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1、数学教育学重要考点汇总第二章 中学数学教学目的和内容世界各国数学教育目的特点（2010,2012简答）一注重数学应用二重视问题解决三注重数学思想方法四注重数学交流五注重培养能力六重视数学美育七注重培养自信心八重视计算器和计算机的使用第三章 中学数学的教学原则教材体系就是教学内容安排所展现的知识的序列及各知识之间的相互联系，是数学科学知识体系经教学法加工而得到的学科知识体系。教学内容安排要符合的原则（2012简答在初中已经给出了“变量说”的函数定义，为什么在高中阶段又以“对应说”重新定义，这样安排体现了哪一教学原则的要求）1. 要符合学生的心理发展规律。遵照学生思维发展规律，在编排知识体系时，既
2、不可割断学生连续渐进的思维方式，也不能颠倒思维发展阶段的顺序。对内容的编排还要注意符合认识规律，由浅入深，由易到难，由表及里，循序渐进,贯穿迁移的训练。要发挥非智力的心理因素的作用。2. 要符合数学知识的科学性和系统性。应以科学数学知识结构及其内涵的数学规律及思想方法为前提，以基本概念、基本原理为主线，展现数学感性材料、应用材料及基础知识的有机组成。3. 必须遵循理论联系实际的原则理论结合实际。要求理论的建立依赖于实际，又要求已有的理论来解决实际问题，使原有的知识在学习中得以应用和深化，使新的知识在原有知识的应用中引伸。4. 必须遵循联系性和衔接性原则。数学各分支之间具有广泛的联系，特别是数学
3、思想方法的相互渗透。为使学生更好地理解所学的数学基础知识,更全面灵活地掌握数学的基本思想和方法，教材体系必须揭示出知识间的相互联系。内容的安排还要注意数学及其他学科、小学及初中、初中及高中、高中及大学学科知识的衔接。中学数学教学的基本内容数学基础知识，指符合中学培养目标的数学科学中最本质的、已定型的、科学的、系统的初步知识。数学思想和方法数学思想是指数学研究活动中解决问题的基本观点和根本想法,它是对数学规律的理性认识。数学方法是指研究数学的手段和方式,它包括理论研究方法和数学理论应用于实际的方法。中学数学方法大体分为发现方法、逻辑方法和解题方法三类。发现方法是指发现数学性质、规律时常用的方法，
4、如归纳方法、类比方法、猜想方法、联想方法等等，但所得的结果还需进行严格论证。逻辑方法是指通过概念、判断、推理等逻辑程序进行严格推理的证明方法，包括形式逻辑方法、数理逻辑方法和辩证逻辑方法。中学里主要学习形式逻辑方法,如比较法、分析法、综合法、分析综合法、归纳法、演绎法、反证法、同一法等。解题方法可分为通法及技巧性较强的巧法，如配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、解析法、数形结合法、抽屉原则等等通法；如放缩法、错位相消法、分裂项法、割补法等等巧法。数学语言和逻辑。数学中对概念的表述、定理的逻辑推理和证明，对量、量的关系进行比较和运算等一系列的活动,都是在某种有规则的符号系统中进行的，采用
5、的是一套形式化的数学语言。这种数学语言的形式简明扼要，表达内容深刻、精确。技能、技巧。包括知识技能（如恒等变换、论证技能等）操作技能（如作图、测量、使用计算工具等)和解题技能。我国教育原则体系（2012简答在初中已经给出了“变量说”的函数定义，为什么在高中阶段又以“对应说”重新定义，这样安排体现了哪一教学原则的要求）1. 科学性和思想性统一的原则2. 理论联系实际的原则3. 传授知识及发展能力相统一的原则4. 教师主导作用和学生自觉性、积极性相结合的原则5. 直观性和抽象性相统一的原则6. 系统性和循序渐进相结合的原则7. 理解性和巩固性相结合的原则8. 量力性和尽力性相结合的原则9. 统一要
6、求和因材施教的原则数学学科的严谨性及数学教学的可行性相结合的原则数学学科严谨性及数学教学可行性相结合原则的贯彻（13简答列举2个实例）1. 明确要求，谨慎处理。现行教学大纲和教材对中学各部分数学内容在严谨性方面的具体要求，都有一定的反映。教师必须深入钻研大纲、教材，明确各部分内容对严谨性的要求程度,在教学中参照施行。不宜随意提髙要求，也不宜降低要求。尤其是对于那些鉴于中学生认识发展的特征而降低了严谨性的内容，或者说只有阶段性的相对严谨性的内容,教学处理必须谨慎,一定要设法向学生讲清这些内容还有欠缺，还有发展的必要，只是当前尚未深入。比如，锐角三角函数的教学，开始是利用直角三角形的边长之间的各种
