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1、数 学 建 模 教 学 片主要内容 第十六章第十六章 随机性决策分析随机性决策分析方法方法32022年10月31日 随机性决策问题的基本概念；随机性决策问题的基本概念；效用函数的概念；效用函数的概念；效用与风险的关系效用与风险的关系；随机优势与效用函数的关系；随机优势与效用函数的关系；案例分析：彩票中的数学问题。案例分析：彩票中的数学问题。一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学42022年10月31日 彩票中的数学知多少？彩票中的数学知多少？你们了解彩票吗？你们了解彩票吗？你们买过彩票吗？你们买过彩票吗？你们了解彩票的规你们了解彩票的规则吗？则吗？No,I dont know!请问几
2、个问题：请问几个问题：（1 1）博彩有规律可寻吗？）博彩有规律可寻吗？（2 2）现行的各种彩票方案中奖的可）现行的各种彩票方案中奖的可能性有多大？能性有多大？（3 3）现行的彩票方案合理吗？哪种）现行的彩票方案合理吗？哪种方案方案“好好”？（4 4）我们应当如何看待彩票？中国）我们应当如何看待彩票？中国的彩票业还有多大的发展空间？的彩票业还有多大的发展空间？我想应当有我想应当有规律吧！规律吧！啊！有这么悬啊！有这么悬乎吗乎吗？52022年10月31日 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学 “彩票中的数学彩票中的数学”问题（问题（CUMCM2002-BCUMCM2002-B）近年来近
3、年来“彩票飓风彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到多的人加入到“彩民彩民”的行列，目前流行的彩票主要有的行列，目前流行的彩票主要有“传传统型统型”和和“乐透型乐透型”两种类型。两种类型。“传统型传统型”接受接受“10选选6+1”方案：方案：中中 奖奖等等 级级10 选选 6+1（6+1/10）基基 本本 号号 码码 特别号码特别号码说说 明明一等奖一等奖abcdef gabcdef g选选7中中（6+1）二等奖二等奖abcdefabcdef 选选7中（中（6）三等奖三等奖abcdeX XbcdefabcdeX Xbcdef 选选7中（中（5）四等奖
4、四等奖abcdXX XbcdeX XXcdefabcdXX XbcdeX XXcdef选选7中（中（4）五等奖五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选选7中（中（3）六等奖六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选选7中（中（2）62022年10月31日 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学 “彩票中的数学彩票中的数学”问题（问题（CUMCM2002-BCUMCM2002-B）“乐透型乐透型”有多种
5、不同的形式，比如有多种不同的形式，比如“33选选7”的方案和的方案和“36选选6+1”的方案，的方案，中中 奖奖等等 级级33 选选 7（7/33）36 选选 6+1（6+1/36）基本号码基本号码 特别号码特别号码说说 明明基基 本本 号号 码码 特特别别号号码码说说 明明一等奖一等奖 选选7中（中（7）选选7中（中（6+1）二等奖二等奖 选选7中（中（6+1）选选7中（中（6）三等奖三等奖选选7中（中（6）选选7中（中（5+1）四等奖四等奖 选选7中（中（5+1）选选7中（中（5）五等奖五等奖选选7中（中（5）选选7中（中（4+1）六等奖六等奖 选选7中（中（4+1）选选7中（中（4）七等
6、奖七等奖选选7中（中（4）选选7中（中（3+1）72022年10月31日 一、问题的引入彩票与数学一、问题的引入彩票与数学“彩票中的数学彩票中的数学”问题（问题（CUMCM2002-BCUMCM2002-B）要解决的问题：要解决的问题：（1）依据这些方案的具体状况，综合分析各种奖项）依据这些方案的具体状况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种）设计一种“更好更好”的方案及相应的算法，并据的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。此给彩票管理部
7、门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。）给报纸写一篇短文，供彩民参考。82022年10月31日 二二.随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念 随机性决策问题包含两个方面：决策人所实行的行动方案(决策);问题的自然状态(状态)；基本特点：后果的不确定性和后果的效用。后果的不确定性：后果的不确定性：由问题的随机性，使问题会出由问题的随机性，使问题会出现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出现后果的不确定性。现后果的不确定性。后果的效用：后果的效用：后果价值的量化。由后果的不确定后果价值的量化。由后果的不确定性，对于不同决策后果的效用是不同的。
8、性，对于不同决策后果的效用是不同的。92022年10月31日 1、主观概率主观概率 二二.随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念 随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只能由能由决策人主观地做出估计决策人主观地做出估计，称其为，称其为主观概率主观概率。主观概率遵循客观概率应当遵循的假设、公理、性质等，客观概率的全部逻辑推理方法均适用于主观概率。设定主观概率的方法设定主观概率的方法
9、：主观先验分布法、无信息：主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等。先验分布法等。102022年10月31日 2、随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数 二二.随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念112022年10月31日 2、随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数122022年10月31日 效用函数的定义：效用函数的定义：2、随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数132022年10月31日 2、随机性决策的效用函数随机性决策的效用函数142022年10月31日 2、随机性决策的效用函数随机性决策的
10、效用函数152022年10月31日 实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险并存。不同的决策人对待风险的看法可分为厌恶型、中立并存。不同的决策人对待风险的看法可分为厌恶型、中立型和喜好型。型和喜好型。3、效用与风险的关系、效用与风险的关系 二二.随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念问题：决策人对待这一风险的看法是什么呢？问题：决策人对待这一风险的看法是什么呢？162022年10月31日 3 3、效用与风险的关系、效用与风险的关系 厌恶型厌恶型:决策人认为冒此风险的期望盈利只决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利。等价于
