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1、自动控制原理第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 7-1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念7-2 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持7-3 z7-3 z变换理论变换理论7-4 7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型7-5 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差7-6 7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析7-7 7-7 离散系统的数字校正离散系统的数字校正自动控制原理7-1 离散系统的基本概念信号的分类信号的分类模拟信号：时间上连续，幅值上也连续的信号模拟信号：时间上连续，幅值上也连续的信号连续信号：时间上连续，幅值可连续可离散。连续信号：
2、时间上连续，幅值可连续可离散。离散信号：时间离散，幅值连续的信号离散信号：时间离散，幅值连续的信号数字信号：时间上离散，幅值整量化的信号数字信号：时间上离散，幅值整量化的信号采样：采样：将模拟信号按确定时间采样成离散信号的过程。将模拟信号按确定时间采样成离散信号的过程。量化：量化：将采样后的数据用一组数码来表示，将其转化成最小单位将采样后的数据用一组数码来表示，将其转化成最小单位整数倍的过程。整数倍的过程。自动控制原理tu012345678954321模拟量t0123456789u54321离散量数字量t0123456789u54321采采 样样量量 化化脉冲序列脉冲序列数字序列数字序列自动控
3、制原理自动限制系统按其包含的信号形式通常可划分成一下几种自动限制系统按其包含的信号形式通常可划分成一下几种类型：类型：连续限制系统：连续信号连续限制系统：连续信号离散限制系统离散限制系统采样限制系统或脉冲限制系统：采样限制系统或脉冲限制系统：连续信号连续信号+离散信号离散信号数字限制系统或计算机限制系统：数字限制系统或计算机限制系统：连续信号连续信号+数字信号数字信号自动控制原理1.1.采样限制系统或脉冲限制系统采样限制系统或脉冲限制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）离散信号是脉冲序列（时间上离散）图图7-1 炉温采样炉温采样限制系统原理图限制系统原理图每隔时间每隔时间T凸轮使指针凸轮使指针
4、接触电位器一次，每次接触电位器一次，每次接触时间为接触时间为。则。则T为为采样周期，采样周期，为采样持为采样持续时间。续时间。限制器限制器测量变换测量变换执行器执行器自动控制原理采样系统典型结构图采样系统典型结构图连续量连续量连续量连续量离散量离散量将连续量变为离散量：采样器将离散量变为连续量：保持器离散量离散量连续量连续量自动控制原理几个概念几个概念（1）开环采样系统：采样开环位于闭合回路之外，或系统本身不存在闭合回路。（2）闭环采样系统：采样开环位于闭合回路之内。最常见的是误差采样闭环限制系统。（3）线性采样开关：e*(t)和e(t)的幅值具有线性关系。（4）线性采样系统：采样开关和其余部
5、分的传递函数都具有线性特性的系统。自动控制原理2.2.数字限制系统或计算机限制系统数字限制系统或计算机限制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）A/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象测量元件测量元件 e*(t)数字计算机数字计算机r(t)e(t)u*(t)uh(t)c(t)_数字控制系统典型结构图数字控制系统典型结构图 A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字 信号。包括采样与量化两过程。信号。包括采样与量化两过程。D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟数模
