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1、姜献峰其次讲其次讲曲线参数表示的基础学问（二）曲线参数表示的基础学问（二）1曲线参数表示的基础学问参数曲线的插值、靠近参数曲线的插值、靠近HermiteHermite插值曲线插值曲线曲线拼接及连续性、几何连续性曲线拼接及连续性、几何连续性数据点的参数化，数据点的参数化，HermiteHermite插值样条插值样条平面点列的插值（光滑及二阶几何连续）平面点列的插值（光滑及二阶几何连续）2工业产品的表面几何形态大致可分为两类：一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清晰地表达。另一类由自由曲面组成。如汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初
2、等解析函数完全清晰地表达全部形态，须要构造新的函数来进行探讨。这些探讨成果形成了计算机帮助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。3自由曲线自由曲线自由曲面自由曲面椭圆椭圆 球面球面规则曲线曲面：规则曲线曲面：自由曲线曲面：自由曲线曲面：4靠近靠近构造自由曲线的方法构造自由曲线的方法插值插值通称:拟合拟合 5 限制点：限制点：限制曲线曲面形态，限制曲线曲面形态，但不确定通过的点。但不确定通过的点。型值点：型值点：曲线曲面通过的点。曲线曲面通过的点。节节 点：点：参数域上对应的点。参数域上对应的点。型值点型值点节点节点限制点限制点节点节点P1P2
3、P3P46为什么用为什么用“三次三次”？给定给定n+1个点个点Pi（i=0,1,2,n）,要找一条过这些要找一条过这些型值点的曲线型值点的曲线y(u),有两种极端的状况：有两种极端的状况：1）每对）每对Pi-1,Pi之间的线性插值。问题是只能保之间的线性插值。问题是只能保证各个曲线段连续，整条曲线在型值点处出现拐折现象。证各个曲线段连续，整条曲线在型值点处出现拐折现象。7缺点：缺点：1.当数据点增加时，多项式次数增加；当数据点增加时，多项式次数增加；2.系数的物理意义难于理解，且计算量很大；系数的物理意义难于理解，且计算量很大；3.会产生波动、振荡、甚至扭曲。会产生波动、振荡、甚至扭曲。2）高
4、次多项式插值：）高次多项式插值：8 单一的低次多项式曲线又难以用来描单一的低次多项式曲线又难以用来描述困难形态的曲线。述困难形态的曲线。唯一的选择：接受分段的低次多项式插值生唯一的选择：接受分段的低次多项式插值生成低次曲线段，并在满足确定的连接条件下成低次曲线段，并在满足确定的连接条件下逐段拼接起来。逐段拼接起来。大多数应用发觉，三次是一个好的折中。大多数应用发觉，三次是一个好的折中。9 三次样条函数就是一种分段三次多项式插三次样条函数就是一种分段三次多项式插值，它不但能保证曲线上斜率连续（一阶导数连值，它不但能保证曲线上斜率连续（一阶导数连续续)变更，而且也能保证曲率连续（二阶导数连变更，而
5、且也能保证曲率连续（二阶导数连续）变更。这对飞机、汽车、船舶的外形来说，续）变更。这对飞机、汽车、船舶的外形来说，已经满足要求了。已经满足要求了。10三次样条曲线及其力学背景三次样条曲线及其力学背景 数学上的三次样条函数是在生产实践的基础上产生数学上的三次样条函数是在生产实践的基础上产生和发展起来的。在接受和发展起来的。在接受CAD/CAM技术之前，传统的船技术之前，传统的船舶、汽车和飞机的模线都是借助于样条用手工绘制的。舶、汽车和飞机的模线都是借助于样条用手工绘制的。样条，即富有弹性的匀质细木条、金属条或有机玻璃条。样条，即富有弹性的匀质细木条、金属条或有机玻璃条。放样员先将型值点精确的点在