11、比它低的不冒风险的盈利。喜好型喜好型:对待风险的看法与厌恶型相反的。对待风险的看法与厌恶型相反的。中立型：介于二者之间的，即决策人认为中立型：介于二者之间的，即决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利这和不冒任何风险的另一行为盈利a元等价。元等价。这三种不同的看法可以反映在效用函数上就是这三种不同的看法可以反映在效用函数上就是凹函数，线性函数和凸函数。凹函数，线性函数和凸函数。172022年10月31日 3 3、效用与风险的关系、效用与风险的关系182022年10月31日 实际中，有的效用函数曲线呈实际中，有的效用函数曲线呈S S型型，即在后果的范，即在后果的范围内，决策人会从厌恶风险变为喜好
12、风险。围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。3 3、效用与风险的关系、效用与风险的关系 (1)反映了决策人的财产从小到大，对待风险的看法从喜反映了决策人的财产从小到大，对待风险的看法从喜好到厌恶的变更。好到厌恶的变更。(2)反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险的看法从喜好到厌恶的变更。的看法从喜好到厌恶的变更。192022年10月31日 4 4 4 4、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系 二二.随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念202022年10月31日4 4、损失
13、函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系212022年10月31日 5、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 二二.随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念 随机优势法随机优势法:在有价证券问题的探讨中常用的在有价证券问题的探讨中常用的一种在确定风险的状况下确定决策的方法。一种在确定风险的状况下确定决策的方法。随机优势法常用的效用函数有三种：随机优势法常用的效用函数有三种：222022年10月31日 5、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的效用函数（）递增的效用函数 232022年10月31日 5、随机优势与效用函数随机优势
14、与效用函数 （）递增的效用函数（）递增的效用函数 这种类型的效用函数仅能反映出财宝与风险的关系，这种类型的效用函数仅能反映出财宝与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的看法。但不能反映出决策人对待风险的看法。242022年10月31日 5、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的凹效用函数（）递增的凹效用函数 252022年10月31日 5、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 （）递增的凹效用函数（）递增的凹效用函数 事实上，可以证明：事实上，可以证明：（3）递减的厌恶风险的效用函数）递减的厌恶风险的效用函数262022年10月31日 5、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 27
15、2022年10月31日 （3）递减的厌恶风险的效用函数）递减的厌恶风险的效用函数 5、随机优势与效用函数随机优势与效用函数 282022年10月31日 1、问题的提出、问题的提出三、案例分析：彩票中的数学问题三、案例分析：彩票中的数学问题要解决的问题：要解决的问题：（1）依据所给方案的具体状况，综合分析各种奖项）依据所给方案的具体状况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种）设计一种“更好更好”的方案及相应的算法，并据的方案及相应的算法，并据此给彩票管
16、理部门提出建议。此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。）给报纸写一篇短文，供彩民参考。292022年10月31日 、问题的分析、问题的分析三、案例分析：彩票中的数学问题三、案例分析：彩票中的数学问题评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司接受什么样的方案才能吸引广袤的彩民主动踊跃购买彩票？302022年10月31日 问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多问题涉及到一个方案的设置
17、使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力有产生确定的等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力有产生确定的影响，在这里可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民影响，在这里可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。的吸引力。另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，要考查一个方案的合理性问题，须要综合考虑为此，要考查一个方案
18、的合理性问题，须要综合考虑以上这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。以上这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。2、问题的分析、问题的分析312022年10月31日 、模型的建立与求解、模型的建立与求解三、案例分析：彩票中的数学问题三、案例分析：彩票中的数学问题问题（一）：依据所给方案的具体状况，综合分析各问题（一）：依据所给方案的具体状况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（1 1）彩民获各项奖的概率）彩民获各项奖的概率322022年10月31日 3、
19、模型的建立与求解、模型的建立与求解（2 2）综合评价各种方案的合理性）综合评价各种方案的合理性332022年10月31日 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解342022年10月31日 综合（综合（1)1)和（和（2 2）式，利）式，利用用MatlabMatlab编程计算出编程计算出2929种方种方案的合理性指标值及高项奖案的合理性指标值及高项奖的期望值，排在前三位的如的期望值，排在前三位的如下表：下表：指 标方 案排 序97/304.00910-71.0861062067914101117/313.78410-71.704106324482116257/293.63710-77.5571053598417143 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解352022年10月31日 问题（问题（2）设计一种更好的方案设计一种更好的方案 3、模型的建立与求解、模型的建立与求解362022年10月31日 问题（问题（2）设计一种更好的方案）设计一种更好的方案372022年10月31日 问题（问题（2）设计一种更好的方案）设计一种更好的方案