《2021-2022学年高二物理竞赛课件：质点的运动章末小结.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高二物理竞赛课件：质点的运动章末小结.pptx（77页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、质点的运动章末小结质点的运动章末小结第一章小结第一章小结一、基本概念一、基本概念、时间和空间、时间和空间、参考系和坐标系、参考系和坐标系、位矢、位移、路程、位矢、位移、路程、运动方程与轨道方程、运动方程与轨道方程、平均速度与平均速率、速度与速率、平均速度与平均速率、速度与速率、加速度：、加速度：(1)直角坐标系直角坐标系 a=ax i +ay j +az k (2)自然坐标系自然坐标系a=at to +an no at =dv/dt an =v2/二、常见运动二、常见运动、直线运动、直线运动x、vx 、ax、圆周运动（）线量描述、圆周运动（）线量描述（）角量描述（）角量描述、抛体运动抛体运动、
2、简谐振动（、简谐振动（运动学运动学）（）三种描述（）三种描述 函数形式函数形式 、xt 曲线曲线 、旋转矢量图、旋转矢量图 （）（）位移、位移、速度、加速度三者速度、加速度三者相位关系相位关系（）（）简谐振动的叠加简谐振动的叠加 记住矢量合成图记住矢量合成图 掌握加强和减弱条件掌握加强和减弱条件三、三、相对运动相对运动相对位移、相对速度、相对加速度相对位移、相对速度、相对加速度XVAv=A sin(+)=A cos(+/2)a=2A cos(+)=2A cos(+)1-1一质点在平面上运动，已知质点位置矢量一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为的表达式为 r=a t2 i+b t2 j
3、 （其中（其中a、b为常为常量），则该质点作量），则该质点作（A）匀速直线运动）匀速直线运动 （B）变速直线运动）变速直线运动 （C）抛物线运动）抛物线运动 （D）一般曲线运动）一般曲线运动解：解：x =a t2 y =b t2 消去消去 t 得得 y=bx/a 直线运动直线运动 vx =dx/dt=2at vy =dy/dt=2bt 变速运动所以答案为变速运动所以答案为（B）第一章例题（课外）第一章例题（课外）1-2 一运动质点的运动方程为一运动质点的运动方程为 x=6+3t5t3（SI），则该质点作），则该质点作(A)匀加速直线运动，加速度沿匀加速直线运动，加速度沿X轴正方向。轴正方向。(
4、B)匀加速直线运动，加速度沿匀加速直线运动，加速度沿X轴负方向。轴负方向。(C)变加速直线运动，加速度沿变加速直线运动，加速度沿X轴正方向。轴正方向。(D)变加速直线运动，加速度沿变加速直线运动，加速度沿X轴负方向。轴负方向。解：解：vx=dx/dt=315 t2 ax=dvx/dt=30 t 0 所以答案为所以答案为（D）1-3 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 r(x，y)的端的端点处，其速度大点处，其速度大 小为小为 (A)dr/dt (B)dr/dt (C)d|r|/dt (D)(dx/dt)2+(dy/dt)2 1/2 答案为答案为（D）1-5 一质点作直线运动，
5、某时刻的瞬时速度一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s，瞬时加速度瞬时加速度 a=2 m/s2，则一秒钟后质，则一秒钟后质点的速度点的速度 （A）等于零）等于零 （B）等于等于 2 m/s （C）等于）等于 2 m/s （D）不能确定）不能确定 答案为答案为（D）1-6 下列说法中，哪一个是正确的下列说法中，哪一个是正确的？（A）一质点在某时刻的瞬时速度是）一质点在某时刻的瞬时速度是 2 m/s，说，说明它在此后明它在此后 1 s 内一定要经过内一定要经过 2 m 的路程。的路程。（B）斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，）斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大。加速度最
6、大。（C）物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法）物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零。向加速度为零。（D）物体加速度越大，则速度越大。）物体加速度越大，则速度越大。答案为答案为（C）1-7 两辆车两辆车A和和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行同一起始线上同时出发，并由出发点开始计时，行驶的距离驶的距离 x（m）与行驶时间）与行驶时间 t（s）的函数关系式：）的函数关系式：A为为 xA=4t+t2，B为为 xB=2t2+2t3 ，试问：，试问：（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的哪辆？）它们刚离开出发点时，