7、比给出，但是必须指出：锐角三角函数是随角的改变而变化的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，决不能使学生误认为锐角三角函数只是边长一定的直角三角形的两边之比。2. 从开始抓起，持之以恒从初中一年级的数学教学开始，就应当在数学严谨性方面提出明确的要求。首先要规范数学用语。数学概念也好，数学定理也好，不仅要懂得其内涵，了解其外延，还要用规范的数学术语或数学表达式表示出来。其次，数学命题的推导、数学算式的推演也要严格地使用数学语言。这种严谨性要求，随着中学数学教学的发展，其标准也应该逐步提高。因为，中学数学教学内容越高深,抽象程度也越高,相应地严谨性要求也越高。教师应该采取适当的措施，使学生
8、尽快地适应这种发展，以形成习惯。为此，教师应该持之以恒，并以身作则。备课、讲授、批改作业、课外辅导都应该注意这方面的要求。3. 要求学生周密思考、言必有据。周密思考,就是要全面地思考,不要遗漏，从而体现严谨性。但是，要养成这种习惯，必须经过严格训练。言必有据，是数学严谨性的重要标志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中学数学教学中，教师可以结合典型例题，强调“言必有据”。譬如，在几何证明题中,要求学生在练习时,每一步推论都用括号注明其理由，以逐步养成言必有据的习惯。4. 改革中学数学教学内容。数学教育工作者们普遍认为，要想很好地解决严谨性及可行性的矛盾，促成这对矛盾形成良性循环，必须从早抓起。
9、但是，历来的中学数学教材在低年级阶段,对严谨性要求太低,，而到高年级阶段又从严要求，学生一时难以适应,教师也不易把握分寸。尤其是代数、几何两门课在低年级对严谨性的要求有很大的差异。如何改革中学数学教学内容，如何提出适度的严谨性要求的标准，如何处理那些不具备严谨性要求而又必须引用的数学知识，以维持教学可行性的问题等，是我们在贯彻数学学科的严谨性及数学教学可行性相结合原则时必须研究的课题。对此，必须加强探索和改革的力度。数学概念的抽象性及具体对象的直观性相结合的原则数学概念的抽象性及具体对象的直观性相结合原则的贯彻1. 直观教学注意通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，以形成学生鲜明的表象，
10、为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。这些感性知识越完善、越丰富，学生形成抽象的理性知识也就越顺利、越牢固。直观教学必须注意以下几点：实物直观、模型直观、图形直观教学，要注意知识的系统性和理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论的水平；直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务，为了让学生更能准确地理解教材的文字，不能滥用粗俗的习语，以免喧宾夺主，适得其反。言语直观要照顾学生的年龄特征和知识水平，以他们已有的记忆表象为基础，使其再现并重新组合
11、，形成新的高层次的表象。要防止脱离学生经验，单纯追求言语的形象性。言语直观要求教师语言通俗、有趣、易懂，并配以节奏感和鼓动性，富于启发性和感染力,但切忌“八股调”和矫揉造作的手势，以及各种语病。2. 数形结合可以根据数学本身的特点，采用数形结合的方法。这样可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化,有利于分析、发现和理解它们。3. 注重观察对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。4. 重视教学手段改革运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教学设备，加速教学手段现代化,也是贯彻抽
12、象性及直观性相结合教学原则的重要途径。数学理论及实际问题相结合的原则数学理论及实际问题相结合的原则的贯彻1. 紧密联系实际，讲授概念、公式、原理、法则，加强理论基础的教学。为了让学生能真正理解、掌握基本理论知识，又必须联系实际，从具体事物和现象入手。例如,引入有理数概念，尤其是正、负数概念，可以结合“表示零上5度和零下5度的气温”、“表示东行10千米和西行10千米”等实际问题。（2010年简答体现了什么原则，并作简要分析）将抽象的数学概念、定理及实际问题相结合地引入讲授，一方面可以逐步培养学生抽象思维的能力，既体现了理论源于实践，又符合认识论的规律；另一方面可以向学生讲明抽象的理论对实际问题的