6、图板上，用压铁让样条的放样员先将型值点精确的点在图板上，用压铁让样条的形态发生变更（弹性弯曲），直至取得满足的形态，才形态发生变更（弹性弯曲），直至取得满足的形态，才沿着样条画出所需的曲线。沿着样条画出所需的曲线。11样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线。12 假如把样条看成是弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某假如把样条看成是弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某些点上的集中载荷，可把上述划模线的过程在力学上抽象为：些点上的集中载荷，可把上述划模线的过程在力学上抽象为：求弹性细梁在
7、外加集中载荷的作用下产生的弯曲变形。切出求弹性细梁在外加集中载荷的作用下产生的弯曲变形。切出两相临压铁间的一段梁看，只在梁的两端有集中力作用，故两相临压铁间的一段梁看，只在梁的两端有集中力作用，故弯矩在这段梁内是线性函数。弯矩在这段梁内是线性函数。按照欧拉公式有：按照欧拉公式有：平面曲线的曲率为：平面曲线的曲率为：因此有：因此有：对于对于“小挠度小挠度”曲线，即：曲线，即：上述方程可以近似为上述方程可以近似为假设条件假设条件13样条的特点：样条的特点：1）样条本身是连续的整体，相当于函数是连续的；）样条本身是连续的整体，相当于函数是连续的；2）样条在压铁处的左右两段的斜率相同，相当于函数）样条
8、在压铁处的左右两段的斜率相同，相当于函数是一阶连续的；是一阶连续的；3）样条在压铁处左右两段的曲率相同，相当于函数是）样条在压铁处左右两段的曲率相同，相当于函数是二阶连续的。二阶连续的。由于在两个压铁之间由于在两个压铁之间M(x)是线性函数，因此是线性函数，因此,每小每小段（两个压铁之间）上段（两个压铁之间）上函数函数y(x)是是x的三次多项式，从整的三次多项式，从整个梁上看，就是分段三次函数。个梁上看，就是分段三次函数。它具有直到二阶的连续它具有直到二阶的连续导数（因为从整个梁来说弯矩是连续的折线函数），三导数（因为从整个梁来说弯矩是连续的折线函数），三次样条函数概念的建立就是在这一力学背景
9、下产生。次样条函数概念的建立就是在这一力学背景下产生。14 样条函数的本质是：一样通样条函数的本质是：一样通过型值点的过型值点的 二阶连续可导的二阶连续可导的 三三次次 分段函数。分段函数。15定义：在区间定义：在区间x0,xn上给定一个分割：上给定一个分割：x0 x1xn-1xn插值条件为：插值条件为：x x0 x1 x2 xn-1 xn y y0 y1 y2 yn-1 yn若有函数若有函数y(x)适合：适合：1)y(xi)=yi(i=0,1,n);2)y(x)在全区间在全区间x0,xn上二次连续可导；上二次连续可导；3)在每个子区间在每个子区间xi-1,xi(i=1,n)上是上是x的三次多
10、项式。的三次多项式。则称则称y(x)是关于已知插值条件的三次样条函数。是关于已知插值条件的三次样条函数。由样条函数构成的曲线称为样条曲线由样条函数构成的曲线称为样条曲线三次样条曲线构造三次样条曲线构造三次样条曲线的构作三次样条曲线的构作16Ouy1y0y1区间区间0,1,两个端点值为两个端点值为y0，yyxxixi-1Oyiyi-1区间区间xi-1,xi，两个端点值为两个端点值为yi-1，yi171.三次样条曲线段三次样条曲线段 先来解决在区间先来解决在区间0,1上的带一阶导数的插值问题。上的带一阶导数的插值问题。设自变量为设自变量为u，0u 1，对应的两个端点的函数值，对应的两个端点的函数值
11、与一阶导数值分别为与一阶导数值分别为:可在两个端点之间可在两个端点之间构作一段三次曲线。该曲线的方程为：构作一段三次曲线。该曲线的方程为：对对u求导后得：求导后得：r(u)18将上述得四个已知条件代入，即可求得四个系数，从而有：将上述得四个已知条件代入，即可求得四个系数，从而有：可改写为：可改写为：则曲线方程为：则曲线方程为：令令19矩阵形式：矩阵形式：其中其中 称为称为Hermit基函数或三次混合基函数或三次混合基函数。基函数。作用：限制曲线段两端点的位置矢量和一阶导矢对曲线作用：限制曲线段两端点的位置矢量和一阶导矢对曲线形态的影响。形态的影响。202.用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线