7、行驶在前面的哪辆？（2）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同）出发后多少时间，两辆车行驶距离相同？（3）出发后多少时间，两辆车相对速度为零）出发后多少时间，两辆车相对速度为零？解：（解：（1）时间从）时间从 0 到到 t0，x=0+x=v t xA（t）=vA|t=0 t=4 t xB（t）=vB|t=0 t=0 t=0 所以，所以，A 车行驶在前面。车行驶在前面。（2）xA=xA（t）xA（0）=4t+t2 0 xB =xB（t）xB（0）=2t2 +2t3 0 若若 xA =xB 则则 4t +t2 =2t2 +2t3 由此得由此得 t =1.19（s）（3）若若 vA =vB 则则 4 +
8、2t =4t +6t2 由此得由此得 t =0.67（s）1-9 一艘正在沿直线行驶的电艇，发动机关闭后，其一艘正在沿直线行驶的电艇，发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即比，即 dv/dt=kv2，式中，式中 k 为常数。试证明电艇在为常数。试证明电艇在关闭发动机后又行驶关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度为距离时的速度为 v=vo e-k x，其中，其中 vo 是发动机关闭时的速度。是发动机关闭时的速度。证明：设证明：设 x 的原点为关闭发动机时的位置，的原点为关闭发动机时的位置，dv/dt=vdv/dx=kv2 整理
9、得：整理得：dv/v=kdx两边积分：两边积分：vov dv/v =x kdx 得：得：ln（v/vo）=kx 因此：因此：v =voe-kx 证毕。证毕。1-11 在半径为在半径为R的圆周上运动的质点，其速率的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为与时间关系为 v=ct2（式中（式中 c 为常数），试求：为常数），试求：1、从、从 t=0到到 t 时刻质点走过的路程时刻质点走过的路程 s(t)2、t 时刻质点的切向和法向加速度时刻质点的切向和法向加速度 at 和和 an解：解：1、s(t)=ot vdt =ot ct2 dt=ct3/3 2、at =dv/dt =2ct an =v2/R =c
10、2 t4/R 1-12 一质点沿半径为一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角的圆周运动，其角位移位移 随时间随时间 t 的变化规律是的变化规律是=2+4t2 （SI），），试求在试求在 t=2 s时，质点的切向加速度时，质点的切向加速度 at 和法向加速度和法向加速度 an。解：解：=d/dt =8t （SI）=d/dt =8 （SI）at =R =0.8 m/s 2 an =2R =(82)2 0.1 =25.6 m/s2 1-13 一质点沿半径为一质点沿半径为 R 的圆周运动，在的圆周运动，在 t=0 时经过时经过 P 点，此后它的速率点，此后它的速率 v 按按 v=A+B t （A、
11、B 为正的已知常数）变化为正的已知常数）变化，试求质点沿试求质点沿圆周运动一周再经过圆周运动一周再经过 P 点时的切向加速度点时的切向加速度 at 和法向加速度和法向加速度 an。解解:切向加速度：切向加速度：at =dv/dt=B质点作匀加速率运动：质点作匀加速率运动：v 2=v o 2+2a t s根据题意：根据题意：vo=A，s=2R因此：因此：v2 =A2+2B 2R=A2+4BR法向加速度：法向加速度：an=v2/R=A2/R+4B 1-14 一质点以一质点以 60o 仰角作斜上抛运动，忽略空仰角作斜上抛运动，忽略空气阻力。若质点运动轨道最高点处的曲率半径气阻力。若质点运动轨道最高点
12、处的曲率半径为为 10 cm，试求抛出时初速度的大小。，试求抛出时初速度的大小。解：因为解：因为 an =g，所以，所以 v2/R =(vocos 60o)2/R =g 故故 vo=(gR)1/2/cos 60o =(10 10)1/2 0.5 =20 m/svovg60o 1-15 一质点在平面作曲线运动，其速率与路程一质点在平面作曲线运动，其速率与路程的关系为：的关系为：v=1+S2 （m/s）试求：试求：切向加速度切向加速度 at 用路程用路程 S 来表示的表来表示的表 达式。达式。解：解：a t =dv/dt =2SdS/dt =2Sv =2S（1+S2）（m/s2）1-16 5m长的