13、指导意义和应用价值,激发学生学习基础理论的积极性，克服盲目死记硬背的弊端。2. 紧密联系实际，指导学生参加教学实践和社会实践，切实搞好基础理论教学和基本技能训练。我们知道，数学学科知识是人们的主观对客观世界的反映，只有通过实践这条联系主观及客观的纽带，才能使理论知识转化为实际技能。在课堂上，教师在讲授了必要的数学基础知识之后，可以让学生进行观察、实验、制作等实践活动，或者解答具有实际意义的问题。例如,讲过平行线、异面直线等概念，可以让学生在日常生活和周围环境中寻找属于这些概念的相应的实际对象；讲授了直角尺求圆直径的方法后，可以让学生自己动手自制一个直角尺，并实测几个圆的直径。解答具有实际意义的
14、问题，能广泛地用来引导学生将数学论及实际问题相结合。这类问题可以学校或社会各个方面。可以是真实的、具体的，也可以是模拟的，形式也是多样的。3. 不断地改进现有教学内容和教科书，加强中学数学及实际的联系。为了适应社会进步和科学发展，数学教学内容必然要不断地更新。例如，微积分初步、概率统计初步等纳入中学数学教学内容，是应该坚持、发扬的重要举措；又如，中学数学教学应注意及其它学科的教学紧密配合。现代数学内容、数学思想和数学方法也要结合实际问题，编入中学数学教科书。现行中学数学教科书中确实充实了不少现代数学内容，其目的之一就是提高中学数学的实用性。所以讲授这些内容时，还必须注意加强这些内容及实际问题的
15、联系，才能达到目的。例如，引入集合概念之后，就应当引用文氏图来示意，并随即用于解决一定数量的涉及集合之间关系的实际问题。在贯彻数学理论及实际问题相结合的原则时，必须注意以下几个问题。1. 数学理论及实际问题相结合要从学生的实际出发，不要为了结合实际问题而结合实际问题。比如，有些数学理论学生早已熟练地掌握,教师就没有必要一定让学生到实际中去观察;而有些内容是学生根本无法接触到又难于理解的实际问题，教师也没有必要硬讲给学生听。2. 数学理论及实际问题相结合要从数学学科的实际出发。数学理论有很强的逻辑性，构成了独立的系统，并不是每一章每一节每一个概念都可以联系实际问题。比如，对数理论在计算上有实用性
16、，但其概念本身却不易结合实际问题。所以，教学内容暂时不便结合实际问题时,不必勉强。3. 数学理论及实际问题相结合，是为了提高教学质量，强调及实际问题相结合，并不等于忽视或削弱理论知识的讲授。如果为了结合实际问题占用了大量的教学时间，而少讲或不讲系统的理论，那就不妥当了。4. 贯彻数学理论及实际问题相结合的原则，要求教师对数学知识及其应用都比较熟练，做到有目的、有计划，胸中有数；教师所举的实际问题应该具有典型性、思想性、科学性、鲜明性和适当性。否则，举例不当，讲解不清，反而冲淡了理论的价值，降低了教学质量。巩固知识及发展能力相结合的原则巩固知识及发展能力相结合原则的贯彻1. 遵循记忆的规律，巩固
17、所学的知识。通过加深理解，增强识记和保持。理解就是掌握数学对象的本质特征及其相互关系。加深理解，掌握了各种相关知识之间的联系，又更容易使记忆保持。例如，四类象限角的各种三角函数值的符号，除了从定义出发进行理解之外，还可以借助单位圆直观地帮助学生加深理解。通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。经过归纳整理过的信息，加以类比，引起联想,这个提取的过程也就很容易实现了。例如，学习不等式时，可以将不等式及等式的相应概念和性质，进行归纳、类比，使已学知识系统化;学习相似三角形时,可以将相似三角形及全等三角形的定义、判定、性质，进行归纳、类比。2. 掌握遗忘的规律，复习所学知识。要想提高记忆效率，巩固所学
18、知识，就必须克服遗忘。组织科学的复习，是克服遗忘的有效手段,也是巩固记忆的基本途径。复习的周期和时机对遗忘先快后慢、先多后少的规律，我们应该将复习的周期控制成先短后长，复习的力度控制成先强后弱，或者说复习的次数先多后少。复习的时机，应该选择在所学知识即将遗忘、印象模糊、再认和再现有一定困难时，及时复习。复习的方式要多样化，要使复习旧知识而有新鲜感，形成强烈的刺激、反应。也就是说在复习时不是简单的重复，而是每复习一次，提出一次新的要求，上升一个新的知识层次。3. 巩固知识着眼于发展能力。巩固知识的关键在于组织学生复习，巩固知识必须着眼于发展学生分析问题、解决问题的能力。能力的发展，是需要训练的。