6、转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟 信号。包括解码与复现两过程。信号。包括解码与复现两过程。自动控制原理3.离散限制系统的优点离散限制系统的优点1）数字式校正装置效果好，且由软件实现的限制规律易）数字式校正装置效果好，且由软件实现的限制规律易于变更，限制灵敏。于变更，限制灵敏。2）采样信号，特殊是数字信号的传递可以有效地抑制噪）采样信号，特殊是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗扰实力。声，从而提高了系统的抗扰实力。3）允许接受高灵敏度的限制元件，以提高系统的限制精）允许接受高灵敏度的限制元件，以提高系统的限制精度。度。4）可用一台计算机分时限制多个系统，提高设备利用率，
7、）可用一台计算机分时限制多个系统，提高设备利用率，经济性好。经济性好。5）对于具有传输延迟，特殊是大延迟的限制系统，可以）对于具有传输延迟，特殊是大延迟的限制系统，可以引入采样的方式稳定。引入采样的方式稳定。自动控制原理4.离散限制系统的探讨方法离散限制系统的探讨方法数学工具：数学工具：Z变换理论变换理论数学模型：脉冲传递函数数学模型：脉冲传递函数自动控制原理7-2 7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持自动控制原理1.采样过程采样过程志向化：采样瞬间完成 采样瞬时的脉 冲幅值等于e(t)幅值。自动控制原理采样过程的物理意义：采样过程的物理意义：采采样样过过程程可可以以看看作作是是单单位位志
8、志向向脉脉冲冲序序列列 T(t)被被输输入入信信号号e(t)进进行行幅幅值值调调制制的的过过程程，其其中中 T(t)为为载载波波信信号号，e(t)为为调调制制信信号号，采采样样开开关关为为幅幅值值调调制制器器,其其输输出出为为志志向向脉脉冲冲序序列列 e*(t)。自动控制原理2.采样过程的数学描述：采样过程的数学描述：（1）志向采样过程的数学描述）志向采样过程的数学描述自动控制原理（2 2）采样信号的拉氏变换）采样信号的拉氏变换留意：留意：由于由于 e*(t)只描述了只描述了e(t)在采样瞬时的数值，所以在采样瞬时的数值，所以E*(s)不能给出连续函数不能给出连续函数e(t)在采样间隔之间的信
9、息。在采样间隔之间的信息。自动控制原理例题：例题：设设 ，求，求 的拉氏变换。的拉氏变换。解：解：等比数列等比数列E*(s)是是eTs的有理分式。的有理分式。自动控制原理例题：例题：设设 为常数，求为常数，求 的拉氏变换的拉氏变换解：解：E*(s)是是eTs的有理分式。的有理分式。自动控制原理(3)采样信号的频谱分析采样信号的频谱分析一个周期函数可以用傅氏级数进行分解，即一个周期函数可以用傅氏级数进行分解，即傅氏级数的指数形式为：傅氏级数的指数形式为：自动控制原理单位志向脉冲序列的傅氏级数可写成：单位志向脉冲序列的傅氏级数可写成：采样信号的频率特性：采样信号的频率特性：自动控制原理n上式描述了
10、采样信号频率特性与连续信号频率特性之间的关系。连续信号的频谱h连续信号的上限频率理想化自动控制原理h-h0连续信号的频谱为连续信号的频谱为采样信号的频谱为采样信号的频谱为当当s 2h时，时，可用滤波器由可用滤波器由采样信号复现采样信号复现连续信号。连续信号。自动控制原理当当s 2h时，时，无法用滤波器复无法用滤波器复现连续信号。现连续信号。自动控制原理3.香农采样定理香农采样定理理解决的问题是：采样周期选多大，才能将采样信号较少理解决的问题是：采样周期选多大，才能将采样信号较少失真地复原为原来的连续信号。失真地复原为原来的连续信号。香农定理：假如采样器的香农定理：假如采样器的 输入信号输入信号
11、e(t)具有有限带宽，具具有有限带宽，具有最高频率为有最高频率为 的重量，要从采样信号中的重量，要从采样信号中e*(t)完全复现出完全复现出采样前的连续信号采样前的连续信号e(t)，必需满足以下条件：，必需满足以下条件：自动控制原理4.采样周期的选取采样周期的选取采样周期选得越小，限制效果越好；但计算量大，限采样周期选得越小，限制效果越好；但计算量大，限制规律的实现变得困难。采样周期选得过大，会给限制规律的实现变得困难。采样周期选得过大，会给限制过程带来较大误差。工程阅历值如下制过程带来较大误差。工程阅历值如下控制过程控制过程采样周期采样周期T/s流量流量1压力压力5液面液面5温度温度20成分
12、成分20若为随动系统，则采若为随动系统，则采样角频率可取为样角频率可取为自动控制原理5.信号保持信号保持/复现复现零阶保持器零阶保持器把前一采样时刻的采样值保持到下一个采样时把前一采样时刻的采样值保持到下一个采样时刻。即刻。即e(nT+t)=e(nT),0=tT.信号保持信号保持/复现：复现：只要采样频率足够高，自动控制原理零阶保持器的传递函数和频率特性零阶保持器的传递函数和频率特性自动控制原理零阶保持器的特性：零阶保持器的特性：（1）低通特性）低通特性（2）相角滞后特性）相角滞后特性（3）时间滞后特性）时间滞后特性自动控制原理7-3 Z 变换理论1 1、Z Z变换定义变换定义采样信号拉氏变换