13、梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m。设以。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程的速度匀速向下滑，求下端的运动方程和速度。和速度。解：设某一时刻梯子的位置如图解：设某一时刻梯子的位置如图 由几何关系得：由几何关系得：x2=L 2-y2 因为因为 A点匀速下滑，所以点匀速下滑，所以 y=yo-vot=4-2t 故：故：x2=L2-y2=52-（4-2t）2（1）运动方程：）运动方程：x2=9+16t-4t2 (m)（2）两边对时间求导：）两边对时间求导：2xdx/dt=16-8t vx=dx/dt=（8-4t）/x =（8-4t）/（9+16t
14、-4t2）1/2 (m/s)xAByOYLX A-1 一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐振动，周期为 T，质点由平衡，质点由平衡位置向位置向X轴正方向运动时，由平衡位置到二分轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需的时间为：之一最大位移这段路程所需的时间为：（A）T/4 （B）T/12 （C）T/6 （D）T/8解：解：=t t=/=(/6)/(2 /T)=T/12 答案答案（B）XO=2/TAtoto+t A/2/6=A-5 一质量一质量M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为为 12cm，在距平衡位置，在距平衡位置 6cm处速度为处速度为
15、24cm/s，求，求（1）周期）周期 T；（；（2）当速度为）当速度为 12cm/s 时的位移。时的位移。解：（解：（1）振动方程为：）振动方程为：x =Acos（+）=12cos（+）6 =12 cos（1+）v =-A sin（+）24=-12 sin（1+）62+（24/）2 =122 1/=（122-62）1/2/24=0.433 (s)T=2/=0.866 (s)（2）设速度）设速度 v=12 cm/s 时，位移为时，位移为 x2 x2=12 cos（2+）12=-12 sin（2+）x22+（12/）2 =122 x2=122-（12/）2 1/2 =10.82 cm 或或 x2=
16、-10.82 cmxV0-10.8oV010.8 A-6 一质点在一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点（点时作为计时起点（t=0），经过），经过 2 秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过 B 点，点，再经过再经过 2 秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在点，若已知该质点在 A、B 两两点具有相同的速率，且点具有相同的速率，且 AB=10cm。求：。求：1、质点的振动方程；、质点的振动方程；2、质点在、质点在 A 点处的速率。点处的速率。V=-Asin(t+)=-Asin-Asin1=-V1-Asi
17、n(-1)=Asin1=V1-Asin(-1)=-Asin1=-V1-Asin(+1)=Asin1=V1图中四个矢量的位置上有相同图中四个矢量的位置上有相同速率。速率。ABvxx111t=0 st=2 st=4 sABot=6 s A-6 一质点在一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过动通过 A点时作为计时起点（点时作为计时起点（t=0），经过），经过 2 秒后质秒后质点第一次经过点第一次经过 B 点，再经过点，再经过 2 秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且两点具有相同的速
18、率，且 AB=10cm。求：。求：1、质点的振动方程；、质点的振动方程；2、质点在、质点在 A 点处的速率。点处的速率。解：解：1、由旋转矢量图和、由旋转矢量图和 vA=vB可知可知 T/2=4s，即，即 T=8s=2 /T=/4 rad/sAO=BO=AB/2=10/2=5cmABvxx111t=0 st=2 st=4 sABot=6 s 因为因为 21=t 所以所以 1=t/2 =(/4)(4-2)2 =/4初相初相=+1 =+/4=5/4振幅振幅 A=AO/cos(/4)=5 0.707=7.07 cm所以，质点的振动方程为：所以，质点的振动方程为：x =7.07 cos(t/4+5 /
