14、OP，OPOP，PAO PCO(SAS)PAO PCO90.又 OC 是O 的半径，PC 是O 的切线(3)连接 AE，BE，过点 B 作 BMCE 于点 M，CMB EMB90，AEB90.又 点 E 是AB的中点，AEBE.ECB ACE12 ACB45.又 CMB90，CBM45.BMCM.在 Rt BCM 中，由勾股定理，得 CM2BM2BC2，即 CM2BM236，CMBM3 2 cm.又 ABE ACE45，在 Rt AEB 中，BEABcos ABE5 2 cm.在 Rt BEM 中，由勾股定理，得 EM BE2BM2（5 2）2（3 2）24 2(cm)，CECMEM7 2 cm，即 CE 的长为 7 2 cm.