19、那么就要求我们在复习、训练两方面下功夫，使复习及训练有效地配合起来。这样不仅达到了发展能力,同时又有利于巩固知识。基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练，用以促使学生知识整体结构向系统化方向发展,提高他们掌握、应用所学知识的能力。例如，将复数的基础知识系统化,概括成框图。这样，可以将复数及复平面、平面向量、平面直角坐标系及极坐标系、三角函数概念、参数方程、平面点集等知识都沟通了。综合知识的复习,要有计划、有步骤地进行题组训练。这样的复习题组,要具备代表性、综合性、渐进性,还要有一定梯度,题组间要求具有配合协调性。第四章 数学学习的心理特征及数学思维能力的培养数学学习是指学生在教育
20、情境中，以数学语言、符号为中介，自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法则、定理，形成数学活动的经验，发展数学技能及能力的过程。机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅记住某个数学符号、数学概念、公式、定理等。有意义学习（2010,2012术语解释）则指学生经过思考，掌握并理解了由符号所代表的数学知识，并能融会贯通。接受学习（2011术语解释）是指要学习的全部数学内容是以定论的形式呈现给学习者的，这种学习不涉及学习者任何独立的发现，只需要他将所学的新知识及旧的知识有机结合起来，即内化，以便以后的再现和运用。发现学习（2013术语解释）是指一般只提出问题或提供背景材料，主要内容要有学生自己
21、独立发现。因此，发现学习的主要特点是：不把学习的主要内容提供给学生，而是由学自己独立发现，然后内化。数学认知结构（2010,2012,2013术语解释）他是学习者头脑里的知识结构，是学习者观念的全部内容和组织。即认知结构不仅包括头脑里的知识结构，而且还有这些知识的内部组织方式。数学认知结构的形成依赖于外在的数学知识结构和学习者内在的心理结构，它是学习者通过教师所激发起来的心理结构作用于外界的数学知识结构而形成的一种内在的知识结构。数学认知结构大体上由以下要素构成：内化了的数学理论；内化了的数学技能；数学活动的经验。同化（2011术语解释）学生在学习数学时，总是以原有的数学认知结构为依据对新知识
22、进行加工。当新知识能及原有的数学认知结构中适当的知识相联系，那么通过新旧知识的相互作用，新知识被纳入原有的数学认知结构之中,从而扩大了它的内容，这一方式称为同化。顺应若新知识在原有的数学认知结构中没有适当的知识及它相联系，则就要对原有的数学认知结构进行改组，进而形成新的数学。有意义接受学习的条件（2013年简答要使数学学习成为有意义学习必须具备哪些基本条件）1. 数学理论具有潜在意义即数学理论本身具有逻辑意义，并且学习者认知结构中又具有适当的知识基础。2. 学生具备有意义学习的心向即学生有积极主动地把新材料及认知结构中原有的适当内容加以联系的倾向性。3. 内化过程是有意义的即对呈现的数学理论不
23、仅在认知结构中进行“登记”，而且考虑它的逻辑依据,使新知识及旧知识发生联系，最后还要寻求获得这一理论的思维过程,即新理论要转化为个人参照系，使之及本人的数学认知结构趋于和谐。另外,在数学理论获得的同时,形成一定的数学技能。有意义发现学习的条件（2010年简答）1. 问题具有潜在意义即数学认知结构中的理论知识对解决面临的问题是充分的。2. 学生具有有意义学习的心向。3. 解决问题的过程是有意义的即：解决问题的手段是通过一个积极主动的探索过程获得的，而不是依靠强化训练所形成的机械操作模式获得的。4. 内化过程是有意义的即：对发现学习中所涉及的所有知识、技能、活动经验加以内化；对发现学习中得到的新的
24、数学理论、技能和数学活动经验加以内化。概念同化（2010术语解释）一种以定义的形式给出，由学生主动地及自己认知结构中原有的有关概念相互联系、相互作用以领会它的意义,从而获得新概念。这种获得概念的方式叫做概念同化。概念同化心理过程（2011简答以菱形概念为例，说明以概念同化方式学习数学概念的心理过程）1. 首先，他要把新概念的本质属性及原有的认知结构中的适当概念相联系，明确新概念是原有概念的限制，并能从原有概念中分离出来；2. 其次，要把新概念及原认知结构中的有关概念融合在一起，纳入认知结构中，以便于记忆和应用。例如，学习梯形的概念：“梯形是一组对边平行另一组对边不平行的四边形”，这时学生要主动