12、用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线 现解决在区间现解决在区间xi-1,xi带一阶导数的插值问题。对应于带一阶导数的插值问题。对应于区间的两个端点的函数值与一阶导数值分别为：区间的两个端点的函数值与一阶导数值分别为：记一阶导数为记一阶导数为m，则，则 即为端点处的一阶导数。即为端点处的一阶导数。插值目标：插值目标：y(xi)=yi，y(xi)=mi(i=0,1,n)其中其中因此第因此第i段的表达式为段的表达式为进行变量转换：进行变量转换：2122 第第i段的表达式确定的函数段的表达式确定的函数y(x)，它本身及其，它本身及其一阶导一阶导 数数 在在x0,xn上的连续性，是由各段上的连续性，是
13、由各段的插值条件保证了的，不论的插值条件保证了的，不论 取何值，取何值，y(x)及及 都是连续的。但不能保证都是连续的。但不能保证 连续。连续。为了保证为了保证 连续，连续，必需适合某些条件。必需适合某些条件。23将多项式对将多项式对x求两次导，得：求两次导，得：由于由于24对对i段得末点段得末点(u=1)，有，有对对i1段得首点段得首点(u=0)，有，有为了使两段曲线的二阶导数在为了使两段曲线的二阶导数在x=xi处连续，上两式处连续，上两式右端相等，得右端相等，得25引入记号引入记号得到得到此式称为样条函数的此式称为样条函数的m关系式关系式26 m关系式关系式是包含是包含 个未知数的个未知数
14、的线性方程组，方程的个数为线性方程组，方程的个数为n-1 为求解这个方程组必需添加两个条件，这两个条为求解这个方程组必需添加两个条件，这两个条件通常是依据对边界节点件通常是依据对边界节点x0和和xn处的附加要求来供应，处的附加要求来供应，称为端点条件：常用的有以下几种：称为端点条件：常用的有以下几种：1）已知曲线在两端点处的斜率已知曲线在两端点处的斜率m0和和mn，这时就成，这时就成为了关于为了关于n-1个未知量的个未知量的 个线个线性方程。第一个方程为：性方程。第一个方程为：第第n-1个方程为：个方程为：27 2）已知曲线在两端点处二阶导数值已知曲线在两端点处二阶导数值M0和和Mn第一个方程
15、为：第一个方程为：其次个方程为：其次个方程为：28 在求得全部在求得全部mi后，分段三次曲线即已经确定。后，分段三次曲线即已经确定。整条三次样条曲线的表达式为：整条三次样条曲线的表达式为：y(x)=yi(x)(i=1,2,n)29 先来解决在区间先来解决在区间0,1上的带二阶导数的插值问题。上的带二阶导数的插值问题。设自变量为设自变量为u，0u 1，对应的两个端点的函数，对应的两个端点的函数值与一阶导数值分别为值与一阶导数值分别为:可在两个端点可在两个端点之间构作一段三次曲线。该曲线的方程为：之间构作一段三次曲线。该曲线的方程为：对对u求导后得：求导后得：3.用型值点处的二阶导数表示的三次样条
16、曲线用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线30将上述得四个已知条件代入，即可求得四个系数，从而有：将上述得四个已知条件代入，即可求得四个系数，从而有：可改写为：可改写为：则曲线方程为：则曲线方程为：令令称为混合基函数。称为混合基函数。31 现在来解决在区间现在来解决在区间xi-1,xi带一阶导数的插值问题。带一阶导数的插值问题。对应于区间的两个端点的函数值于一阶导数值分别为：对应于区间的两个端点的函数值于一阶导数值分别为：，记一阶导数为，记一阶导数为M，则，则 即为即为 端点处的二阶导数。端点处的二阶导数。同样进行变量转换：同样进行变量转换：其中其中因此第因此第i段的表达式为段的表达式为32将
