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1、一元二次方程根及系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式时，其求根公式为：；假设两根为，当0时，那么两根的关系为：；，根及系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么那么是的两根。一元二次方程的根及系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，教师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根
2、。例1：关于的方程1有两个不相等的实数根，且关于的方程2没有实数根，问取什么整数时，方程1有整数解？分析：在同时满足方程1，2条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：方程1有两个不相等的实数根， 解得； 方程2没有实数根， 解得； 于是，同时满足方程1，2条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程1为，无整数根； 当时，方程1为，有整数根。解得： 所以，使方程1有整数根的的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的根底，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的根本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答此题的根本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1
3、：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为，可据此求出根的判别式，但只能用于判定根的存在及否，假设判定根的正负，那么需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。解：，42(7)650 方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为， 0原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式和“根及系数的关系结合起来进展确定，另外由于此题中0，所以可判定方程的根为一正一负；倘假设0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：
4、方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程方法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根及系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：解得：方程的另一个根为4，的值为3或1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，把代入，可得：把代入，可得：即解得方程的另一个根为4，的值为3或1。 说明：比拟起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：此题假设利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比
5、两根的积大21转化为关于的方程，即可求得的值。解：方程有两个实数根， 解这个不等式，得0 设方程两根为 那么，整理得：解得：又， 说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。 四、运用判别式及根及系数的关系解题。例5：、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？假设能同号，请求出相应的的取值范围；假设不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，那么有又、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根及系数的关系，可得： 假设、同号，那么有两种可能： 1 2假设， 那么有： ；即有：解这个不等式组，得时方程才有实树根，此种情况不成立。 假设 ， 那么有：即有：解
6、这个不等式组，得；又，当时，两根能同号 说明：一元二次方程根及系数的关系深刻提醒了一元二次方程中根及系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中及此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根及系数的关系解题。例：、是方程的两个实数根，求的值。分析：此题可充分运用根的意义和根及系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 解法一：由于是方程的实数根，所以设，及相加，得：变形目的是构造和根据根及系数的关系，有：
7、于是，得：=0解法二：由于、是方程的实数根， 说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根及系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考察能力，多年来一直受到命题教师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：两方程和至少有一个一样的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的一样根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根及系数的关系求值。解：
8、设两方程的一样根为， 根据根的意义， 有 两式相减，得 当时， ，方程的判别式 方程无实数解 当时， 有实数解 代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个一样的实数根，4个实数根的相乘积为说明：1此题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，两方程一样，方程的另一根也一样，所以4个根的相乘积为：；2既然此题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：且另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。2、关于的一元二次方程两根互为倒数，那么 。3、关于的
9、方程的两根为，且，那么 。4、是方程的两个根，那么： ；5、关于的一元二次方程的两根为和，且，那么 ； 。6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。7、是的一根，那么另一根为 ，的值为 。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1、是方程的两个根，利用根及系数的关系，求的值。2、是方程的两个根，利用根及系数的关系，求的值。3、是方程的两个根，利用根及系数的关系，求的值。4、两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。5、关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。6、方程和有一个一样的根，求的值及这个一样的根。三、能力提升题：1、
10、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、关于的一元二次方程 1求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 2假设这个方程的两个实数根、满足，求的值。3、假设，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。5、关于的一元二次方程的两实数根为，假设，求的值。6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。答案及提示：一、填空题：1、提示：，解得：2、提示：，由韦达定理得：，解得：，代入检验，有意义，。3、提示：由于韦达定理得：，解得：。4、提示：由韦达定理得：，；由，可判定方程的两根异
11、号。有两种情况：设0，0，那么；设0，0，那么。5、提示：由韦达定理得：，。6、提示：设，由韦达定理得：，解得：，即。7、提示：设，由韦达定理得：，8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，即；设所求的一元二次方程为：二、求值题：1、提示：由韦达定理得：， 2、提示：由韦达定理得：，3、提示：由韦达定理得：，4、提示：设这两个数为，于是有，因此可看作方程的两根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的两个数分别是，。5、提示：由韦达定理得，化简得：；解得：，；以下分两种情况：当时，组成方程组： ；解这个方程组得：；当时，组成方程组：；解这个方程组得： 6、提示：设和一样的根为，于是可得方程组：；得
12、：，解这个方程得：；以下分两种情况：1当时，代入得；2当时，代入得。所以和一样的根为，的值分别为，。三、能力提升题：1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：判别式0；0，0；于是可得不等式组：解这个不等式组得：12、提示：1的判别式0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。2利用韦达定理，并根据条件可得：解这个关于的方程组，可得到：，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；3、提示：可利用韦达定理得出0，0；于是得到不等式组：求得不等式组的解，且兼顾；即可得到，再由可得：，接下去即可根据，得到，即：44、答案：存在。提示：因为，所以可设；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：当时，；当时，；所以的值有两个：；5、提示：由韦达定理得：，那么，即，解得：6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：又，变形得：，2021-12-08人第 14 页