19、4)cmABvxx111t=0 st=2 st=4 sABot=6 s A-3 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相为（则其初位相为（A）/6 （B）5/6 （C）5/6（D）/6 （E）2/3因为因为 v=+/2=/3 所以所以=/2/3=5/6 答案答案 （c）vvmvm20tvovmvm/2t=0/3v=A sin(+)=A cos(+/2)=Av cos(+v)例例 人以恒定速率人以恒定速率0hh0 0rXYvx求求:任一位置船之速度、加速度。任一位
20、置船之速度、加速度。运动，运动，vhOh0 0rXYvxrrxh2 22 2=+xtdd=iv船xhtdd2 22 2=+xxxht2 22 2=+ddxh2 2i+=0 x2 2vt=addv船id=dx2 22 2thi=x3 302 22 2v船之速度为船之速度为OA同时同时OA长度长度 r 缩短的速率为 v0rtdd0v=xt=iddv船 轨道方程轨道方程 x2+y2=9:圆柱面圆柱面 z=0 :Oxy平面平面 轨道是两者交线轨道是两者交线,为圆为圆,运动是圆周运动运动是圆周运动例例1-1 运动方程运动方程 分量式分量式:x=3sin5t y=3cos5t z=0 矢量式矢量式:r(t
21、)=3sin5t i+3cos5t j +0 k 第一章例题（课内）第一章例题（课内）例例1-2 1-2 质点沿半径为质点沿半径为 R R 的圆周作匀速率运动，的圆周作匀速率运动，每每 t t 秒转一圈，求在秒转一圈，求在 2t 2t 时间间隔中，其平时间间隔中，其平均速度的大小与平均速率。均速度的大小与平均速率。解：解：因质点在因质点在 t=2t 2t 间隔中转了二圈，间隔中转了二圈，路程路程 s=4R，位移位移 r=0 ，所以，所以|v|=|r/t|=0 v =s/t =4R/2t =2R/t 例例1-3 1-3 有一质点沿有一质点沿x x轴作直线运动，运动方轴作直线运动，运动方 程为程为
22、 x(t)=4.5tx(t)=4.5t2 2 2t2t3 3 (m)(m)，试求，试求:(1)(1)第第2 2秒内的平均速度秒内的平均速度 v v，(2)(2)第第2 2秒末的速度秒末的速度 v v，(3)(3)第第2 2秒内经过的路程秒内经过的路程 s s 及平均速率及平均速率 v v，(4)(4)第第2 2秒末的加速度秒末的加速度 a a。解解:(1):(1)矢量式：矢量式：r r(t)=x(t)(t)=x(t)i i=(4.5t=(4.5t2 2-2t-2t3 3)i i v vx x=x/x/t=x(2)t=x(2)x(1)/(2-1)x(1)/(2-1)=(4.52=(4.522 2
23、22223 3)(4.5(4.52)=2)=0.5m/s 0.5m/s v v =-0.5=-0.5 i i m/s m/s (2)(2)第第2 2秒末的速度秒末的速度 v v，v vx x=dx/dt (=dx/dt (要先求导再代数值要先求导再代数值!)=9t =9t6t6t2 2t=2t=2 =92 =9262622 2 =6 m/s6 m/s v v=6 6 i i m/s m/s(3)第第2 2秒内经过的路程秒内经过的路程 s s 及平均速率及平均速率 v v 当质点作直线运动发生来回运动时，必须先当质点作直线运动发生来回运动时，必须先求出质点反向时的时刻，即求出质点反向时的时刻，即
24、 vx x=0 的的时刻，这时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程。的路程。根据根据 vx x=9t6t2 2=0，可求出，可求出 t1 1=0 或或 t2 2=1.5 s s由此可求得质点在第由此可求得质点在第2秒内经过的路程为：秒内经过的路程为：s=|x(1.5)x(1)|+|x(2.0)x(1.5)|=2.25 (m)平均速率为平均速率为:v=s/t =2.25/1=2.25 (m/s)(4)第第2 2秒末的加速度秒末的加速度 a a 加速度加速度 ax =dvx/dt (要先求导再代数值要先求导再代数值!)=912t|t=2 =9
25、122 =-15 =-15 (m/s2 2)a a=-15=-15 i i (m/s2 2)因为此时加速度因为此时加速度与与速度速度方向相同，方向相同，所以所以质点在秒末作加速运动。质点在秒末作加速运动。例例1-4 1-4 已知：已知：a=kv （k 为常数），求任意为常数），求任意时刻速度和位置。时刻速度和位置。(第二类问题）第二类问题）解：解：(v=vo+ot adt=vo+ot-kv dt v?)a=dv/dt=kv dv/v=kdt vov dv/v=o t kdt ln(v/vo)=kt v=vo e-k t x=xo+ot voe-k t dt =xo+vo(1e-k t )/k
