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1、第一讲 等腰及等边三角形【优秀学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的根本性质有：等腰三角形的底角相等且必为锐角。即为“等边对等角。等腰三角形底边上的中线、高线及顶角的平分线重合。即有“三线合一，且重心，外心，内心，垂心共线。等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两局部，以这条直线为轴，把其中一局部翻转，能使两局部重合，两个底角也重合在一起。等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60.2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的
2、角平分互相重合。三线合一3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。等于其高6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。等边三角形是特殊的等腰三角形【精选精讲】例题1.如下图，ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,假设A=40，求EDF。例题2、如图，ABC中，B=2C，BAC的平分线AD交BC于D，求证：AB+BD=AC例题3、如图，在ABC中，AB=3AC，A的平分线交BC于点D，过B作BEA
3、D，垂足为E，求证：AD=DE。【根底达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，那么其顶角等于 A、30 B、30或150 C、120或150 D、30或120或1502、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:3，那么三角形的底边长为 A、 B、 C、 D、3、如图3，ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AC、AB上，假设BD=CE，CD=BF，那么EDF等于 A、90A B、90A C、180A D、1802A4、如图4，ABC中，B及C的平分线交点P恰好在BC边的高AD上，那么ABC一定是 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、
4、等腰直角三角形5、如图5所示，在ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BDC=75，那么BAC= 。 图3 图4 图56、在ABC中，AB=AC，A-B=27，那么C= 。7、等腰三角形的一个内角是50，那么其他两个内角的度数为 。8、如右图，：ABC，BDE为等边三角形，求证AD=CE。9、：ABC，BDE为等边三角形，C,B,D三点共线，求证AD=EC。10、：ABC为等边三角形，AF=BD=CE,AD,BE,CF依次交于G,H,K。求证：GHK为等边三角形【能力提升】1、在ABC中，AB=AC,D为AC上一点，且AD=BD=BC，那么A= 。2、在ABC中，AB=AC，AB边上的高CD等
5、于腰长的一半，求顶角。【课后练兵】1、如图，在ABC中，AB=AC, A=108,BD平分ABC交AC于点D,求证：BC=AC+CD2、如图，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且AF=BD=CE。求证：三角形DEF是等边三角形。3、：ABC，BDE为等边三角形，A、D、E共线。求证：AE=BE+EC。第二讲 直角三角形【优秀学生必知的数学那点事儿】一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余；2、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形3、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方称为勾股定理a2+b2=c2反之
6、，一个三角形中，有一条边的平方等于其他两边的平方和，那么它是直角三角形二、直角三角形的其他特殊性质1、直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：ab=ch或h=2、直角三角形中，如果一个锐角等于30或454530 a:b:c=1:2 a:b:c=1:1:【精选精讲】例题1、判断以下各组线段为边能否构成直角三角形19 41 40 25 5 5 3 432 42 52 5 例题2、如图，正方形ABCD，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AEEF例题3、在ABC中，假设a2+b2=25,a2-b2=7,又c=5，那么最大边上的高是多少？
7、例题4、ABC中，AB=,BC=,BC边上的中线AD=，那么ABC是什么三角形？例题5、如图，四边形ABCD中，B，D是Rt，A=45假设DC=2cm，AB=5cm，求AD和BC的长【根底达标】1、以下各组数中不能构成直角三角形的一组是 A、5 12 13 B、7 24 25 C、8 15 17 D、4 6 92、适合以下条件的ABC中，直角三角形的个数为 1a= b= c= 2a=b A=45 3A=32 B=58 4a=7 b=24 c=25 5a=25 b=2 c=3 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个3、以下语句 1假设ABC中，a2+b2c2，那么ABC不是直角三角形 2假设AB
8、C为直角三角形，C=90，那么a2+b2=c2 3假设ABC中，a2+b2=c2，那么C=90 4勾股定理的逆定理：假设两边的平方和等于第三边的平方，那么此三角形为直角三角形其中正确的个数是 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4、假设线段a、b、c组成Rt，那么它们的比为 A、2:3:4 B、3:4:6 C、5:12:13 D、4:6:75、Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，那么Rt的周长为 A、121 B、120 C、132 D、不能确定6、如果Rt两直角边的比为5:12，那么斜边上的高及斜边的比为 A、60:13 B、5:12 C、12:13 D、60:1697、三角形三边长分别
9、为2K，K，K，那么它的三个内角分别是 。8、直角三角形的面积为2，斜边上的中线为2，那么直角三角形的周长是 。9、如图，在四边形ABCD中，AB=3cm，CD=12cm，BD=13cm，B=90，求四边形ABCD的面积。10、ABC三边上分别为a、b、c，a=n2-16，b=8n,c=n2+16(n4),求证：C=90.11、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90 求证：A+C=18012、在RtABC中，三边长为整数，且AB=3，AC=5，那么BC边上中线AD的长是多少。13、如图P、Q分别是RtABC的两直角边AB、AC上的点，M是斜边BC的中点，
10、PMQM，假设PB=a，QC=b，求PQ14、如图，四边形ABCD中，BAD=90，AB=BC=2，AC=6，AD=3，求CD。【能力提升】1、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40航行，乙船向南偏东50航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，假设C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少?2、如图，P是长方形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长。3、如图，在ABC中，AB=AC，P为BC上的任意一点，请用学过的知识说明，AB2-AP2=PBPC4、如图，一个牧童在小河的南4Km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8Km北7Km处，他想把他的
11、马牵到小河边饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，把纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠局部AEF的面积。【课后作业】1、在ABC中，A=30，B=45，AC=20，求BC及AB的长。2、如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？3、假设ABC的三边长a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状。4、如图，D、E、F分别是ABC的BC、AB、AC上的点，假设AE=AF，BE=BD，CF=CD，ABBC=2BDDC，AB=3，AC=4，求ABC的面积第 5 页