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1、相遇追及问题一、同步知识梳理1、探源我们经常在解决行程问题的过程中用到、三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的根本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的，这个字母代表英文单词，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是，而不是我们常用来表示速度的。表示物理学上的速度。及路程相对应的英文单词，一般来说应该是，但这个单词并不是以字母开头的。关于为什么会用来代表路程，有一个比拟让人承受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的和代表时间的在字母表中比拟接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比拟接近的来表示路
2、程。2、关于s、v、t 三者的根本关系速度时间=路程 可简记为：s = vt路程速度=时间 可简记为：t = sv路程时间=速度 可简记为：v = st3、平均速度平均速度的根本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。二、同步题型分析题型1：简单行程公式解题【例 1】 韩雪的家距离学校480米，原方案7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【解析】 原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为(米/分)，那么现在上学所用的时间为：(分钟)，7点4
3、0分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校【例 2】 邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开场要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间：124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递员走了12+8千米的上坡
4、路，走了12+8千米的下坡路，所以共用时间为：12+84+12+85+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。【例 3】 一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.火车汽笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?(得数保存整数)【解析】 火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了(1360340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度. 1360(57+1360340)=13606122(米)【例 4】 甲、乙两地相距
5、6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？【解析】 方法一：由于前一半时间及后一半时间的平均速度是的，因此可以计算出这人步行的时间而如果了解清楚各段的路程、时间及速度，题目结果也就自然地被计算出来了应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，那么这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)2=70米这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米而每分钟走80米的时间及每分钟走60米的时间一样，所以平均速度始终是每分钟70米这样，就可以计算出这个
6、人走完全程所需要的时间是672070=96分钟由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于67202=3360米那么前一个3360米用了336080=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟方法二：设走一半路程时间是x分钟，那么80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为8048=3840米，大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是336080=42分钟，后一半路程时间是48+48-42=54分钟.评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间及“一半路程的区别在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数但在各段路程
7、相等的情况下，这样做就是不正确的其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易而前一半路程所需时间的计算是简单的因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法这种选择能力也是需要锻炼和培养的三、 课堂达标检测检测题1、甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【解析】 马车从甲地到乙地需要10010=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少
8、要行驶1004=25(千米)检测题2、两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想及货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？【解析】 北京到某地的距离为：千米，客车到达某地需要的时间为：小时，小时，所以客车要比货车提前开出3小时。检测题3、甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发5 小时后两车还相距15千米甲车每小时行 48千米，乙车每小时行 50千米求 A、 B 两地间相距多少千米？【解析】 在整个过程中，甲车行驶了 35= 8=(小时)，行驶的路程为：48 8 =384(千米)；乙
9、车行驶了 5 小时，行驶的路程为： 50 5 =250(千米)，此时两车还相距15 千米，所以 A 、 B 两地间相距：38425015 =649(千米)检测题4、一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走千米，桃每小时走千米，他们同时出发小时后还相距千米，那么梨和桃之间的距离是多少千米？【解析】 我们可以先求出小时梨和桃走的路程：(千米)，又因为还差千米，所以梨和桃之间的距离：(千米)检测题5、两列火车从相距千米的两城相向而行，甲列车每小时行千米，乙列车每小时行千米，小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【解析】 两车的相距路程减去小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：千米一、专题精讲 例
10、1、 难度级别 (2021年四中入学测试题)在公路上，汽车、分别以，的速度匀速行驶，假设汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在及汽车相遇后的两小时又及汽车相遇，求甲、乙两站相距多少？【解析】 汽车在及汽车相遇时，汽车及汽车的距离为：千米，此时汽车及汽车的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了小时，那么甲、乙两站的距离为：千米例2、 难度级别 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲及乙相遇6分钟后，甲又及丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?a) 甲、丙6分钟相遇的路
11、程：(米)；甲、乙相遇的时间为：(分钟)；东、西两村之间的距离为：(米).二、 专题过关检测题1、难度级别 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙及乙相遇后，又经过2分钟及甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是60+752=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=27067.5-60=36分钟，所以路程=3667.5+75=5130米。检测题2、难度级别 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去
12、.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张及小李相遇后5分钟，小王又及小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【解析】 画一张示意图：图中A点是小张及小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王及小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B及A之间这段距离：千米，这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王及小张的速度差是5.4-4.8千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是：1.35.4-4.860=130分钟.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5
