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1、第七章立体几何第七章立体几何第第37讲直线、平面垂直的判定与性质讲直线、平面垂直的判定与性质链教材链教材 夯基固本夯基固本栏 目 导 航研题型研题型 技法通关技法通关链教材链教材 夯基固本夯基固本激活思维 1已知两条异面直线平行于同一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A平行B垂直C斜交D不能确定【解析】设a，b为异面直线，a平面，b平面，直线la，lb.过a作平面a，则aa，所以 la.同理过b作平面b，则lb.因为 a，b异面，所以 a与b相交，所以 l.B2若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“m”是“ml”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件
2、C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.A3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A与AC，MN均垂直B与AC垂直，与MN不垂直C与AC不垂直，与MN垂直D与AC，MN均不垂直A4(多选)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是()APBACBPCBCCAC平面PBCD平面PAB平面PBCE平面PAC平面PBCBE【解析】因为PA
3、垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以可得PABC，又因为直径所对的圆周角为直角，所以有BCAC，因为ACPAA，AC，PA平面PAC，从而BC平面PAC，又PC平面PAC，从而PCBC，故B正确；因为BC平面PBC，所以有平面PAC平面PBC，故E正确故选BE.知识聚焦1直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：直线l与平面内的_都垂直，就说直线l与平面互相垂直任意一条直线(2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理：两条相交直线都垂直2直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的_所成的_叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_；一条直线和平面平行或在平面
4、内，则它们所成的角是0的角(2)范围：_.射影锐角直角3二面角(1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范围：0，(4)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直两个半平面垂直于棱直二面角4平面与平面垂直的判定定理和性质定理5常用结论(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(不能直接应用)(4)若一条直线和
5、两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行 研题型研题型 技法通关技法通关分类解析【解答】因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一：在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，即B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二：在RtB1BD中，BDCD1，BB13，在Rt
6、B1C1F中，B1C12，C1F1，显然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90，所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质(2019苏州期初调查)如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，ABCD，ADC90，DEDA，M为AE的中点，求证：BEMD.【解答】在矩形CDEF中，CDDE.又因为ADC90，所以CDAD.因为DEADD，DE，AD平面ADE，所以CD平面ADE.又因为D
7、M平面ADE，所以CDDM.又因为ABCD，所以ABDM.因为ADDE，M为AE的中点，所以AEDM.又因为ABAEA，AB，AE平面ABE，所以MD平面ABE.因为BE平面ABE，所以BEMD.【解答】(1)因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC.在RtPAO中，因为PA5，OA3，所以由勾股定理，得PO4.因为ABBC，O是AC的中点，所以BOAC.在RtBAO中，因为AB5，OA3，所以由勾股定理，得BO4.所以PO2BO2PB2，所以POBO.因为BOACO，所以PO平面ABC.因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC.(2)求四面体POBQ的体积【解答】由(1)可知平面PAC
8、平面ABC.因为平面ABC平面PACAC，BOAC，BO平面ABC，所以BO平面PAC，所以四面体POBQ的体积为4.面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)1个转化：在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直(2019河南中原名校联考)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E，F分别是CD，PC的中点(1)求证：BE平面PAD；【解答】因为ABCD，CD2AB，E是CD的中点，所以ABDE且ABDE，所以四边形ABED为平行四边形，所以
9、ADBE.又BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(2)求证：平面BEF平面PCD.【解答】因为ABAD，所以四边形ABED为矩形，所以BECD，ADCD，因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PAAD，所以PA底面ABCD.因为CD底面ABCD，所以PACD，又PAADA，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又PD平面PAD，所以CDPD.因为E，F分别是CD，PC的中点，所以PDEF，所以CDEF.又EFBEE，所以CD平面BEF，因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.【解答】因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由B
10、CD90，得CDBC，又PDDCD，PD，DC平面PCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PCD，故PCBC.(2)求点A到平面PBC的距离【解答】方法一：如图(2)，分别取AB，PC的中点E，F，连接DE，DF.易证DECB，DE平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍由(1)知BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD，因为PDDC，PFFC，所以DFPC，所以DF平面PBC.方法二：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h.因为ABDC，BCD90，所以ABC90.从而AB2，BC1，得ABC的面积SABC1.因为PD平面ABCD，D
11、C平面ABCD，所以PDDC.总结归纳求点到平面距离的三种方法1定义法：求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法2转化法，依据主要有以下两点：(1)若直线l平面，则直线l上所有点到平面的距离均相等(2)若直线AB与平面交于点M，则点A，B到平面的距离之比为AMBM.特别地，当M为AB中点时，A，B到平面的距离相等BC3已知正四面体ABCD的棱长为9，点P是ABC内(含边界)的一个动点，若点P到平面DAB、平面DBC、平面DCA的距离成等差数列，则点P到平面DCA的距离的最大值为_.4已知点P为矩
12、形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2.(1)求点Q到直线BD的距离；【解答】如图，在平面ABCD内作AEBD，E为垂足，连接QE.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，即QABD.又QAAEA，所以BD平面QAE，(2)求点P到平面BQD的距离【解答】方法一：由于Q为PA中点，所以点P与点A到平面BQD的距离相等在平面AEQ中，作AFEQ，F为垂足，则AF平面BQD.方法二：(等积法)设点P到平面BDQ的距离为h，课堂评价 1已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下结论：m，n，mn；m，n，m，n；m，n，m
13、n；m，mnn.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3B【解析】由题意，对于，若m，n，mn，则两平面可能是平行的，所以不正确；对于，若m，n，m，n，只有当m与n相交时，才能得到，所以不正确；对于，若m，n，mn，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正确的；对于，若m，mn，nn，所以是不正确的故选B BC3在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，AB1，BC2，ABC60.(1)求证：平面PAC平面PAB；【解答】因为PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.因为AB1，BC2，ABC60，又因为ACPA，且PAABA，PA平面PAB，AB平面PAB，所以AC平面PAB.又AC平面PAC，所以平面PAC平面PAB.(2)设平面PBC平面PADl，求证：BCl.【解答】因为BCAD，AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC，且平面PBC平面PADl，所以BCl.Thank you for watching