26、例例1-5 1-5 已知：已知：a=k x （k 为常数），求任意位为常数），求任意位置与速度的关系。置与速度的关系。(第二类问题）第二类问题）解：解：(v=vo+ot adt=vo+ot kx dt v?)a=dv/dt a=dv/dt =(dv/dx)(dx/dt)=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx =vdv/dx =kx =kx vdv=kxdx vov vdv=xo x kxdx (v2vo2)/2=k(x2xo2 )/2 例例1-6 已知质点在已知质点在Oxy平面内的运动方程为平面内的运动方程为 r(t)=2t i +(2t2)j (SI)，求求:(1)质点的轨迹方质点的轨
27、迹方程；程；(2)质点的速度和速率；质点的速度和速率；(3)质点在直角坐质点在直角坐标系和自然坐标系中的加速度；标系和自然坐标系中的加速度；(4)轨迹的曲轨迹的曲率半径率半径。(第一类问题）第一类问题）解解:(1)运动方程分量式运动方程分量式:x=2t,y=2t2 2 消去消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：y=2x 2/4 (轨迹为抛物线轨迹为抛物线 )(2)vx x=dx/dt=2 (m/s)vy =dy/dt=2t (m/s)v =(vx2+v+vy y2 2)1/2=2(1+t2 2)1/2 (m/s)(2)vx x=dx/dt=2 (m/s)vy =dy/dt=2t (m/s)v =(
28、vx2+v+vy y2 2)1/2=2(1+t2 2)1/2 (m/s)v 为速度的大小为速度的大小,也是也是速率的值。速率的值。速度的速度的方向为方向为：tg=vx x/vy=-tvxvyv(3)在直角坐标中在自然坐标系中在直角坐标中在自然坐标系中:ax x=dvx/dt=0 (m/s2 2)ay y=dvy/d t=2 (m/s2 2)at t=dv/dt=d 2(1+t2 2)1/2/dt =2t/(1+t2 2)1/2 (m/s2 2)an n=(a2at t2 2)1/2=(ax x2 2+ay y2 2-at t2 2)1/2 =2/(1+t2 2)1/2 (m/s2 2)(4)=
29、v 2/an n =2(1+t2)1/22.(1+t2 )1/2/2 =2(1+t2 )3/2 3/2 (m)例例1-6 某某飞飞轮轮转转速速为为600转转/分分，制制动动后后转转过过10圈圈后后静静止止。设设制制动动过过程程中中飞飞轮轮作作匀匀变变速速转转动动，试试求求制制动动过过程程中中飞飞轮轮的的角角加加速速度度及及经经过过的的时时间间。解解:已知飞轮的初角速度已知飞轮的初角速度 o=2no/60 =2600/60 =20(rad/s)末角速度末角速度 =0转过角位移转过角位移-0=102 =20(rad)o=20 (rad/s)=0角加速度角加速度 =(2 o2)/2(0)=0(20)
30、2 /220 =10 (rad/s2)负号表示飞轮作减速转动。负号表示飞轮作减速转动。由此可知制动过程所需的时间由此可知制动过程所需的时间 t =tto =(o)/=(020)/(10)=2 (s)例例1-8 物体沿物体沿X轴简谐振动，振幅为轴简谐振动，振幅为 0.12m，周，周期为期为 2s。当。当t=0时，位移为时，位移为 0.06 m，且向，且向X 轴轴正方向运动。求运动表达式，并求从正方向运动。求运动表达式，并求从 x=-0.06m处回到平衡位置所需的最少时间。处回到平衡位置所需的最少时间。解：已知解：已知 A=0.12 m，T=2s，=2/T=(rad/s).(1)初态初态 t=0
31、时，时，x=0.06，v 0，初相初相 =/3,运动表达式为：运动表达式为：x=0.12 cos(-/3)(m)(t=1 s)B(t=5/3 s)BA(t=0)x(m)OC0.06-0.06(2)当当 x=-0.06 m时，物体在旋转矢量图中的位时，物体在旋转矢量图中的位置可能在置可能在 B 或或 B处，显然处，显然 B 处回到平衡位置处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。处所需时间为最少。因为因为 OB 与与 OC 夹角为夹角为 =/6，所以最，所以最少时间为：少时间为：t =/=(/6)/=1/6 秒秒(t=1 s)B(t=5/3 s)BA(t=0)x(m)OC0.06-0.06、000.