13、.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要：1302=65分钟.从乙地到甲地需要的时间是：13065=195分钟3小时15分.小李从乙地到甲地需要3小时15分.检测题3、难度级别 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙及乙相遇后，又经过1分钟及甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是60+701=130米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=13065-60=26分钟，所以路程=2665+70=3510米。检测题4、难度级别 甲、乙、丙三人行路，甲每分钟
14、走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙及乙相遇后，又经过2分钟及甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【解析】 那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是60+702=260米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差所以乙丙相遇时间=26060-50=26分钟，所以路程=2660+70=3380米。三、学法提炼一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间甲的速度+乙的速度相遇时间速度和相遇时间.一般地，相遇问题
15、的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差追及路程.如果设甲走得快，乙走得慢，在一样的时间追及时间内：追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度追及时间-乙的速度追及时间甲的速度-乙的速度追及时间速度差追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差追及时间，即例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分
16、别为和，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间一样(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。一、能力培养综合题例1、 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。假设小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，那么两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？ 【解析】 因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相
17、遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。70490-70=14 分钟 可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 144=18 分钟； 两人家的距离：52+7018=2196米 例2、 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。a) 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，那么相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程及以V +2 跑了 24 秒的
18、路程之和等于 400米，24V +24V +2 =400 易得V = 米/秒 例3、 (2021年日本小学算术奥林匹克大赛)上午点整，甲从地出发匀速去地，点分甲及从地出发匀速去地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的倍，乙速度不变；点分,甲，乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从地出发时是点 分a) 点分相遇，此时甲距离地的距离是甲走了分钟的路程，点分时乙到达目的地，说明乙走这段路程花了分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的倍时，此时甲的速度是乙速度的倍，甲从相遇点走到点花了分钟，因此乙原先花了分钟，所以乙是点分出发的二、能力点评变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、
19、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图那么显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进展求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具
20、示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在屡次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量
21、关系列方程常常可以顺利求解学法升华一、知识收获1、探源我们经常在解决行程问题的过程中用到、三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的根本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的，这个字母代表英文单词，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是，而不是我们常用来表示速度的。表示物理学上的速度。及路程相对应的英文单词，一般来说应该是，但这个单词并不是以字母开头的。关于为什么会用来代表路程，有一个比拟让人承受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的和代表时间的在字母表中比拟接近，所以就选取了跟这两个字母位置都
22、比拟接近的来表示速度。2、关于s、v、t 三者的根本关系速度时间=路程 可简记为：s = vt路程速度=时间 可简记为：t = sv路程时间=速度 可简记为：v = st3、平均速度平均速度的根本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。二、方法总结相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间甲的速度+乙的速度相遇时间速度和相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即追及有两个人同时行走，一个走得快，一
23、个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差追及路程.如果设甲走得快，乙走得慢，在一样的时间追及时间内：追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度追及时间-乙的速度追及时间甲的速度-乙的速度追及时间速度差追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差追及时间，即例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为和，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内
24、甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间一样(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“这一条根本关系式展开的，比方我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式：多人相遇及追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解三、技巧提炼 只要抓住两个公式，结合线段图帮助分析题意。课后作业1、
25、小白从家骑车去学校，每小时千米，用时小时，回来以每小时千米的速度行驶，需要多少时间？ 【解析】从家到学校的路程：千米，回来的时间 小时2、 龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？【解析】先算出兔子跑了米，乌龟跑了米，此时乌龟只余下米，乌龟还需要分钟到达终点，兔子在这段时间内跑了米，所以兔子一共跑米所以乌龟先到，快了米3、 甲、乙、丙三人，他们的步行速度分别为每分钟480、540、720米，甲、乙、丙3人同时动身，甲、乙二人从A地出发，向B地行时，丙从B
26、地出发向A地行进，丙首先在途中及乙相遇，3分钟后又及甲相遇，求甲、乙、丙3人行完全程各用多长时间？【解析】方法一：乙及丙相遇时，乙比甲多行的距离可供丙、甲相向而行行3分钟的时间，这段距离为米，分，A、B之间的距离为米，行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：甲 乙 丙方法二：丙及乙相遇时，各行了分，速度及时间成反比，所以，丙行完全程需要分；乙行完全程需要分.方法三：丙及乙相遇时，乙比甲多行了米；丙比甲多行了米，所以A地及B地之间的距离为米.行完全程甲、乙、丙需要的时间分别如下：甲 乙 丙 4、 难度等级 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，那么甲的速度是每分钟行多少米？【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分钟，所以甲的速度为 (米/分)第 7 页