13、为：采样信号拉氏变换为：令令z=eTs，则，则称称E(z)为采样信号为采样信号e*(t)的的Z变换，记做变换，记做E(z)与与E*(s)之间的关系之间的关系:自动控制原理2 2、Z Z变换方法变换方法1 1、级数求和法、级数求和法级数求和法干脆依据级数求和法干脆依据z z变换定义求取。变换定义求取。例题：例题：试求单位阶跃函数试求单位阶跃函数1(t)的的z变换变换解：解：自动控制原理例如，求例如，求e-at的的Z变换。变换。自动控制原理先将先将E(s)写成部分分式之和，再对每一部分分写成部分分式之和，再对每一部分分式求式求Z变换。变换。例 求 的Z变换。E(s)的极点=常数2 2、部分分式法、
14、部分分式法自动控制原理例 求 的Z变换。自动控制原理3 3、z z变换性质变换性质1 1、线性定理、线性定理2 2、实数位移定理、实数位移定理超前定理超前定理 滞后定理滞后定理3 3、复数位移定理、复数位移定理自动控制原理4 4、终值定理、终值定理5 5、初值定理、初值定理借助超前定理推导借助定义推导6 6、卷积定理、卷积定理自动控制原理四、四、四、四、Z Z Z Z 反变换反变换反变换反变换1 1 1 1、Z Z Z Z 反变换的定义反变换的定义反变换的定义反变换的定义由已知的由已知的由已知的由已知的 Z Z Z Z 变换变换变换变换E(z)E(z)E(z)E(z)，求相应的离散时间序列，求
15、相应的离散时间序列，求相应的离散时间序列，求相应的离散时间序列e(nT)e(nT)e(nT)e(nT)并表示为：并表示为：并表示为：并表示为：2 2 2 2、Z Z Z Z 反变换的求法反变换的求法反变换的求法反变换的求法求求求求 Z Z Z Z 反变换的方法很多，常用的方法有：部分分式法，反变换的方法很多，常用的方法有：部分分式法，反变换的方法很多，常用的方法有：部分分式法，反变换的方法很多，常用的方法有：部分分式法，长除法和留数法。长除法和留数法。长除法和留数法。长除法和留数法。自动控制原理(1)(1)部分分式法部分分式法部分分式法部分分式法将 分解为部分分式和，再写出E(z)的部分分式和
16、(确保分子中含有z因子)，再通过查表求出对应的离散序列。zi为E(z)的极点，上式为E(z)无重根时的状况。自动控制原理例例解：自动控制原理(2)(2)幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法/综合除法综合除法综合除法综合除法/长除法长除法长除法长除法利用多项式除法，将利用多项式除法，将E(z)写成写成z-1的多项式形式的多项式形式(按升按升幂排序幂排序)，则，则z-n前的系数就是第前的系数就是第n个采样时刻的个采样时刻的e(t)值，值，即即e(nT).自动控制原理对应的x(nT)或x*(t)。解：例例自动控制原理(3)(3)留数法留数法留数法留数法/反演积分法反演积分法反演积分法反演积分法点，则点，
17、则单极点：n重极点：自动控制原理例7-13 用留数法求z的反变换。解：E(z)zn-1有两个极点：1，0.5。其留数分别为故自动控制原理7-4 离散系统的数学模型1.离散系统的数学定义离散系统（1）线性离散系统：满足叠加原理。（2）线性定常离散系统：输入与输出关系不随时间而变更的线性离散系统。自动控制原理2.2.线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法 (1)(1)差分方程差分方程 对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出c(k)，不但与此时的输入r(k)有关，还与k时刻以前的输入和输出有关。这种关系可表示如下：式中，ai，bj均为常数且mn。上式为n阶线性常系数差分方程，它可代表
18、一个线性定常离散系统。自动控制原理(2)差分的定义差分的定义设连续函数设连续函数x(t),对应的离散函数为对应的离散函数为x(kT),记为记为x(k).则则前向差分前向差分一阶前向差分：一阶前向差分：二阶前向差分：二阶前向差分：后向差分后向差分一阶后向差分：一阶后向差分：二阶后向差分：二阶后向差分：n阶差分含有相连的阶差分含有相连的n+1个采样点的值。个采样点的值。自动控制原理（3）差分与微分的关系）差分与微分的关系前向差分：后向差分：（4）差分方程的求解）差分方程的求解1)迭代法迭代法2)z变换法变换法自动控制原理1)1)迭代法迭代法迭代法是依据已知的差分方程和输入输出序列的初始值，迭代法是
