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1、有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计 但是，在前面的探讨中我们都是基于一个假但是，在前面的探讨中我们都是基于一个假设绽开的，即在全部被考虑的对试验结果有影设绽开的，即在全部被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相互独立响的各因素之间对试验结果的影响是相互独立的，但是工程实践告知我们这种状况很少出现，的，但是工程实践告知我们这种状况很少出现，因此正交试验设计过程中考虑各因素的相互作因此正交试验设计过程中考虑各因素的相互作用将显得特殊必要，首先让我们来看个有关交用将显得特殊必要，首先让我们来看个有关交互作用的例子：互作用的例子：交互作用交互作用因素间的联合搭配对试验指标
2、产生的影因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为响作用称为交互作用，交互作用，通常将通常将A因素与因素与B因素的交互作用记作：因素的交互作用记作：AB，称为，称为1级级交互，通常的称在一次试验中同时与交互，通常的称在一次试验中同时与A因素发生交互作用的因素的个数为因素发生交互作用的因素的个数为交互交互级数级数。交互作用交互作用样本中能独立变更的数据数目。只要有n-1个数确定，第n个值就确定了，它不能自由变更。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变更的数量的多少。自由度自由度通俗点说，一个班上有通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成果平均分为个人，我们知道他们语文成
3、果平均分为80，现在只须要知道，现在只须要知道49个人的成果就能推断出剩下那个人的成果。个人的成果就能推断出剩下那个人的成果。你可以随意报出你可以随意报出49个人的成果，但是最终一个人的你不能瞎说，个人的成果，但是最终一个人的你不能瞎说，因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。2、关于自由度和正交表的选用原则、关于自由度和正交表的选用原则 选正交表必需遵循的原则：选正交表必需遵循的原则：正交表各列的水平数必需等于探讨因素的水平数正交表各列的水平数必需等于探讨因素的水平数要考察的因素及交互作用的自由度综合必需不大于所选要考察的因素及交互作用的自由度综合
4、必需不大于所选用正交表的总自由度用正交表的总自由度 dfT fA+fB+fC+fAxB+fBxC+fAxC+自由度的两条规定：自由度的两条规定：（1）正交表的总自由度）正交表的总自由度f总总 试验次数试验次数1；正交表每列；正交表每列的自由度的自由度f列此列水平数列此列水平数1（2）因素）因素A的自由度的自由度fA 因素因素A的水平数的水平数1；因素因素A、B间交互作用的自由度间交互作用的自由度fAxB fAfB如三因素四水平如三因素四水平 43 的正交试验应支配的正交试验应支配 3(4-1)+1=10次以上的试验次以上的试验.如三因素四水平如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互并包
5、括第一、二个因素的交互作用的正交试验至少应支配的试验次数为作用的正交试验至少应支配的试验次数为3(4-1)+(4-1)(4-1)+1=19.又如支配又如支配4323的混合水平的正交试验至少应支配的混合水平的正交试验至少应支配3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验次以上的试验.若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试验则至少应支配的试验次数为验则至少应支配的试验次数为3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.交互作用的处理原则交互作用的处理原则 试验设计中，交互作用一律当作因素看待，试验设计中，交互作用一律当作因素看待，
6、这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以支配在能考察交互作用的各级交互作用都可以支配在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响状正交表的相应列上，它们对试验指标的影响状况都可以分析清晰，而且计算特殊简洁。但交况都可以分析清晰，而且计算特殊简洁。但交互作用又与因素不同，表现在：互作用又与因素不同，表现在：用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；一个交互作用并不确定只占正交表的一列，而是占一个交互作用并不确定只占正交表的一列，而是占有（有（m-1m-1）p p列。表头设计时，交互
7、作用所占列数与因列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平素的水平mm有关，与交互作用级数有关，与交互作用级数p p有关。有关。2 2水平因素的各级交互作用均占水平因素的各级交互作用均占水平因素的各级交互作用均占水平因素的各级交互作用均占1 1列；对于列；对于列；对于列；对于3 3水水水水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，列，列，列，可见，可见，可见，可见，mm和和和和p p越大，交互作用所占列数越大，交互作用所占列数越大，交互作用所占列数越大，交
