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1、一一维原子原子链的振的振动3.1 一一维原子原子链的振的振动一、一一、一维单原子原子链的振的振动每个原子的每个原子的质量量为m，平衡，平衡时原子之原子之间的距离的距离为a，由于由于热振振动各原子离开了平衡位置，用各原子离开了平衡位置，用xn表示第表示第n个原子离个原子离开平衡位置的位移，第开平衡位置的位移，第n个原子与第个原子与第n+1个原子的相个原子的相对位移位移为xn+1-xn，第，第n个原子与第个原子与第n-1个原子的相个原子的相对位移位移为xn-xn-1 n-2 n-1 n n+1 n+2 xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2设在平衡位置在平衡位置时，两个原子的相互作用，两个原
2、子的相互作用势能能为u(a)，令，令，产生相生相对位移后，相互作用位移后，相互作用势能能为第第1项为常数，第项为常数，第2项为项为0，高阶项可忽略，恢复，高阶项可忽略，恢复力为力为简谐近似简谐近似只考只考虑近近邻原子之原子之间的相互作用力的相互作用力，则第第n个个原子受到的作用力原子受到的作用力为xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2如果两个相对位移符号是相同的，则第如果两个相对位移符号是相同的，则第n个原个原子受到的这两个力方向是相反的。子受到的这两个力方向是相反的。合力合力为由牛由牛顿运运动定律得第定律得第n个原子的运个原子的运动方程方程为方程共有方程共有N个，组成联立的线性齐次方程
3、组，设方程的个，组成联立的线性齐次方程组，设方程的解是一振幅为解是一振幅为A，角频率为，角频率为的简谐运动：的简谐运动：n取1,2,N上式表明：一上式表明：一维原子原子链中的每个原子都在做角中的每个原子都在做角频率率为的的简谐振振动，不同位置的原子位相可以不，不同位置的原子位相可以不同，如果第同，如果第n个原子与第个原子与第n个原子的位相因子之差个原子的位相因子之差为则则表明两个原子因振动产生的位移相同，由于表明两个原子因振动产生的位移相同，由于n是任意的，因是任意的，因此，不同的原子总有与其位移相同的许多个原子，因此，在此，不同的原子总有与其位移相同的许多个原子，因此，在晶体中存在一定频率的
4、波晶体中存在一定频率的波格波格波格波的波格波的波长为，波速，波速为但是，并不是任一频率的格波都会在晶体中传播，将但是，并不是任一频率的格波都会在晶体中传播，将xn代入代入方程得：方程得：色散关系色散关系中的中的qa改变改变2 的整数倍，即的整数倍，即因此，因此，qa取取2 范围内的值范围内的值就可以给出所有的格波，就可以给出所有的格波，qa再取其他的值并不给出新的解。再取其他的值并不给出新的解。qa取取-，q的取值的取值正是一维原子链的第一布里源区。正是一维原子链的第一布里源区。当当q很小时很小时波速波速为常数为常数二、一二、一维双原子双原子链对于一于一维格子，如果原胞内含有多个原子，格子，如果原胞内含有多个原子，则是一是一维复式格复式格子。考子。考虑两个原子的情况，即一两个原子的情况，即一维双原子双原子链，设一个原胞的体一个原胞的体积为2a，质量量为m的原子分的原子分别位于位于2n-1,2n+1,2n+3,各点，各点，质量量为M的原子分的原子分别位于位于2n-2,2n,2n+2,各点，仍假各点，仍假设回回复力复力为-，只考，只考虑虑近近邻邻原子的相互作用，原子的相互作用，则则 2n-2 2n-1 2n2n+1 2n+2 a a a aN个N个共有共有2N个方程，设其解为个方程，设其解为在在x2n,x2n+1中中q2a改变改变2 的整数倍，的整数倍，