25、积极地及自己认知结构中原有的概念(平行、四边形等)联系起来思考，认识到梯形是原有四边形中特殊的一类，从而明确它的内涵和外延；1. 接着及原有的概念(如平行四边形等）区别开来，并相互贯通组成一个整体,纳入原有的概念体系(四边形)之中；2. 最后通过例题的学习及练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。概念形成（2011术语解释）一种通过对概念所反映的事物的不同例子中，让学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念，这种获得概念的方式叫概念形成。概念形成心理过程（2010简答以初中函数概念为例，说明概念形成的心理过程）辨别同类事物不同的例子，抽象出各例子的共同属性；提
26、出它们共同本质属性的各种假设并加以检验;把本质属性及认知结构中的适当知识联系起来，使新概念及已知的有关概念区别开来;把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延;扩大或改组原有的数学认知结构,从而发展数学认知结构。例如，初中学生学习变量和函数这两个概念，是处于初次接触变量数学的内容,所以这两个概念都可以用概念形成的方式让学生获得。如函数概念的学习，一般可采用如下步骤：第一步，让学生分别指出下列例子中的变量以及变量之间的关系的表达式：以每小时40千米匀速行驶的汽车所驶过的路程和时间；用表格所给出的某水库的存水量及水深；由-某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时间；任何整数的平方运算中,
27、底数及它的二次幂。第二步，找出上述各例中两变量之间关系的共同的本质属性。学生经过多次分析比较后可知：一个变量每取一个确定的值,相应地另一个变量也唯一地确定一个值，这是函数的本质属性；同时，前一个变量取值范围的限制，也是它们共同的本质属性。第三步，学生以第二步中明确的函数的本质属性为依据，辨别若干正反面的例子。如在任意正数开平方运算中，被开方数x及平方根y（写成）这里x及y这两个变量就不是函数关。第四步，在以上几步的基础上，抽象、归纳、概括出函数定义。第五步,通过练习、习题等的解答,加深对函数概念的理解,建立起新的数学认知结构，以利于进一步的学习。影响掌握概念的因素1. 经验及抽象概括能力。概念
28、的获得依赖于学生有关的感性材料、经验和抽象概括能力。如果学生缺乏这方面的经验，教学时就要采用实物、模型或举例等方式弥补。值得注意的是，举例时要区分日常用语中有一些词的含义及数学概念不一致的地方，以免发生混淆。例如，几何中的垂线及日常用语中的“垂线”（实指铅垂线)是不相同的，但有的学生却误用他的经验认为两者相同，只承认自上而下方向的直线是垂线。如果学生抽象概括能力差，就不能抓住事物的本质属性，不能明确概念的内涵和外延。例如会出现如下错误：|a|=a；直角三角形的直角边上没有高等。这就要求有计划地发展学生的抽象概括能力。2. 本质属性及非本质属性。我们知道，概念的本质属性越明显，学习时就容易掌握；
29、反之，非本质属性多而又明显，则就难于学习。因此,采用适当的方法，突出本质属性，是有利于概念学习的。如教学时,常常用加重语气等方式，突出概念的本质属性，让学生易于掌握;有时直接指出哪些及定义无关的非本质属性，例如三角形的垂心,有的学生往往认为只有三角形三边上的高的交点在其形内时才称为垂心，把非本质属性(交点的位置)误认为本质属性。因此及时指出非本质属性，有利于突出本质属性和概念的正确掌握。3. 变式。要理解一类事物的共同本质属性，往往可以通过列举具有该本质属性的事物(概念的肯定例证)或不具有该本质属性的事物(概念的否定例证)的分析来获得。例如，曲线的切线这一概念,有的学生往往认为切线是及曲线只有
30、一个公共点的直线，这时可举出否定例证:“抛物线的对称轴及这个抛物线只有一个交点，但它不是切线”，说明“只有一个公共点”不是曲线切线的本质属性，学生就容易理解。理解概念常常利用肯定例证，这时“变式”具有重要意义。所谓变式就是指概念的肯定例证在非本质属性方面的变化。如函数概念，学生往往误认为只有“变量y随x的变化而变化y才是x的函数”，把非本质属性y随x的变化而变化”作为本质属性，扩大了概念的内涵，这时可以举出肯定例证.从两者可知，“对定义域中的每一个x的值,y都有唯一确定的值及它对应”,这才是函数概念的本质属性。因此利用变式有利于纠正学生错误的认识。数学定理公式的学习学生学习数学定理公式有两种方
