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1、二次函数压轴题强化训练（带详细答案）一解答题（共30小题）1（2016深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线及x轴、y轴的交点分别为A、B，将对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴及直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出的取值范围2（2015枣庄）如图，直线2及抛物线26（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作x轴于点D，交抛物线于点C（
2、1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标3（2007玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线及该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段上的一个动点（点P及A、B不重合），过P作x轴的垂线及这个二次函数的图象交于点E，设线段的长为h，点P的横坐标为x，求h及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线及这个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点P，使得四边形是平行四边
3、形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由4（2013凉山州）如图，抛物线22（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），及y轴交于点C（0，4），以、为边作矩形交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交于点F，交于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；（3）在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断的形状；若不存在，请说明理由5（2009綦江县）如图，已知抛物线（x1）2+3（a
4、0）经过点A（2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线过顶点平行于x轴的直线交射线于点C，B在x轴正半轴上，连接（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t（s）问当t为何值时，四边形分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长6（2013天水）如图1，已知抛物线2（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点
5、（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移m个单位长度后，得到的直线及抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且，则在（2）的条件下，求出所有满足的点P坐标（点P、O、D分别及点N、O、B对应）7（2014河南）如图，抛物线x2及x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，直线3及y轴交于点C，及x轴交于点D点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作x轴于点F，交直线于点E设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若5，求m的值；（3）若点E是点E关于直线的对称点，是否存在点P，使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由
6、8（2013德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形，O为坐标原点，1，3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到，抛物线2经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l及x轴交于一点E，连接，交于F，求出当及相似时，点P的坐标；是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由9（2013河南）如图，抛物线x2及直线2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作x轴于点E，交于点F（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C
7、、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由（3）若存在点P，使45，请直接写出相应的点P的坐标10（2013重庆）如图，已知抛物线2的图象及x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且及y轴交于点C（0，5）（1）求直线及抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作y轴交直线于点N，求的最大值；（3）在（2）的条件下，取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1，的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标11（2013徐州）如图，二次函数2的图象及x轴交于点A（3，0）和点B，以为边在x轴上方作正方形，点P
8、是x轴上一动点，连接，过点P作的垂线及y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段（点P不及A、O重合）上运动至何处时，线段的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时及正方形重叠部分的面积；若不存在，请说明理由12（2013泰安）如图，抛物线2及y轴交于点C（0，4），及x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值（3）若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标13（2014广元）如图甲，四边形的边、分别在x轴、y
9、轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接、已知，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：是外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形及相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，及重叠部分的面积为s，求s及t之间的函数关系式，并指出t的取值范围14（2014成都）如图，已知抛物线（2）（x4）（k为常数，且k0）及x轴从左至右依次交于A，B两点，及y轴交于点C，经过点B的直线及抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5
10、，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形及相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段上一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？15（2014南宁）在平面直角坐标系中，抛物线2+（k1）xk及直线1交于A，B两点，点A在点B的左侧（1）如图1，当1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线下方，试求出面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线2+（k
11、1）xk（k0）及x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线1上是否存在唯一一点Q，使得90？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由16（2013防城港）如图，抛物线（x1）2及x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，及y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）（1）求点B，C的坐标；（2）判断的形状并说明理由；（3）将沿x轴向右平移t个单位长度（0t3）得到及重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S及t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围17（2014重庆）如图，抛物线x223 的图象及x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），及y轴交于点C，点D为抛物线的顶点
12、（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段上一点（点M不及点A、B重合），过点M作x轴的垂线，及直线交于点E，及抛物线交于点P，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作x轴于点N若点P在点Q左边，当矩形的周长最大时，求的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形的周长最大时，连接过抛物线上一点F作y轴的平行线，及直线交于点G（点G在点F的上方）若2，求点F的坐标18（2014钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线x2及x轴交于A、D两点，及y轴交于点B，四边形是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段上的动点，过点E作x轴交抛物线于点P，交于点G，交于点H（1）求该抛物
