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1、晶体结构的对称性和晶系晶体结构的对称性和晶系旋旋转反射反射正交变换如果一个物体在某一正交变换下不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。1.1.对称元素对称元素（symmetry elements）标志晶体对称性的几何元素，标志晶体对称性的几何元素，称为称为对称元素，是对称元素，是在对称操作中保持不动的轴、面在对称操作中保持不动的轴、面或或点点。对称元素对称元素包括包括对称面对称面（或或镜面镜面）、）、对称中心对称中心（或或反演中心反演中心）、）、旋转轴旋转轴和和旋转反演轴旋转反演轴。与上述对称元素相应的与上述对称元素相应的对称操作对称操作分别是分别是：*对对对称面的反映对称面的反映；*晶体
2、各点通过中心的反演晶体各点通过中心的反演；*绕轴的一次或多次旋转；绕轴的一次或多次旋转；*一次或多次旋转之后再经过中心的反演。一次或多次旋转之后再经过中心的反演。转动转动（rotation）若晶体与直角坐标系绕若晶体与直角坐标系绕 轴转过轴转过角，角，则晶体中则晶体中 任一点任一点 变为另一点变为另一点 其变换关系为其变换关系为 或用矩阵表示为或用矩阵表示为转动操作由下面变换矩阵转动操作由下面变换矩阵A表示表示，即即中心反演中心反演（inversion through a point）取中心为原点，将晶体中任一点取中心为原点，将晶体中任一点 另一点另一点 ,其变换关系为其变换关系为 其矩阵表示
3、形式为其矩阵表示形式为 用变换矩阵用变换矩阵A表示中心反演操作表示中心反演操作，即即 对称中心和反演操作对称中心和反演操作无论熊夫利符号，还是无论熊夫利符号，还是国际符号均用国际符号均用i表示。表示。镜面反映镜面反映（reflection across a plane）以以变成另一点变成另一点 ，这一变换称为，这一变换称为镜像变换镜像变换，其矩阵形式为其矩阵形式为 作为镜面，将晶体中任一点作为镜面，将晶体中任一点 用变换矩阵用变换矩阵A表示表示平面反映操作平面反映操作操作操作，即即 标志对称面的符号，熊夫利符号用标志对称面的符号，熊夫利符号用，国际国际符号符号用用m，平面反映操作也用同样的符号
4、表示。平面反映操作也用同样的符号表示。绕面中心连线转动/2，3/2。3个立方轴，共9个对称操作。绕对棱中心连线（也称面对角线），转动，6个不同的面对角，共6个对称操作。绕对角连线（也称体对角线），转动2/3，4/3。4个不同的体对角线，共8个对称操作。原位操作，不动也算一个对称操作。立方体的几何中心也是对称中心，进行中心反演操作，以上每一个转动加以个中心反演都是对称操作。立方体的对称操作立方体的对称操作-共共4848个个正六角柱的对称操作正六角柱的对称操作-24-24个个绕底面中心连线转动/3，2/3，4/3，5/3。共5个对称操作。绕对棱中心连线，转动，3条这样的线，共3个对称操作。绕相对面
5、中心连线，转动。三条这样的线，共3个对称操作。原位操作，不动也算一个对称操作。几何中心也是对称中心，进行中心反演操作，以上每一个转动加以个中心反演都是对称操作。由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具由于晶面作有规则地配置，因此晶体在外型上具有一定的对称性质。有一定的对称性质。对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性。的特性。与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的与一般几何图形的对称不同，由于晶格周期性的限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。限制，晶体仅具有为数不多的对称类型。在晶体中，布拉菲格子是按其对称性来进行分类。在晶体中，布拉菲格子
6、是按其对称性来进行分类。描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，描述晶格的全部对称性的对称操作的集合，称为称为对称群对称群（symmetry group），或或空间群。空间群。设正交变换A和正交变换B都是晶体的对称操作，那么经过变换A后紧接着进行变换B晶体保持不变。这就是说，如果A和B是对称操作，则C=AB也是对称操作。一般来说，一个物体的全部对称操作将构成一个闭合的体系，其中任意两个对称操作相乘结果仍包含在这个体系之中。*这个性质，称为群的这个性质，称为群的闭合性。闭合性。在图中，在图中，是晶体中某一晶面（纸面）上的是晶体中某一晶面（纸面）上的一个晶列，一个晶列，AB是是这晶列上相邻两个格点的
7、距离。这晶列上相邻两个格点的距离。如果晶格绕通过格点如果晶格绕通过格点 A并垂直于纸面的并垂直于纸面的 u轴逆时轴逆时针方向转过针方向转过角后，能自身重合，则由于晶格的周期角后，能自身重合，则由于晶格的周期性，通过格点性，通过格点 B 也有一个旋转轴也有一个旋转轴 u。通过通过A处的处的u轴顺时针方向转过轴顺时针方向转过后，使后，使 点转到点转到。若。若B B通过通过u u轴逆时针方向转过轴逆时针方向转过角后，角后，点转到点转到 经过转动后，要使晶格能自身重合，则经过转动后，要使晶格能自身重合，则 点必须点必须 是格点。是格点。由于由于 和和AB平行，平行，而且满足而且满足 因此，因此，的值只
8、能取的值只能取 对于晶体，当对于晶体，当n=1，2，3，4，6时，晶格绕过格点时，晶格绕过格点的固定轴转过角度的固定轴转过角度 后，能使晶格能自身重合后，能使晶格能自身重合。这里这里，n称为称为转轴的次数转轴的次数或或度数。度数。显然，显然，在晶体中只能有在晶体中只能有1、2、3、4、6度等度等5个旋转个旋转对称轴。对称轴。分别对应着分别对应着n度旋转对称操作。度旋转对称操作。与上述相应的熊夫利符号分别是与上述相应的熊夫利符号分别是 表中列出了文献资料中常用的对称轴度数与对应的表中列出了文献资料中常用的对称轴度数与对应的几何符号。几何符号。表表 对称轴度数的符号表对称轴度数的符号表对称轴的度数
9、对称轴的度数对称轴的度数对称轴的度数2 2 2 23 3 3 34 4 4 46 6 6 6符号符号符号符号 一般地，几何符号标记在对称轴两端。一般地，几何符号标记在对称轴两端。*晶面间距与倒格矢长度的关系晶面间距与倒格矢长度的关系 ABC是是晶面族晶面族 由于该晶面的法线可以用由于该晶面的法线可以用 中最靠近原点的晶面中最靠近原点的晶面，其面间距等于原其面间距等于原点到点到ABC面的距离。面的距离。表示，所以有表示，所以有即：即：倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。倒格矢的长度反比于晶面族的面间距。若晶体绕某一固定轴旋转若晶体绕某一固定轴旋转 2/n以后，再经过中心以后，再经过中心反演，晶体能自身重合，反演，晶体能自身重合，则称则称该轴该轴n度旋转反演轴，度旋转反演轴，这种复合对称操作这种复合对称操作称为称为旋转反演对称操作。旋转反演对称操作。晶体的旋转反演轴也只有晶体的旋转反演轴也只有1，2，3，4，6度。度。国际符号用国际符号用表示相应的旋转轴和表示相应的旋转轴和 旋转操作。旋转操作。