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1、3.2.3 指数函数与对数指数函数与对数 函数的关系函数的关系知识与技能：知识与技能：1 1、知识目标：、知识目标：使学生能正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例使学生能正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解。对反函数进行解释和直观理解。2 2、能力目标：、能力目标：从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力，从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力，数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。情感、态度与价值观：情感、态度与价值观：引导学生发现指数函
2、数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。和谐的对称美。重点与难点：重点与难点：1 1、重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较，及对反函数、重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较，及对反函数概念的理解。概念的理解。2 2、难点：反函数的概念。、难点：反函数的概念。问题问题1 1：以上图片有一个共同特点，是什么？：以上图片有一个共同特点，是什么？一、新课引入（发现对称）：一、新课引入（发现对称）：011xyo1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3321结论？结论？问题问题2 2：观察两个对应值表、两组点的坐标、：观察两个对
3、应值表、两组点的坐标、两组点的位置、两个函数图像之间的关系？通两组点的位置、两个函数图像之间的关系？通过对比你得到什么结论？过对比你得到什么结论？x-3-2-10123y1/8 1/4 1/2 1248x1/8 1/4 1/2 1248y-3-2-10123表表1 y=2x表表2 y=log2x011y=x问题问题3 3：关于：关于y=xy=x对对称的两个点的坐标称的两个点的坐标有什么关系？有什么关系？问题问题4 4：同底的指：同底的指数函数与对数函数函数与对数函数图像有什么关数图像有什么关系？系？二、新课讲授（解释对称）：二、新课讲授（解释对称）：问题：指数函数与问题：指数函数与对数函数有何
4、内在联系对数函数有何内在联系？互化x、y互换探究：这种关系是否具有一般性？探究：这种关系是否具有一般性？强调：指数式与对数式互化图像不变，强调：指数式与对数式互化图像不变，互换引起图像关于直线对称互换引起图像关于直线对称问题问题6 6：第一步变换有没有引起图像变化？为：第一步变换有没有引起图像变化？为什么？什么？问题问题7 7：第二步变换有没有引起图像变化？为：第二步变换有没有引起图像变化？为什么？什么？结结论论？互化x、y互换指数函数与对数函数之间的这种关系并不是指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关系。我们称它们
5、互为反函数。关系。我们称它们互为反函数。反函数的定义：反函数的定义：当一个函数是一一映射时，当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。数。函数函数y=y=f(x)(xf(x)(x A A)的反函数的反函数.三、明确定义：三、明确定义：记记：y=f 1(x)（1）反函数的定义域与值域正好是原来函数的值反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域。如：域与定义域。如：不是函数不是函数
6、 的反的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。（3）反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。（2）对任意一个函数对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数；不一定总有反函数；只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数。如果有反函数，那么原来函函数才存在反函数。如果有反函数，那么原来函数也是反函数的反函数，即他们互为反函数数也是反函数的反函数，即他们互为反函数概念深化：概念深化：问题问题8 8：如何求函数的反函数？：如何求函数的反函数？求反函数的方法
7、步骤：求反函数的方法步骤：1）求求出原函数的出原函数的值域值域；即求出反函数的定义域；即求出反函数的定义域；2）由）由 y=f(x)反解反解出出 x=f 1(y)；即把；即把 x 用用 y 表表 示出来；示出来；3）将）将 x=f 1(y)改写成改写成 y=f 1(x)，并写出反函，并写出反函数的定义域；即数的定义域；即对调对调 x=f 1(y)中的中的 x、y.例例11 求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：首先首先,将将y=(x)看作方程看作方程,解出解出x=-1(y)(y C);其次，将其次，将x,y互换互换,得得到到y=-1(x)(x C).最后最后,指出反函数的指出反函数的定义域定
8、义域结论结论?四、巩固训练，加深概念：四、巩固训练，加深概念：同底的指数函数与对数函数互为反函数同底的指数函数与对数函数互为反函数()A.y轴对称轴对称 B.x轴对称轴对称C.原点对称原点对称 D.直线直线yx对称对称 例例22函数函数y3x的图象与函数的图象与函数ylog3x的的图象关于图象关于D结论结论?函数函数 y=f(x)的图象与它的反函数的图象与它的反函数 y=f 1(x)的图象关于直线的图象关于直线 y=x 对称。对称。例例33 已知函数已知函数 .（求证函数求证函数y=y=f(xf(x)的图象关于直线的图象关于直线y=xy=x对称对称.因因f(x)f(x)的反函数与原函数相同的反
9、函数与原函数相同,故结论成立故结论成立.证明证明：探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称？对称？结论结论?证明一个函数的图象关于直线证明一个函数的图象关于直线y=x对称，对称，只需说明它的反函数与原函数相同只需说明它的反函数与原函数相同 例例44函数函数f(x)loga(x1)(a0且且a1)的反函数的图象的反函数的图象经过点经过点(1,4)，求，求a的值的值.若函数若函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点则其反函数的图象经过点(b,a).结论？结论？解解:依题意依题意,得得若函数若函数y=fy=f（x x）
10、存在反函数，）存在反函数，且且f f-1-1（a a）=b=b，则，则f f（b b）=a=a结论？结论？互为反函数的两个函数定义域、值域互换。互为反函数的两个函数定义域、值域互换。练习：求下列函数的反函数：练习：求下列函数的反函数：x0123y0149问题问题9：练习中函数与函数：练习中函数与函数x-3-2-10123y9410149比较，有何异同？比较，有何异同？结论？结论？只有一一映射的函数才有反函数只有一一映射的函数才有反函数五、互为反函数的函数图象增减速度比较：五、互为反函数的函数图象增减速度比较：问题问题10：两个函数图象：两个函数图象在第一象限增长速度有在第一象限增长速度有何关系
11、？何关系？归纳小结：同底的指数函数和对数函数性质关系对照表：性质性质性质关系性质关系图像图像 1.1.关于关于y=xy=x对称对称定义域定义域值域值域特殊点特殊点单调性单调性增减速度增减速度指数指数指数指数指数指数指数指数对数对数对数对数对数对数对数对数2.2.定义域、值域定义域、值域互换互换3.3.横、纵坐标互换横、纵坐标互换4.4.单调性不变单调性不变5.5.增减速度一快一慢增减速度一快一慢注意：同底的指数函数和对数函数性质关系，也体现了注意：同底的指数函数和对数函数性质关系，也体现了所有互为反函数的两函数间性质关系所有互为反函数的两函数间性质关系布置作业：1.教材第教材第106页练习页练习A第第2题；第题；第107页练习页练习B第第1、2题；题；2.教材第教材第118页页“思考与交流思考与交流”的第的第6题题课后思考：1.为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致？为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致？2.为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢？提示：运用函数单调性定义和反函数定义解释提示：运用函数单调性定义和反函数定义解释