13、线的解析式；（2）当点P在直线上方时，请用含m的代数式表示的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形及相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由19（2014昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23（a0）及x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，及y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当存在时，求运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？（3）当的面积最大时，在下方的抛物线上
14、存在点K，使S：S5：2，求K点坐标20（2013恩施州）如图所示，直线l：33及x轴交于点A，及y轴交于点B把沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）（1）求直线和抛物线的解析式（2）若及抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形及相似，求所有满足条件的点N的坐标（3）在抛物线上是否存在点P，使S6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由21（2013毕节地区）如图，抛物线2及x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），及y轴交于点C（0，1）（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作交抛物线于点D，连接、，求四边形的周长；（结果保留
15、根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形及相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由22（2014德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且4，动点P在过A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作垂直于y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接，当线段的长度最短时，求出点P的坐标23（2014吉林）如图，直线l：（m0，n0）及x，y轴分别相交于A，B两点
16、，将绕点O逆时针旋转90得到，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线（1）若l：22，则P表示的函数解析式为；若P：x234，则l表示的函数解析式为（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图，若l：24，P的对称轴及相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图，若l：4m，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接若，直接写出l，P表示的函数解析式24（2013武汉）如图，点P是直线l：2x2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线2于A、B两点（1）若直线m的解析式为，求A，B
17、两点的坐标；（2）若点P的坐标为（2，t）当时，请直接写出点A的坐标；试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得成立（3）设直线l交y轴于点C，若的外心在边上，且，求点P的坐标25（2013遂宁）如图，抛物线2及x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）直线过点A及y轴交于点C，及抛物线的另一个交点是D（1）求抛物线2及直线的解析式；（2）设点P是直线上方的抛物线上一动点（不及点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线于点M，作y轴于点E探究：是否存在这样的点P，使四边形是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作于点N，设的
18、周长为l，点P的横坐标为x，求l及x的函数关系式，并求出l的最大值26（2013舟山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（xm）2m2的顶点为A，及y轴的交点为B，连结，交y轴于点C，延长到点D，使，连结作x轴，y轴（1）当2时，求点B的坐标；（2）求的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作的平行线，及第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？27（2006重庆）已知：m、n是方程x265=0的两个实数根，且mn，抛物线x2的图象经过点A（m，0）、B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物
19、线及x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和的面积；（3）P是线段上的一点，过点P作x轴，及抛物线交于H点，若直线把分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标28（2015阜新）如图，抛物线x2交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S4，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段上的一动点，作x轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值29（2014白银）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线23向右平移一个单位后得到的，它及y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3（1）求点M、A、B
20、坐标；（2）连接、，求的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设及x正半轴的夹角为，当=时，求P点坐标30（2014宿迁）如图，已知抛物线2（a0，c0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆及y轴的另一个交点为D（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（2，0），（8，0），（0，4）；求此抛物线的表达式及点D的坐标；若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求面积的最大值；（2）如图2，若1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标二次函数压轴题强化答案一解答题（共30小题）1（2016深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线
21、及x轴、y轴的交点分别为A、B，将对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴及直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出的取值范围【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题；开放型【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：是的角平分线，所以，610，4，设，则8x由勾
22、股定理得：3点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知，当点Q及点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4（即为的长）；设线段的垂直平分线及直线的交点为K，当点Q及点K重合时，取得最小值0【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）（1分）点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为（x3）（x8）将0，6代入抛物线的解析式，得（2分）过A、B、C三点的抛物线的解析式为（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，
23、顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴及x轴的交点为G直线的解析式为26.4分）设点P的坐标为（x，26）解法一：如图，作交直线于点P，连接，作x轴于点M即解得经检验是原方程的解此时点P的坐标为（5分）但此时，即四边形的对边及平行但不相等，直线上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取的中点E，作点D关于点E的对称点P，作x轴于点N则，可得由，可得E点的坐标为（4，0）点P的坐标为（5分）时，点P不在直线上直线上不存在符合条件的点P（6分）（3）的取值范围是（8分）当Q在的垂直平分线上及直线的交点时，（如点K处），此时，则0，当Q在的延长线及直线交点时，此时最大，直线的解析式为：6，直线的解析式
24、为：26，联立可得：交点为（0，6），6，10，4，的取值范围是：04【点评】此题考查了二次函数及一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用2（2015枣庄）如图，直线2及抛物线26（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段上异于A、B的动点，过点P作x轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求为直角三角形时点P的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】（1）已知B（4，m）在直线2上，可求得m的值，抛物线图象上的