8、互作用所占列数越多。越多。越多。越多。例如，对一个例如，对一个例如，对一个例如，对一个2525因素试验，表头设计时，假如考因素试验，表头设计时，假如考因素试验，表头设计时，假如考因素试验，表头设计时，假如考虑全部各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占虑全部各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占虑全部各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占虑全部各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：列数为：列数为：列数为：C51+C52+C53+C54+C55 C51+C52+C53+C54+C55 5+10+10+5+15+10+10+5+13131，那么此试验必选那么此试验必选那么此试验必选那
9、么此试验必选L32L32（231231）正交表进行设计。一般）正交表进行设计。一般）正交表进行设计。一般）正交表进行设计。一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、合理地考察某些交互作用。地、合理地考察某些交互作用。地、合理地考察某些交互作用。地、合理地考察某些交互作用。综合考虑试验目的、专业学问、以往的阅历综合考虑试验目的、专业学问、以往的阅历及现有试验条件等多方面状况进行交互作用选择。及现有试验条件等多方面状况进行交互作用选择。一般原则是：一
10、般原则是：忽视高级交互作用忽视高级交互作用 有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必需考察的。用效果较明显的，或试验要求必需考察的。试验允许的条件下，试验因素尽量取试验允许的条件下，试验因素尽量取2 2水平。水平。有交互作用的试验表头设计有交互作用的试验表头设计 表头设计时，各因素及其交互作用不表头设计时，各因素及其交互作用不能随意支配，必需严格按交互作用列表进能随意支配，必需严格按交互作用列表进行支配。这是有交互作用正交试验设计的行支配。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。一个重要特点，也是关键的一
11、步。在表头设计中，为了避开混杂，那些在表头设计中，为了避开混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应当优先支配，次要因作用较多的因素，应当优先支配，次要因素，不涉及交互作用的因素后支配。素，不涉及交互作用的因素后支配。所谓混杂，就是指在正交表的同列中，支配了两个所谓混杂，就是指在正交表的同列中，支配了两个所谓混杂，就是指在正交表的同列中，支配了两个所谓混杂，就是指在正交表的同列中，支配了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一或两
12、个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。交互作用表交互作用表 下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表 L8（27）所）所对应的交互作用表。对应的交互作用表。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)列号（列号（）列号列号正交表自由度的确定：正交表自由度的确定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列
13、列水平数水平数1（2）两因素交互作用的自由度）两因素交互作用的自由度 fABfAfB （两因素自由度的乘积）（两因素自由度的乘积）对对2因素因素2水平的正交表，因为：水平的正交表，因为：fAfB 21，每列只有一个自由度；而每列只有一个自由度；而fABfAfB 111，所，所以也占一列。以也占一列。对对于于2 因因素素3水水平平，fAfB 312，每每列列有有2个个自自由由度度；而而fABfAfB 224，由由于于交交互互作作用用列列有有4个个自自由由度度，而而每每列列是是2个个自自由由度度，因因此此2个个3水水平平因因素素的的交交互互作作用用列列占占2 列列。对对于于2因因素素n水水平平，f
14、AfB n1，每每列列有有n个个自自由度；由度；而而两两因因素素交交互互作作用用的的自自由由度度为为：fABfAfB（n1）（n1），所以交互作用列要占（），所以交互作用列要占（n1）列。）列。表头设计假如将A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将A与B的交互作用AB放在第3列。这样第3列不能再支配其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表可知，BC应放在第6列，余下列为空列，如此可得表头设计。列出试验方案依据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案列于表。结果分析 按表所列的试验方案进行试验
15、，其结果分析与前面并无本质区分，只是：应把互作当成因素处理进行分析；应依据互作效应，选择优化组合。5.3.2 5.3.2 数据的方差分析数据的方差分析统计模型 5.3.3 5.3.3 避开混杂现象避开混杂现象正交表的表头设计实例正交表的表头设计实例 所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在正交表中该放在哪一列的问题。在正交表中该放在哪一列的问题。1有交互作用时，表头设计则必需严格地按规定办事。有交互作用时，表头设计则必需严格地按规定办事。例例1 乙酰胺苯磺化反应试验乙酰胺苯磺化反应试验试验目的：希望提高乙酰胺苯的收率试验目的：希望提
16、高乙酰胺苯的收率因素和水平：有四个二水平的因素（见表因素和水平：有四个二水平的因素（见表1）表表1 例例1 因素和水平表因素和水平表因素因素反应温度反应温度反应时间反应时间h硫酸浓度硫酸浓度%操作方操作方法法符号符号ABCD水平水平1A1=50B1=1C1=17D1=搅拌搅拌2A2=70B2=2C2=27D2=不搅不搅拌拌 考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度与考虑到反应温度与反应时间可能会有交互作用，反应温度与硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号硫酸浓度也可能有交互作用，两者可分别用代号AB和和AC表表示。试选择合适的正交表，并进行表头设计。示。试选择合适的正交表，并进行