17、多项式对将多项式对x求导，得：求导，得：由于由于33对对i段得末点段得末点(u=1)，有，有对对i1段得首点段得首点(u=0)，有，有为了式两段曲线得一阶导数在为了式两段曲线得一阶导数在x=xi处连续，上两式右端处连续，上两式右端相等，得相等，得34引入记号引入记号得到得到此式称为样条函数得此式称为样条函数得M关系式关系式35 1)两端点二阶导数值两端点二阶导数值M0、Mn。当当M0=Mn=0时，为自由端点条件。时，为自由端点条件。2)两端点二阶导数值两端点二阶导数值m0、mn已知。已知。求得求得Mi后，分段三次曲线可由后，分段三次曲线可由M关系式确定，整关系式确定，整条样条曲线可由条样条曲线
18、可由y(x)=yi(x)(i=1,2,n)表示。表示。36插值曲线插值曲线1.插值插值2.样条样条3.三次样条三次样条 4.两点之间的三次样条求解两点之间的三次样条求解5.多点的三多点的三 次样条求解次样条求解6.m-关系式关系式7.M-关系式关系式0u137三次样条曲线三次样条曲线1.选择次数为选择次数为n=32.M关系式关系式两点插值表达式：两点插值表达式：第第i段的表达式为段的表达式为38例题例题3-1 已知函数表已知函数表i0123xi0123yi02316求满足边界条件求满足边界条件的三次样条插值函数。的三次样条插值函数。39解：由表已知解：由表已知按下列公式计算方程组的系数及右端项
19、，结果按下列公式计算方程组的系数及右端项，结果如下表：如下表：iiidi001611/21/2-321/21/236310-7840将上述数据代入方程组将上述数据代入方程组411)大斜率曲线不能处理大斜率曲线不能处理 受样条函数力学背景（受样条函数力学背景（）限制，不适）限制，不适合大挠度状况。与坐标选取有关。合大挠度状况。与坐标选取有关。2）无局部性）无局部性 从从m-关系式、关系式、M-关系式可知。关系式可知。3）多值曲线不能处理）多值曲线不能处理 受样条函数定义限制，受样条函数定义限制，x与与y须单值对应，与坐标须单值对应，与坐标系的选取有关。系的选取有关。4）表示的曲线依靠于坐标系的选
20、择，缺乏几何不变性。）表示的曲线依靠于坐标系的选择，缺乏几何不变性。4.三次样条曲线的局限性三次样条曲线的局限性42 给定一组型值点给定一组型值点Pi(xi,yi,zi),(i=0,1,n)构造关于参构造关于参数数s的插值三次样条函数：的插值三次样条函数：x=x(s),y=y(s),z=z(s)它们分别插值于点集它们分别插值于点集(si,xi),(si,yi),(si,zi),(i=0,1,n)将三将三者合并，形成三次参数样条曲线者合并，形成三次参数样条曲线 参数样条曲线参数样条曲线累加弦长三次参数样条曲线累加弦长三次参数样条曲线43着重说明的问题：着重说明的问题：累加弦长参数样条为什么能解决
21、大挠度的问题累加弦长参数样条为什么能解决大挠度的问题因为参数因为参数s是曲线的近似弧长，可以近似的认为是曲线的近似弧长，可以近似的认为:44参数表示的好处参数表示的好处:有更大的自由度来限制曲线、曲面的形态有更大的自由度来限制曲线、曲面的形态易于用矢量和矩阵表示几何重量，简化了计算易于用矢量和矩阵表示几何重量，简化了计算设设计计或或表表示示形形态态更更直直观观，很很多多参参数数表表示示的的基基函函数数如如Bernstein基和基和B样条函数，有明显的几何意义样条函数，有明显的几何意义45 Ferguson于于1963年在飞机设计中首先运用三次年在飞机设计中首先运用三次参数曲线来定义曲线和曲面。
22、参数曲线来定义曲线和曲面。Ferguson三次参数曲线就是前面用三次参数曲线就是前面用Herimit插插值得到的三次参数曲线的值得到的三次参数曲线的矢值形式矢值形式 1.Ferguson参数曲线表达形式参数曲线表达形式Ferguson曲线曲线46 导矢导矢 同两端的单位切矢同两端的单位切矢 成正成正比。可写成比。可写成r(u)47 2.Ferguson曲线段的拼接曲线段的拼接 如把一参数曲线段如把一参数曲线段 和另一参数曲线段和另一参数曲线段 连接起来，在结合处要求位置连续、斜率连续、曲率连接起来，在结合处要求位置连续、斜率连续、曲率连续，则必需有连续，则必需有则有则有其中其中T是在接合点处公