31、式：1. 探究发现式。探究发现式是学生通过探索，提出并论证假设，从而获得定理公式及其意义的一种学习模式。其心理过程一般是这样的：学生利用认知结构中已有的经验，对信息进行分解及组合，从而提出基本假设。运用数学语言正确表述假设，并探索证明假设的途径，认识命题的逻辑意义。把证明为真的假设(定理公式)纳入原认知结构中,扩大或改组认知结构，以获得心理意义。通过定理公式的应用、对定理公式的探索及证明的思想方法的总结以及定理公式的各种变形来进一步优化认知结构。2. 同化式。同化式是学生把呈现的定理公式及其推导证明直接同自己的认知结构相联系,从而掌握数学定理公式的学习模式。其心理过程为:他要对定理公式的条件、
32、结论进行分析，以明确它的逻辑意义和数学解释。理解并总结定理公式证明的思维过程、逻辑推理形式及表达格式。要把新定理公式及原认知结构中的有关内容融合在一起，纳入认知结构之中。数学技能的学习技能（2013术语解释）是指顺利完成某种任务的自动化的外部操作活动方式或心智活动方式。动作技能即外部实际操作活动的方式。例如用圆规、直尺等工具画图、查表、使用计算工具等都是动作技能。分为三个阶段，一是掌握局部动作阶段；二是初步掌握完整动作阶段。三是动作协调和完善阶段。心智技能（2012术语解释）即按一定的合理的、完善的方式进行的心理活动方式。例如,运算、推理论证技能等都是心智技能。分为如下几个阶段：一是掌握心智活
33、动各环节的活动方式。二是心智活动的各环节逐渐联成一个整体,且内部语言趋于概括化和简约化，运算或推理逐渐简缩。三是心智活动熟练化、自动化。数学技能的形成是学生练习的直接结果，其途径有两条：其一是伴随着数学理论的获得而形成数学技能;其二是在综合应用数学理论过程中形成数学技能。数学思维，就是以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。形象思维，是指凭借事物的形象或表象进行联想或想象的一种思维形式。所以，形象思维的物质基础是事物的形象或表象,而它的运动形式则主要是联想及想象。抽象概括（2011术语解释）就是在研究乱标的指导下，揭示出某类部分对象的本质属性，并
34、把这些对象的共同本质属性联合起来，然后合理地推广到同类对象的全体，形成关于该类对象的一般性认识的一种思维形式。函数思维的特点在于对数学对象及其性质之间的一般和个别的相互关系的动态认识，这种认识鲜明地体现在函数思想之中。函数思维这种思维形式应包括变量思维及对应思维。变量思维的特点是：从运动变化的观点去把握数学对象;运动变化地看待因果关系，从运动变化中去把握数学对象的不同侧面。对应思维有两个层次：把握某一数学过程中变化着的各量之间的对应关系，如把所研究的对象间的联系，用数学关系（公式、表格、图象等）表示出来；把握不同集合之间的对应关系，这是对应思维的高级形式。逻辑思维（2010术语解释）是指脱离具
35、体形象，按照逻辑的规律,运用概念、判断、推理等思维形式所进行的思维。直觉思维（2012术语解释）是指未经过一步步的逻辑分析或无清晰的逻辑步骤,而对问题直接的、突然间的领悟、理解或给出答案的思维。收敛思维又叫求同思维或集中思维。它是指由所提供的条件或事实聚合起来，朝着一个方向思考,得出确定的答案，即它的思考方向是趋于同一。发散思维又叫求异思维，它是由某一条件或事实出发,从各个方面思考,产生出多种答案,即它的思考方向是向外发散的。正向思维及逆向思维是指在思考数学问题时,可以按通常思维的方向进行，也可以采用及它相反的方向探索。再现性思维也就是一般性思维，它是运用所获得的知识经验，按现成的方法或程序去
36、解决问题的思维，它的创造成分少。创造性思维是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。数学思维品质1. 思维的广阔性思维的广阔性表现在能多方面、多角度地去思考问题,善于发现事物间的多方面的联系，找出多种解决问题的办法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些有普遍意义的方法,或扩大解题中得到的结果的适用范围，或将其推广到类似的问题中去。因此,思维的广阔性也称为思维的概括性。例如，学生在求解“过抛物线的焦点F作一条直线,交抛物线于A、B两点。设P为拋物线的焦点参数,且AF=m,BF=n,则时，能用多种方法来证明，包括从抛物线的定义出发，利用平面几何知识来证等，