17、表头设计。因为因为4个因素均为个因素均为2水平，水平，2个交互作用需占个交互作用需占2列，为方差分列，为方差分析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表析应至少留一个空白列作为误差列，所以可选择正交表L8（27）此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。此处，表头设计的重点是搞清各个交互作用该放在哪一列。方法之一：运用附录方法之一：运用附录8正交表正交表L8（27）后面的）后面的“L8（27）二列）二列间交互作用表间交互作用表”(见表见表4-7)。表表2 L8(2 7)二列间交互作用表二列间交互作用表列号1234567(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1)3(2)21
18、(3)567(4)4761(5)74523(6)654321(7)因为考虑的交互作用是因为考虑的交互作用是AB和和AC，所以宜先考虑，所以宜先考虑A、B、C及其交互作用的支配，暂不考虑及其交互作用的支配，暂不考虑D的支配。的支配。表表3是本例题表头设计的结果。是本例题表头设计的结果。其中其中方案方案1的思路为：的思路为：先将因素先将因素A、B分别放在第分别放在第1、2列。列。第第1列和第列和第2列的交互作用列的交互作用AB该放在哪一列？在表该放在哪一列？在表2所示的所示的L8（27）二列间交互作用表中，从最左边的列号二列间交互作用表中，从最左边的列号“（1）”向右画水平线，向右画水平线，从最上
19、面的列号从最上面的列号“2”向下画垂直线，所画两直线交点处的向下画垂直线，所画两直线交点处的“3”就是交互作用就是交互作用AB的列号。的列号。将因素将因素C放在第放在第4列。列。第第1列和列和第第4列的交互作用列的交互作用AC该放在哪一列？由该放在哪一列？由L8(27）二列间交互作用表）二列间交互作用表知，知，AC应放在第应放在第5列。列。因素因素D该放在哪一列？因为无与该放在哪一列？因为无与D有有关的交互作用，故放在第关的交互作用，故放在第6或第或第7列均可。列均可。方案方案2的思路为：的思路为：将将A、B分别放在第分别放在第7、6列。列。由由L8（27）二列间交互作用表知第）二列间交互作用
20、表知第6、7的交互作用的交互作用AB应放在第应放在第1列。列。将将C放在第放在第5列。列。将第将第5、7列的交互作用列的交互作用AC放在第放在第2列。列。将将D放在第放在第4列或第列或第3列均可。列均可。表表4 例例1 的表头设计结果的表头设计结果第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列方案1ABABCACD误差方案2ABAC误差DCBA2 若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是随意的。例如：在若试验不考虑交互作用，则表头设计可以是随意的。例如：在例例4-1中，对中，对L9（34）的表头设计，表）的表头设计，表5所列的各种方案都是可用的。所列的各种方案都是可用的。表表5 L9（34）表头设计
21、方案）表头设计方案列号1234方案1ABC空2空ABC3C空AB4BC空A例子选择正交表的基本原则选择正交表的基本原则 一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多支配几个水平，次要因素可少支配几个水平。支配几个水平，次要因素可少支配几个水平。在选择在选择L表时：表时：1先看水平数。若各因素全是先看水平数。若各因素全是2水平，就选水平，就选L*（2*）表；）表；若各因素全是三水平，就选若各因素全是三水平，就选L*（3*）表。若各因素的水）表。若各因素的水
22、平数不相同，就选择适用的混合水平表。平数不相同，就选择适用的混合水平表。2每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回来分析，和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回来分析，还必需至少留一个空白列，作为还必需至少留一个空白列，作为“误差误差”列，在极差分析列，在极差分析中可作为中可作为“其它因素其它因素”列处理。列处理。3要看试验精度的要求。若要求高，则宜取试验次数要看试验精度的要求。若要求高，则宜取试验次数多的
23、多的L表。表。4若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较惊惶，则不宜选试验次数太多人力和时间都比较惊惶，则不宜选试验次数太多的的L表。表。5在按原考虑的因素、水平和交互作用去选择正在按原考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，无正好适用的正交表可选时，简便且可行交表，无正好适用的正交表可选时，简便且可行的方法是适当修改原定的水平数。的方法是适当修改原定的水平数。6在某因素或某交互作用的影响是否的确存在没在某因素或某交互作用的影响是否的确存在没有把握的状况下，选择有把握的状况下，选择L表时常为该选大表还是选表时常为该选大表还是选小表而迟疑。若条件许可小表而迟疑。若条件许可,应尽量选用大表，让影应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析做显著性检验时再做结论。这样可留到方差分析做显著性检验时再做结论。这样可以削减试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。以削减试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。