23、切线的单位矢量。是在接合点处公切线的单位矢量。48若在连接处要求曲率连续一般有若在连接处要求曲率连续一般有取取则有则有49把端点条件代入得把端点条件代入得若令若令得得.50三次Hermite曲线切矢量长度影响51连续性条件连续性条件 当很多参数曲线段首尾相连构成一条曲线时，如何保证各曲线段在连接处具有合乎要求的连续性是一个重要问题。假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：这里探讨参数曲线两种意义上的连续性：参数连续性Ck和 几何连续性Gk52（1）参数连续性）参数连续性0阶参数连续性：阶参数连续性：记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即第一个曲线段在ti1处的x,y,z值与其次个曲线段在t(
24、i+1)0处的x,y,z值相等：ii+1531阶参数连续性：阶参数连续性：记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数（切线）：ii+1542阶参数连续性：阶参数连续性：记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。类似地，还可定义高阶参数连续性。(a)0阶连续性(b)1阶连续性(c)2阶连续性 对于C2连续性，交点处的切向量变更率相等，即切线从一个曲线段平滑地变更到另一个曲线段。55（2）几何连续性）几何连续性 曲线段相连的另一个连续性条件是值几何连续性。与参数连续性不同的是，它只需曲线段在相交处的参数导数成比例即可。0阶几何连续性，记作阶
25、几何连续性，记作G0连续性，与连续性，与0阶参数连续阶参数连续性的定义相同，满足：性的定义相同，满足：ii+156（2）几何连续性）几何连续性 曲线段相连的另一个连续性条件是值几何连续性。与参数连续性不同的是，它只需曲线段在相交处的参数导数成比例即可。1阶几何连续性阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例。ii+157（2）几何连续性）几何连续性 曲线段相连的另一个连续性条件是值几何连续性。与参数连续性不同的是，它只需曲线段在相交处的参数导数成比例即可。2阶几何连续性阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。58数据点的参数化和型值点处切
26、矢量定义数据点的参数化和型值点处切矢量定义P1P2P3P4P5P6P0T1T2T3T4T5t0t1t2t3t4t5t6l1l2l3l4l5l6T0T659一种参数样条曲线一种参数样条曲线a、空间点列：、空间点列：Pi(i=0,1,n)b、两端切矢量：、两端切矢量：TA、TB求解求解G2连续三次参数样条曲线：连续三次参数样条曲线：其中：其中：1.已知条件已知条件 2.问题问题Ri(u)Pi+1PiiTiTi+160一种参数样条曲线一种参数样条曲线a、空间点列：、空间点列：Pi(i=0,1,n)b、两端切矢量：、两端切矢量：TA、TB求解求解G2连续三次参数样条曲线：连续三次参数样条曲线：其中：其
27、中：1.已知条件已知条件 2.问题问题Ri(u)Pi+1PiiTiTi+1待求参数：待求参数：参数参数 ti 按累加弦长法求得按累加弦长法求得61Ri(u)Pi+1PiiTiTi+1 按定义，自然有：按定义，自然有：为为G1连续。连续。可算得：可算得：为使曲线为为使曲线为G2连续，设曲线在连续，设曲线在Pi 处曲处曲率和主法向为：率和主法向为：于是：于是：由于参数由于参数 ti 按累加弦长法求得，可取按累加弦长法求得，可取62 若记：若记：（*）于是：于是：63 若记：若记：（*）于是：于是：取：取：则曲线在拼接点处主法向和曲率相等则曲线在拼接点处主法向和曲率相等 于是：于是：取：取：现只要由（现只要由（*）求出）求出 即可。即可。64 若记：若记：（*）于是：于是：ki+1Ni+1ki+1Ni+165 由（由（*）66 于是，则于是，则 但最终一行：但最终一行：所以：所以：可以取：可以取：67