37、并能推广到椭圆、双曲线情形，且作出相应的证明。这表明学生思路宽广,思维不停留在解析几何中常用的各种方法上，还引用平面几何知识证明；思维也没有在证明了该题后止步，还思考着应用同一思想方法试着对椭圆、双曲线会有什么结论。2. 思维的深刻性思维的深刻性表现在能深入地钻研及思考问题,善于从复杂的事物中把握住它的本质,而不被一些表面现象所迷惑；能区分哪些是严格证明而哪些是“大概对的”，特别要在学习中克服思维的表面性、绝对化及不求甚解的毛病。例如在概念学习中，要分清一些容易混淆的概念,如正数和非负数、方根及算术根、充分条件及必要条件等；在公式、定理、法则的学习中,要完整地掌握它们(包括条件、结论和适用范围
38、)，领会其精神实质，切忌形式主义、表面化和一知半解。3. 思维的灵活性思维的灵活性表现在能对具体问题作具体分析，善于根据情况的变化，及时地调整原有的思维过程及方法，灵活地运用有关的概念、定理、公式、法则，并且思维不囿于固定程式或模式，具有较强的应变能力。4. 思维的批判性思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣及否;喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也不自以为是。因此，在教学中要待别注重培养学生乐意进行各种方式的检验，善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考；找出问题所在的良好习惯5. 思维的独创性思维的独创性表现在能独立地发
39、现问题、分析问题和解决问题，主动地提出新的见解和采用新的方法。我们在日常教学中，要培养学生独立思考的自觉性和习惯，教育他们要勇于创新、敢于突破常规的思考方法和解题模式，大胆提出新的见解和解法,使他们逐步具有思维独创性的良好品质。数学思维发展的年龄特征（2011,2013简答按照思维活动中抽象概括水平由低到高，数学思维的发展大体可分为哪几个层次。）1. 直观行动思维。3岁以前的婴儿虽有思维，但他是在感知和操作过程中进行的，感知的事物消失了，操作停止了，思维也就停止了。这是最低水平层次。2. 具体形象思维。3岁7岁的幼儿能脱离感知和动作，利用头脑中所保留的事物进行思维。其特点是总离不开具体形象来进
40、行思维活动。3. 经验型抽象思维。7岁15岁的少年处于一个过渡阶段从具体形象思维为主要思维形式向以抽象思维形式的过渡阶段。4. 理论型抽象思维。15岁18岁的青少年处于抽象思维为主体的年龄阶段，而且是思维逐步地从经验型过渡到理论性并由此向辩证逻辑思维发展的阶段。中学生数学思维发展的特点1. 数学思维发展的趋向。由具体形象思维占优势逐步发展到理论型抽象思维占优势。抽象性成分越多，那么思维就越具有预见性，思维活动中的自我意识和自我控制及调节能力就越强，这样，学生思维活动的主动性也相对加强,思路更清晰,判断更准确，并由此发展直觉思维。2. 数学思维的最近发展区。由思维发展的趋向可知，任何一个层次的思
41、维必有最适合于它发展的阶段，这一阶段即称为这一思维的“最近发展区”。最近发展区是数学思维发展的关键,也是我们设计教材结构和教学过程的重要依据之一。3. 数学思维发展的关键期。思维发展并不是直线上升的，而有一个从量变到质变的过程。及最近发展区相联系，那么，任何一个层次的思维必有一个质变过程，这一时期就是其发展的关键期。一般说来，中学生数学思维发展有两个主要的关键期：其一是在初中二年级,表现为从经验型思维向理论型思维的转化。在此期间，思维的方式、方法和品质都处于一个新的转折点；抽象、概括、逻辑推理等都处于迅速发展之中，前后有着明显的差异，因此初中二年级往往是产生学习分化的一个焦点。这时平面几何的教
42、学，特别是其人门教学，具有全局性的意义。二是在高一到高二年级,学生的思维逐步成熟，思维的方式、法和品质等趋于稳定，可塑性变小。而在此之前，其变动性及可塑性较大。故在此之前是思维优化发展的关键期。因此，在数学教学中必须抓紧成熟期前的函数、三角和立体几何的教学，及时促进思维的优化发展。发展数学思维的教学途径1. 注重非智力因素的培养。非智力因素对数学思维的发展有着强烈的影响、从培养人才来看,只有智力因素及非智力因素的协同发展,才会产生高的创造效应。数学学习是一项艰苦的脑力劳动，它受意识的支配。在学习中要有直接推动学生学习的一种动力，即学习动机。学习动机有内部动机和外部动机。在学习数学过程中，还会遇