32、=31101=21=t1+=13=2=56xA3A2xxAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐振动的振动曲线如图所示。.x=A cos(56t3)本题本题32AxAt=1t=0的另一种求法：的另一种求法：2+32=T1T=125.(1-):(2)=t:T=2/T=5/6例例1-9 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的相位差为，与第一个简谐振动的相位差为 -=/6，若第一个简谐动的振幅为，若第一个简谐动的振幅为
33、 17.3 cm，试求：，试求：1、第二个简谐振动的振幅、第二个简谐振动的振幅 A22、第一、二两个简谐振动的相位差、第一、二两个简谐振动的相位差 1-2解：已知解：已知 A=20 cm A1=17.3 cmA2=A2+A12-2AA1cos(-)1/2 =10 cm-xoAA2A1 A2 =A12+A22+2A1A2 cos(1-2)cos(1-2)=A2-A12+A22/2A1A2 =0 1-2=/2 由图分析由图分析 A 2 超前超前 A1 2 -1=/2 1-2=/2-xoAA2A1例例1-10一人骑自行车向东而行，当速度为一人骑自行车向东而行，当速度为 10 m/s 时，觉得有南风时
34、，觉得有南风；当速度增至；当速度增至 15 m/s，觉得，觉得有东南风，求风的速度有东南风，求风的速度 v 风对地风对地。解：当解：当 v人对地人对地1=10 i 时时 v风对人风对人1=v1 j v风对地风对地 =v风对人风对人1+v人对地人对地 1 =v1 j+10 i=10 i+v1 j (1)当当 v人对地人对地2=15 i 时时 v风对人风对人2=-0.707v2 i+0.707v2 j v风对地风对地 =v风对人风对人2 +v人对地人对地2 =-0.707v2 i+0.707v2 j+15 i =(15-0.707v2)i+0.707v2 j (2)45oijv风对人1 v风对人2
35、o(v1)(v2)(1)与与(2)式相等：式相等：10 i+v1 j=(15-0.707v2)i+0.707v2 j 分量相等分量相等:10=15-0.707v2 v2=7.07 m/s v1=0.707v2 v1=0.707 7.07=5 m/s v风对地风对地=10 i+v1 j =10 i+5 j m/s v风对地风对地=(102 +52 )1/2 =11.2 m/s tg =5/10=0.5 =27o (东偏北东偏北)45oijv1风对人v2风对人o(v2)(v1)v风对地27o例例111 设河面宽设河面宽 l=1 km，河水由北向南流动，流速，河水由北向南流动，流速 v=2 m/s，
36、一人相对河以，一人相对河以 u=1.5 m/s 的速率将船从西岸的速率将船从西岸划向东岸，问：划向东岸，问：(1)若要使船到达对岸的时间最短，船若要使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少角度头与河岸应成多少角度?最短时间等于多少最短时间等于多少?到达对岸到达对岸时，船在下游何处时，船在下游何处?(2)若要使船相对于岸走过的路程若要使船相对于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度最短，船头应与岸成多大角度?到达对岸时，船在下到达对岸时，船在下游何处游何处?要化多少时间要化多少时间?解：设河岸为解：设河岸为 S 系，河水为系，河水为 S系，系，u表示船相对河水速度，表示船相对河水速度，v 表示
37、表示河水相对河岸的速度。船相对于河水相对河岸的速度。船相对于河岸的速度为河岸的速度为:u=u+vuvudl船船(1)(1)如图可知，当船头与河岸的夹角如图可知，当船头与河岸的夹角 =/2=/2 时，时间最短，故船到达对岸所需时，时间最短，故船到达对岸所需的最短时间为的最短时间为 t tminmin=l/u=l/u =1000 =1000 1.51.5 =667 s =667 s下游位置下游位置:d=vt d=vtminmin =2 =2 667667 =1334 m =1334 muvudl船船(2)船相对于河岸的速度船相对于河岸的速度 u 与河岸与河岸 之间的夹角之间的夹角越接近于越接近于/
38、2，船相对于岸走过的路程就越短。，船相对于岸走过的路程就越短。以矢量以矢量 v 的终点为圆心，以矢量的终点为圆心，以矢量 u 的大小的大小 u 为半径作圆。显然当为半径作圆。显然当 u 沿该圆的切线时沿该圆的切线时,角度角度最大最大,(现在现在/2,越大越好越大越好)，而船走过的路程最短。而船走过的路程最短。从图可看出：从图可看出：sin=u/v =1.5/2=0.75 即即 =4830因而船头与河岸的夹角：因而船头与河岸的夹角：=90-4830=4130uvuld船船 到达对岸所化的时间：到达对岸所化的时间：t=l/usin =1000(1.5 0.6626)=1006 秒秒 =16 分分