19、依据已知的差分方程和输入输出序列的初始值，利用递推关系逐步求出所需的输出值的方法。利用递推关系逐步求出所需的输出值的方法。例：已知差分方程为例：已知差分方程为 输入序列输入序列输入序列输入序列r r r r(k k k k)=1 1 1 1，初始条件为，初始条件为，初始条件为，初始条件为 试用迭代法求输出序列试用迭代法求输出序列试用迭代法求输出序列试用迭代法求输出序列解：依据初始条件及递推关系得：解：依据初始条件及递推关系得：解：依据初始条件及递推关系得：解：依据初始条件及递推关系得：适用于计算机求解适用于计算机求解自动控制原理2)Z变换法变换法用用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取
20、变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变变换，并利用换，并利用Z变换的时位移性质，得到以变换的时位移性质，得到以z为变量的代数方为变量的代数方程，然后对代数方程的解取程，然后对代数方程的解取Z反变换即求得输出序列。反变换即求得输出序列。解：对差分方程两边取Z变换得代入初始条件并整理得查表得例7-15 求差分方程自动控制原理3.3.脉冲传递函数脉冲传递函数（1 1）定义：）定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列零初始条件下，离散系统输出脉冲序列Z Z变换与输入脉冲序列变换与输入脉冲序列Z Z变换之比。变换之比。G(s)零初始条件的含义：在零初始条件的含义：在t1，所以闭环系统不稳定，所以
21、闭环系统不稳定。例题：例题：采样周期采样周期T=1(s)，试分试分析闭环系统的稳定性。析闭环系统的稳定性。G(s)H(s)自动控制原理三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据劳斯判据可用来推断一个多项式方程位于复平面的右劳斯判据可用来推断一个多项式方程位于复平面的右半平面上根的个数。为了将其应用到离散系统稳定性半平面上根的个数。为了将其应用到离散系统稳定性的判定上来，我们引入了的判定上来，我们引入了W变换：变换：若自动控制原理由上面的式子，可得到如下的z与w的映射关系。Z平面：单位圆上 单位圆内 单位圆外W平面：虚轴 w左半平面 w右半平面自动控制原理把劳斯判据用于推断离散限制系统稳定
22、性的步骤：把劳斯判据用于推断离散限制系统稳定性的步骤：求出离散限制系统的特征方程求出离散限制系统的特征方程D(z)=0；将将D(z)中的中的z用用(w+1)/(w-1)替代，得替代，得p(w)=0。应用劳斯判据。离散系统稳定的充要条件是应用劳斯判据。离散系统稳定的充要条件是p(w)=0的根都的根都在在w的左半平面。的左半平面。自动控制原理例题：例题：设闭环离散系统如图所示，设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳试求系统稳定时定时K的临界值。的临界值。r(t)c(t)解：解：自动控制原理使系统闭环稳定的使系统闭环稳定的K取值范围取值范围临界增益临界增益劳思表劳思表自动控制原理采样开
23、关和开环增益对离散系统性能的影响(补充)TkT=0 k=0.2k=0.8k=1.2k=10k=100结论结论：T不变时不变时,k越大性能越差越大性能越差k不变时不变时,T越大性能越差越大性能越差自动控制原理结论：结论：（1 1）当采样周期确定时，加大开环增益会使得系统的）当采样周期确定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；稳定性变差；（2 2）当开环增益确定时，采样周期越长，丢失的信息）当开环增益确定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。自动控制原理以右图所示离散系统为例，系统的误差脉冲传递函数为：若系统稳定，依据Z变换的终值
24、定理，系统的稳态误差为：4、离散系统的稳态误差、离散系统的稳态误差自动控制原理5、离散系统的型别与静态误差系数、离散系统的型别与静态误差系数在离散系统中，把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1（对应于s=0）的极点个数作为划分别散系统型别的标准。分为0型,I型,II型等。(1)单位阶跃输入下的稳态误差与静态位置误差系数称为系统的静态位置误差系数。称为系统的静态位置误差系数。单位阶跃输入下的稳态误差为：单位阶跃输入下的稳态误差为：自动控制原理(1)0型系统，即G(z)中不含z=1的极点，则(2)I型或I型以上的系统，即G(z)中含z=1的极点，则自动控制原理（2）单位斜坡输入的稳态误差与静态速度误
