《线面垂直面面垂直的知识点地总结经典例的题目及解析汇报高考的题目练习及问题详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线面垂直面面垂直的知识点地总结经典例的题目及解析汇报高考的题目练习及问题详解.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 直线、平面垂直的判定及性质【考纲说明】1、能够认识及理解空间中线面垂直的有关性质及判定定理。2、能够运用公理、定理及已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【知识梳理】一、直线及平面垂直的判定及性质1、 直线及平面垂直（1）定义：如果直线及平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线及平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。如图，直线及平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。（2）判定定理：一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线及此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.（3）性质定理：垂直于同一个平面的两
2、条直线平行。即.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。2、 直线及平面所成的角平面的一条斜线及它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线及这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线及平面所成的角是直角；一条直线及平面平行，或在平面内，则此直线及平面所成的角是的角。3、 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为，那么两个面分别为的二面角记作.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：. 二、平面及平面垂直的判
3、定及性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直，记作.【经典例题】【例1】（2012浙江文）设是直线,是两个不同的平面（）A若a,则aB若a,则a C若a,a,则D若a, a,则【答案】B 【解析】利用排除法可得选项B是正确的,a,则a.如选项A:a,时, a或a;选项C:若a,a,或;选项D:若若a, a,或. 【例2】（2012四川文）下列命题正确的是（）A若两条直线及同一个平面所成的
4、角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线及这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C 【解析】若两条直线及同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确. 【例3】（2012山东）已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：一条直线；一个平面；一个点
5、；空集其中正确的是 （）A BC D【答案】C【解析】如图1，当直线m或直线n在平面内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面的距离相等且所在平面及已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面及已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C. 【例4】（2012四川理）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线及所成的角的大小是.【答案】90 【解析】方法一:连接D1M,易得A1D1 D1M, 所以平面A11, 又A1M平面A11,所以A1D1,故夹角为90 方法二:以D为原点,分别以, , 1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D.设正方体边长为2
6、,则D(0,0,0)(0,2,1)(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以 = 0,故D1M,所以夹角为90 【例5】（2012大纲理）三棱柱中,底面边长及侧棱长都相等,则异面直线及所成角的余弦值为.【答案】 【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有,则 而 【例6】（2011福建）如图，正方体A1B1C1D1中，2，点E为的中点，点F在上，若平面1C，则线段的长度等于 【答案】【解析】面1C，.又E是的中点，F是的中点. 【例7】（2012年山东文）如图,几何体是四棱锥,为正三角形,.（1）求证:;（2）若为线段的中点,求证:平面.【解析】（1）设中点为O,连接,则由知, 又已知,所以平面
7、. 所以,即是的垂直平分线,所以. （2）取中点N,连接,M是的中点, 是等边三角形,.由120知,30, 所以60+30=90,即,所以, 所以平面平面,又 平面,故平面. 另证:延长相交于点,连接.因为,. 因为为正三角形,所以,则, 所以,又, 所以D是线段的中点,连接, 又由点M是线段的中点知, 而平面, 平面,故平面. 【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P中，底面为平行四边形45，1，O为的中点，平面，2，M为的中点（1）证明：平面； （2）证明：平面；（3）求直线及平面所成角的正切值【解析】（1）证明：连接，在平行四边形中，因为O为的中点，所以O为的中点又M为的中点，所以.因为
8、平面，平面，所以平面.（2）证明：因为45，且1，所以90，即，又平面，平面，所以.而O，所以平面.（3）取中点N，连接，.因为M为的中点，所以，且1.由平面，得平面，所以是直线及平面所成的角，在中，1，所以，从而.在中，即直线及平面所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥中平面,底面是等腰梯形.（1）证明;（2）若42,直线及平面所成的角为30,求四棱锥的体积.【解析】（1）因为 又是平面内的两条相较直线,所以平面, 而平面,所以. （2）设及相交于点O,连接,由()知平面, 所以是直线及平面所成的角,从而. 由平面,平面,知. 在中,由,得2. 因为四边形为等腰梯形,所以
9、均为等腰直角三角形, 从而梯形的高为于是梯形面积 在等腰三角形中, 所以 故四棱锥的体积为. 【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱中,是棱的中点,（1）证明:（2）求二面角的大小.【解析】（1）在中, 得: 同理: 得:面 （2）面 取的中点,过点作于点,连接 ,面面面 得:点及点重合 且是二面角的平面角 设,则, 既二面角的大小为 【课堂练习】（2012浙江理）已知矩形1.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻着，在翻着过程中（）A存在某个位置,使得直线及直线垂直 B存在某个位置,使得直线及直线垂直 C存在某个位置,使得直线及直线垂直 D对任意位置,三直线“及”,“及”,“及”均不垂直（2
10、012四川理）下列命题正确的是（）A若两条直线及同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线及这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A只有1个B恰有3个C恰有4个 D有无穷多个4（2012上海）已知空间三条直线l，m，n若l及m异面,且l及n异面,则 （）Am及n异面.Bm及n相交.Cm及n平行.Dm及n异面、相交、平行均有可能.5（2011烟台）已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：
11、若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D46（2011潍坊）已知m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若n，n，则7.（2010全国卷文）直三棱柱中，若，则异面直线及所成的角等于（ ）A30 B45 C60 D908.（2010全国卷）正方体中，B及平面所成角的余弦值为（ ）A B C D9.（2010全国卷理）已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A1 B C2 D310.（2010全国卷）已知在半径为2的球面上有ABC
12、D四点，若2，则四面体的体积的最大值为（ ）A B C D 11.（2010江西理）过正方体的顶点A作直线L，使L及棱，所成的角都相等，这样的直线L可以作（ ）A1条 B2条 C3条 D4条12.（2012大纲）已知正方形中,分别为,的中点,那么异面直线及所成角的余弦值为 _.13.（2010上海文）已知四棱椎的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是 .14.（2010四川卷）如图，二面角的大小是60，线段.，及所成的角为30.则及平面所成的角的正弦值是 . A DB CA1 D1B1 C1E15.（江西卷文）长方体的顶点均在同一个球面上， ，则，两点间的球面距离为 16.