39、46 秒秒下游距离：下游距离：d=(v-ucos)t =(2-1.5 0.7490)1006 =882 米米uvuld船船一一 些些 补补 充充 说说 明明Xt0AXt0AT/4T/23T/4T/23/22振動曲綫振動曲綫 (振動的振動的 x-t 圖圖)x=A cos()=A cos(2/T)(=0)振動曲綫振動曲綫 (振動的振動的 x-t 圖圖)XXt0(1)(2)tt=(-)/M1M2XXt0(1)(2)tM1M20PQAAcosAcos 0称振动称振动 2 超前超前振动振动10=t =0XXt0(1)(2)tM1M2XXt0(1)(2)tM1M2t3/2-/2=3/2 或或-/2/2=/
40、2一、狭义相对论基本原理一、狭义相对论基本原理二、洛仑兹变换二、洛仑兹变换小结小结1.相对性原理相对性原理 2.光速不变原理光速不变原理坐标变换式坐标变换式1xu=2txcutx12=t2三、狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观1、长度收缩、长度收缩L=Lo122、时间膨胀、时间膨胀tt=123、同时的相对性、同时的相对性1 1、一观测者测得运动米尺长为、一观测者测得运动米尺长为 0.5 m 0.5 m，求此米，求此米尺以多大的速度相对观测者运动尺以多大的速度相对观测者运动?解：已知解：已知 l =0.5 m,l=1.0 m 由长度收缩由长度收缩 l =l(1-u2/c2 )1/2 得得 u
41、=(1-l 2/l 2 )1/2 c =(1-0.5 2/1.0 2)1/2 c =0.866 c2 2、一个粒子将在、一个粒子将在 2102106 6 秒内衰变，当这个粒子秒内衰变，当这个粒子以以 0.8c 0.8c 的速度运动时，一个实验室中的观测者的速度运动时，一个实验室中的观测者测得的衰变时间将是多少测得的衰变时间将是多少?解：已知解：已知 t=t=2102106 6 s,u=0.8 cs,u=0.8 c 由时间膨胀得：由时间膨胀得：t t=t/(1-ut/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 =2102106 6/(1-0.8(1-0.82 2)1/21/2 =3.33 =3.
42、3310106 6 s s3 3、一列静长为、一列静长为l l0 0=0.5 km=0.5 km 的火车，以的火车，以v=100 v=100 km/h km/h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少的观察者测出这两个闪电的时间差是多少?先出先出中车头还是车尾中车头还是车尾?v vx1,t1x2,t2x1,t1x2,t2头头尾尾SX解：已知解：已知 x x=0.5 km,u=100 km/h,=0.5 km,u=100 km/h,t=0 st
43、=0 s由由洛仑兹变换洛仑兹变换 t=(t=(t t+u+u x x/c/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2得：得：t t=-u=-u x x/c/c2 2 =-(100000/3600)=-(100000/3600)500/(3500/(3 10108 8)2 2 =-1.54 =-1.54 10 10-13-13 s s因因 t t=t=t头头-t-t尾尾 0,0,故故先出中车头先出中车头.v vx1,t1x2,t2x1,t1x2,t2头头尾尾SX4 4、牛朗星与地球相距约、牛朗星与地球相距约1616光年，一宇航员准备光年，一宇航员准备用用4 4年时间年时间
44、(他手上手表显示的时间他手上手表显示的时间)抵达牛朗星，抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行问宇宙飞船将以多大的速度飞行?解一：解一：已知已知 x=16c,x=16c,t t=4 =4 设设宇宙飞船速度为宇宙飞船速度为 u,u,则有则有 t=t=x/u x/u 由由洛仑兹变换洛仑兹变换 t t=(=(t-ut-u x/cx/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 =(x/u-ux/u-u x/cx/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 =x/u(1-ux/u(1-u2 2/c/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1