25、差系数称为系统的静态速度误差系数 0型I型II型以上自动控制原理（3）单位抛物线输入的稳态误差与静态加速度误差系数称为系统的静态加速度误差系数 0型I型II型III型以上自动控制原理从上面的分析可以看出，系统的稳态误差与三个因素有关：(1)输入信号；(2)采样周期大小，缩短采样周期将会降低稳态误差；(3)系统的开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点（积分环节）的个数和开环增益K。自动控制原理求稳态误差的一般步骤求稳态误差的一般步骤1.判稳判稳2.求求E(z)或或Kp、Kv、Ka3.下式求下式求ess自动控制原理解解1：系统闭环稳定。系统闭环稳定。例题：例题：图中图中试求离散系统相应的稳态误差。
26、试求离散系统相应的稳态误差。自动控制原理解解2：型系统型系统自动控制原理7-6 7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析探讨离散系统的动态性能时，通常假定外作用是单位阶跃函数。若可以写出闭环脉冲传递函数，则系统输出的z变换为：一、闭环脉冲传递函数的极点与瞬态重量的联系设闭环脉冲传函无重极点，则则:自动控制原理稳态分量瞬态分量pi在单位圆内的位置不同，它所对应的瞬态重量的形式也就不同。探讨如下(1)pi为正实数 pi1，ci(nT)为幅值发散的脉冲序列。自动控制原理(2)pi为负实数 pi1，ci(nT)为幅值发散且正负交替的脉冲序列。自动控制原理闭环实极点分布与相应的动态响应形式Z
27、平面平面ImRe01自动控制原理(3)pi为共轭复数极点 pi位于单位圆内，即 ，则随着n的增加，ci(nT)衰减振荡；pi位于单位圆上，即 ，则随着n的增加，ci(nT)等幅振荡；pi位于单位圆外，即 ，则随着n的增加，ci(nT)发散振荡。不论pi为实数还是复数，|pi|越小，ci(nT)衰减越快。将离散系统闭环的极点记为：自动控制原理ImRe11闭环复极点分布与相应的动态响应形式每个振荡周期内包含的采样点的个数为：k=2/i。和负实轴靠的越近，i越大，k越小，一个周期内包含的采样点越少，表明系统振荡越猛烈。自动控制原理综上所述，为使离散系统有较好的动态品质，我们希望闭环脉冲传递函数的极点
28、具有如下的分布：1.为使系统稳定，闭环极点应分布在单位圆内；2.为使瞬态重量衰减得快，闭环极点应靠近原点；3.为使系统瞬态过程平缓（振荡不猛烈），闭环极点应分布在单位圆内的右半平面。自动控制原理2.采样器和保持器对系统性能的影响（自学）采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，但会影响其零点，故采样器和保持器会影响闭环脉冲传递函数的极点，进而影响系统动态性能。下面通过例子进行定性分析。例 7-26 其中取T=1，k=1，得三种状况下的单位阶跃响应曲线如下。自动控制原理连续系统的响应连续系统的响应仅带采样器的响应仅带采样器的响应带采样器和保持器的响应带采样器和保持器的响应自动控制原理采样器和保
29、持器对离散系统的动态性能有如下影响：1）采样器可使系统的峰值时间和调整时间略有减小，但使超调量增大，故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。2）零阶保持器使系统的峰值时间和调整时间都加长，超调量和振荡次数也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。自动控制原理作业作业7-2（1）（）（4），），7-3（1），），7-57-9（a，b），），7-12，7-13，7-15自动控制原理作业答案作业答案7-2（1）（）（4）7-3（1）7-5自动控制原理作业答案作业答案7-9（a，b）7-12（1）不稳定（2）不稳定7-13（1）不稳定（2）0K1.66自动控制原理作业答案作业答案7-15自动控制原理稳态重量瞬态重量稳态重量形式与输入信号有关；瞬态重量形式由闭环极点确定。回顾：连续系统在阶跃信号的作用下的输出。设闭环传函为：系统输出为：自动控制原理若 为负实数极点，则相应分量为：若 为负实数极点，则相应分量为：自动控制原理负实数极点对应的瞬态重量：指数衰减函数共轭复数极点对应的瞬态重量：指数衰减振荡函数