43、到各种困难，因而还需要学生在学习中坚定信心，认真对待困难,战胜困难，以获得知识、技能和能力。还要注意培养学生的自信心和勤奋的态度。2. 注重恰当引导。(1)引导学生全面熟悉问题情境，使外部问题情境及学生内在经验发生恰当冲突。这种冲突表现为既使学生领会了整个问题情境，又使学生就处于“愤悱”状态，自觉地产生一种主动探索的意向。(2)在学生处于“愤悱”状态之后，教师就应当推迟判断，而让学生进行积极思维。在学生的积极思维过程中，教师应对学生的思维进行恰当的调节，这种调节主要是通过教师对学生思维过程中发出的信息的恰当反馈来进行的。通过教师的反馈来引导学生不断地进行评价，不断地调整着思维的方向。教师的反馈
44、恰当及否，主要在于教师的反馈信息是起到激发和引导学生的思维的作用，还是直接地代替学生的思维。因此，教师的反馈多是启发性的、评价性的,而不是关于结果的信息。(3)在学生的积极思维活动之后，应引导学生归纳总结重要的数学思想，概括重要的数学方法和思维模式，以加强学生的数学方法论方面的修养，帮助学生建构起适当的思维模式，从而丰富学生的思维经验，提高思维效率。3. 恰当推迟判断，让学生有足够的独立思考和探索的机会。推迟判断，其目的就是留给学生足够的独立思考及探索的机会。而学生独立思考是需要有一个过程的，要有一定的时间。推迟就是为了适应这一需要。通过由不知到知的矛盾运动，学生的认知结构必然得到发展,思维得
45、到锻炼，思维水平得到提高。4. 按照思维发展的规律组织教学。（2011简答如何按照数学思维发展的规律组织数学教学）(1)数学教学要以学生一定的思维发展水平为前提。(2)从整体上讲，学生的思维发展趋向是由经验型抽象思维向理论型抽象思雄发展的,不同发展阶段的学生其思维方式也不同。(3)要抓紧思维的最近发展区和思维发展的关键期，促进学生思维的迅速发展。5. 注意各种思维的整体性培养。数学思维是由多种不同思维成分构成的复杂系统，只有使各种思维成分协同地发展，才能形成良好的数学思维结构。第五章 逻辑及数学教学数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人们头脑中的反映。数学判断是对事物的空间形式
46、及其数量关系有所肯定或否定的思维形式。数学命题用来表示数学判断的语句或符号的组合。数学概念的产生及发展有各种不同的途径有些是直接从事物的空间形式和数量关系中反映出来,如自然数概念是从事物排列的次序抽象概括得来，几何中的点、线、面、体、平行、垂直、圆、柱、锥、台、球等概念是从形状及大小位置关系抽象出来的；有些概念是在抽象的数学概念的基础上经过多次复杂的抽象概括过程才产生和发展而成，如“复数”的概念是在实数的概念的基础上产生出来,而实数的概念又是在有理数概念的基础上产生的。有些概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的，如三线截得的八角。有些概念是根据理论上有存在的可能而提出的，如无穷远点、无穷大等
47、。有些概念是经过思维加工把客观事物的属性理想化、纯粹化得来的,还有些概念是从数学内部需要产生出来的。数学概念的形成不论如何复杂、抽象，它们总是在一定的感性认识的基础上或在一定理性认识的基础上产生并逐步发展的。概念的外延是指概念所反映事物的范围(集合)。它说明概念所反映的对象是哪些，即反映了概念的量的方面。如“平行四边形”的外延是指邻边不等的斜平行四边形、矩形、菱形、正方形的集合。概念的内涵是指概念所反映的一切事物的本质属性。它说明概念所反映的事物是什么样的，即反映了概念的质的方面。如“平行四边形”的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边分别平行,对角线互相平分等。概念
48、间的关系1. 相容关系。两个概念的外延至少有一部分重合，这两个概念间的关系称为相容关系。（1）同一关系(又称全同关系）如果两个概念的外延完全重合,则这两个概念的关系是同一关系（全同关系）（2）属种关系（从属关系，真包含关系)如果两个概念之间，一个概念的外延完全包含在另一个概念的外延之中，而且仅仅成为另一个概念外延的一部分，则这两个概念之间的关系是属种关系。（3）交叉关系如果两个概念的外延有且只有一部分相同（重合)，则这两个概念的关系是交叉关系。概念间的不相容关系(又称全异关系)（1）反对关系(对立关系）如果两个概念的外延完全不同，而且它们外延之和小于其属概念的外延，则这两个概念的关系称之为反对关系。（2）矛盾关系如果两个概念的外延完全不同，并且它们外延之和等于其属概念