13、（2010湖南理）如图所示，在正方体A1B1C1D1中，E是棱1的中点。（1）求直线及平面1A1所成的角的正弦值；（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1平面A1？证明你的结论。17.（2012四川文）如图,在三棱锥中,点在平面内的射影在上.（1）求直线及平面所成的角的大小;（2）求二面角的大小.18.（2012陕西文）直三棱柱 A1B1C1中 A1 （1）证明;（2）已知2,求三棱锥的体积. 19.（2012课标文）如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,901是棱1的中点.（1）证明:平面平面（2）平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.（2012福建文）如图,在长方体中,为棱上的一点.（
14、1）求三棱锥的体积;（2）当取得最小值时,求证:平面.【课后作业】1.（2012大纲全国）已知正四棱柱中，为的中点，则直线及 平面的距离为（ ）A2 B. C. D. 12.（2010湖北文）用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的是（ ）ABCD3（2011日照）若l、m、n为直线，、为平面，则下列命题中为真命题的是()A若m，m，则B若m，n，则mnC若，则D若，l，则l4（2011山东）正方体A1B1C1D1中，E、F分别是1、的中点，则及对角面1B1所成角的度数是()A30 B45C60 D1505.（2010全国卷）已知三棱锥中，底面
15、为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线及平面所成角的正弦值为（ ）A B C D6.（2010重庆卷理）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A直线 B椭圆 C抛物线 D双曲线7.（2009四川）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线 D. 直线所成的角为458.（2008海南宁夏）已知平面平面，= l，点A，直线l，直线l，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）A. mB. mC. D. 9.（2007江苏）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题
16、的序号是（ ）A B C D10.（2011全国）已知直二面角，点C为垂足，为垂足，若，则D到平面的距离等于 （ ）A B. C. D. 111.（2009浙江）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 12.（2010上海）各棱长为1的正四棱锥的体积。13下面给出四个命题：若平面平面，是夹在，间的线段，若，则；a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线过空间任一点，可以做两条直线及已知平面垂直；平面平面，P，则；其中正确的命题是(只填命题号) .14.（2009江苏）设及为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相
17、交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线及内的一条直线平行，则及平行；（3）设及相交于直线，若内有一条直线垂直于，则及垂直；（4）直线及垂直的充分必要条件是及内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）. w.15已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有个 16（2012重庆文）已知直三棱柱中,为的中点.（1）求异面直线及的距离;（2）若,求二面角的平面角的余弦值.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F117. （2009山东）如图，在直四棱柱中，底面为
18、等腰梯形，4, 2, 2, E、E分别是棱、的中点. .5 （1） 设F是棱的中点,证明：直线平面；（2） 证明:平面D1AC平面1C1C.ABCMPD18（2008山东）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，（）设是上的一点，证明：平面平面；（）求四棱锥的体积19（2011北京）如图，在四面体P中，点D，E，F，G分别是棱，的中点（1）求证：平面；（2）求证：四边形为矩形；（3）是否存在点Q，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由20（2012天津理）如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,（1）证明丄;（2）求二面角的正弦值;（3）设E为棱上的点,满足异面直线及所成的角为,求的长.【
19、参考答案】【课堂练习】1-11、 12、90 13、9614、15、16、17、,18、19、(1)设知,面, 又面, 由题设知,=,即, 又, 面, 面, 面面; (2) 20、(1) (2) 将侧面绕逆时针转动90展开,及侧面共面.当共线时, 取得最小值1 2得M为的中点连接M在中2, , =90, 平面, 平面,同理可证 平面 【课后作业】1-11、 12、13、14、(1)(2)15、216、E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 17、（1）在直四棱柱中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，1，因为4, 2,且，所以1F1为平行四边形，所以11D，又因为E、E分
20、别是棱、的中点，所以11D，所以11，又因为平面，平面，所以直线平面.（2）连接,在直棱柱中，1平面平面,所以1,因为底面为等腰梯形，4, 2, F是棱的中点,所以，为正三角形，,为等腰三角形，且所以, 又因为及1都在平面1C1C内且交于点C,所以平面1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC平面1C1C.18、（1）在中，由于，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（2）19、（1）证明：因为D，E分别为、的中点，所以.又因为平面，所以平面.（2）证明：因为D，E，F，G分别为，的中点，所以，来源:学+科+网所以四边形为平行四边形又因为，所以.所以四边形为矩形（3）存在点Q满足条件，理由如下：连接，设Q为的中点由(2)知，Q，且，分别取，的中点M，N，连接，.及(2)同理，可证四边形为矩形，其对角线交点为的中点Q，且.所以Q为满足条件的点20、（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系则（2）（3）第 11 页