45、/21/2 =x/u(1-ux/u(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2得得 (c(c t t/x)(u/c)=(1-ux)(u/c)=(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 x=16c,x=16c,t t=4 =4 (c (c t t/x)(u/c)=(1-ux)(u/c)=(1-u2 2/c/c2 2)1/2 1/2 两边平方：两边平方：(c(c t t/x)x)2 2 u u2 2/c/c2 2=1-u=1-u2 2/c/c2 2整理得：整理得：u=c/1+(cu=c/1+(c t t/x)x)2 2 1/21/2 =c/1+(4c/16c)=c/1+(4c/16c)2 2 1/
46、21/2 =(16/17)=(16/17)1/21/2 c c =0.97 c =0.97 c解二解二:用长度收缩用长度收缩 x x=x(1-ux(1-u2 2/c/c2 2)1/2 1/2=16c(1-u=16c(1-u2 2/c/c2 2)1/2 1/2 x x=u u t t=4u 解得解得 u=0.97 cu=0.97 c5 5、在参考系、在参考系K K中的同地点发生的两个事件，其先中的同地点发生的两个事件，其先后时间间隔为后时间间隔为 4 4 秒，在另一系秒，在另一系KK中测得此两事中测得此两事件的时间间隔为件的时间间隔为 5 5 秒，求这两个参考系之间的秒，求这两个参考系之间的相对
47、运动速率。相对运动速率。解一：用解一：用洛仑兹变换洛仑兹变换已知已知 x=0 x=0，t=4 s,t=4 s,t t=5 s=5 s t t=(=(t-ut-u x/cx/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 =t/(1-ut/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 u=c u=c 1-(1-(t/t/t t)2 2 1/21/2 =c =c 1-(4/5)1-(4/5)2 2 1/21/2 =0.6 c =0.6 c解二解二:用时间膨胀用时间膨胀 t t=t/(1-ut/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 t=4 s,t=4 s,t t=5 s=5
48、su=cu=c 1-(1-(t/t/t t)2 2 1/21/2 =c =c 1-(4/5)1-(4/5)2 2 1/21/2 =0.6 c =0.6 c6 6、两个参考系中观测者和、两个参考系中观测者和以以 0.6c 0.6c 相对相对速度互相接近，如果测得两者的初始距离是速度互相接近，如果测得两者的初始距离是 20 m 20 m，则，则测得两者经过多少时间测得两者经过多少时间 t t 后后相遇。相遇。解一解一:由由洛仑兹变换洛仑兹变换 t=(t=(t t+u+u x x/c/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2根据题意相遇时间根据题意相遇时间 t=20/0.6
49、c,t=20/0.6c,x x=0,u=0.6 c=0,u=0.6 c t t=(1-u=(1-u2 2/c/c2 2)1/2 1/2 t t =(1-0.6 =(1-0.62 2)1/2 1/2 20/0.6c 20/0.6c =8.89 =8.89 10 10-8-8 s s解二解二:用长度收缩用长度收缩x x=x(1-u=x(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2 =20(1-=20(1-0.60.6 2 2)1/2 1/2 =16=16 m mx x=u u t t =0.60.6 c c t t解得解得 t t=8.89 =8.89 10 10-8-8 s s6 6、两个参考系中观
50、测者和、两个参考系中观测者和以以 0.6c 0.6c 相对相对速度互相接近，如果测得两者的初始距离是速度互相接近，如果测得两者的初始距离是 20 m 20 m，则，则测得两者经过多少时间测得两者经过多少时间 t t 后后相遇。相遇。事件：事件：O 到达到达x1 O 到达到达x2 S系：系：X1，t1 X2，t2 S 系：系：X1 ，t1 X2 ，t2 t t=t2-t1=(t2+u+u x2/c/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2-(t1+u+u x1/c/c2 2)/(1-u)/(1-u2 2/c/c2 2)1/21/2=(=(t t+u+u x x/c/c2