25、A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清的长，实际是直线及抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于及P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值（3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解【解答】解：（1）B（4，m）在直线2上，4+2=6，B（4，6），A（，）、B（4，6）在抛物线26上，解得，抛物线的解析式为2x286（2）设动点P的坐标为（n，2），则C点的坐标为（n，2n286），（2）（2n286），=2n2+9n4，=2（n）2+，0，
26、当时，线段最大且为（3）为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则90由题意易知，y轴，45，因此这种情形不存在；）若点A为直角顶点，则90如答图31，过点A（，）作x轴于点N，则，过点A作直线，交x轴于点M，则由题意易知，为等腰直角三角形，3，M（3，0）设直线的解析式为：，则：，解得，直线的解析式为：3 又抛物线的解析式为：2x286 联立式，解得：3或（及点A重合，舍去）C（3，0），即点C、M点重合当3时，2=5，P1（3，5）；）若点C为直角顶点，则902x286=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线2如答图32，作点A（，）关于对称轴2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）当时，2=
27、P2（，）点P1（3，5）、P2（，）均在线段上，综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识3（2007玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线及该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段上的一个动点（点P及A、B不重合），过P作x轴的垂线及这个二次函数的图象交于点E，设线段的长为h，点P的横坐标为x，求h及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线及这
28、个二次函数图象对称轴的交点，在线段上是否存在一点P，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）因为直线过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0x3；（3）先假设存在点P，根据四边形是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在【解答】解：（1）点A（3，4）在直线上，4=31
29、设所求二次函数的关系式为（x1）2点A（3，4）在二次函数（x1）2的图象上，4（31）2，1所求二次函数的关系式为（x1）2即221（2）设P、E两点的纵坐标分别为和=（1）（x221）=x2+3x即x2+3x（0x3）（3）存在解法1：要使四边形是平行四边形，必需有点D在直线1上，点D的坐标为（1，2），x2+32即x232=0解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）当P点的坐标为（2，3）时，四边形是平行四边形解法2：要使四边形是平行四边形，必需有设直线的函数关系式为直线经过点C（1，0），0=1，1直线的函数关系式为1得x232=0解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）当P点
30、的坐标为（2，3）时，四边形是平行四边形【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算4（2013凉山州）如图，抛物线22（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），及y轴交于点C（0，4），以、为边作矩形交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交于点F，交于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；（3）在（2）的条件下，连结，则在上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使
31、得以P、C、F为顶点的三角形和相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断的形状；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入22，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，进而根据抛物线和直线的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到的长；（3）由于和都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和相似时，分两种情况进行讨论：，；可分别用含m的代数式表示出、的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定
32、判断出的形状【解答】解：（1）抛物线22（a0）经过点A（3，0），点C（0，4），解得，抛物线的解析式为x24；（2）设直线的解析式为，A（3，0），点C（0，4），解得，直线的解析式为4点M的横坐标为m，点M在上，M点的坐标为（m，4），点P的横坐标为m，点P在抛物线x24上，点P的坐标为（m，m24），（m24）（4）=m2+4m，即m2+4m（0m3）；（3）在（2）的条件下，连结，在上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和相似理由如下：由题意，可得3m，4，若以P、C、F为顶点的三角形和相似，情况：P点在F上，m244=m2若，则：，即（m2）：（3m）：（4
33、），m0且m3，在直角中，90，90，即90，为直角三角形；P点在F下，4（m24）2m若，则：，即（m2m）：（3m）：（4），m0且m3，（不合题意舍去）90，90，为钝角三角形；若，则：，即m：（3m）=（m2）：（4），m0且m3，1为等腰三角形综上所述，存在这样的点P使及相似此时m的值为或1，为直角三角形或等腰三角形【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解5（2009綦江县）如图，已知抛物线（x1）
34、2+3（a0）经过点A（2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线过顶点平行于x轴的直线交射线于点C，B在x轴正半轴上，连接（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点P运动的时间为t（s）问当t为何值时，四边形分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接，当t为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）将A的
35、坐标代入抛物线（x1）2+3（a0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作于N；进而可得、的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得是等边三角形，可得、关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得的长【解答】解：（1）抛物线（x1）2+3（a0）经过点A（2，0），0=93，（1分）二次函数的解析式为：x2；（3分）（2）D为抛物线的顶点，D（1，3），过D作于N，则3，3，6，60（4分）当时，四边形是平行四边形，6，6（s）（5分）当时，四边形是直角
36、梯形，过O作于H，2，则1（如果没求出60可由（求1）5，5（s）（6分）当时，四边形是等腰梯形，易证：，262=4，4（s）综上所述：当6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，60，是等边三角形则6，2t，62t（0t3）过P作于E，则（8分）63（62t）t=（t）2+（9分）当时，四边形的面积最小值为（10分）此时3，；3=，（11分）【点评】本题考查学生将二次函数的图象及解析式相结合处理问题、解决问题的能力6（2013天水）如图1，已知抛物线2（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线向下平移m个单
37、位长度后，得到的直线及抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且，则在（2）的条件下，求出所有满足的点P坐标（点P、O、D分别及点N、O、B对应）【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出的解析式为，则向下平移m个单位长度后的解析式为：m由于抛物线及直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解方法一：翻折变换，将沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将绕原点顺时针旋转90特别注意求出P
38、点坐标之后，该点关于直线x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解【解答】解：（1）抛物线2（a0）经过A（3，0）、B（4，4）将A及B两点坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式是23x（2）设直线的解析式为1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1直线的解析式为，直线向下平移m个单位长度后的解析式为：m，点D在抛物线23x上，可设D（x，x23x），又点D在直线m上，x23m，即x240，抛物线及直线只有一个公共点，=1640，解得：4，此时x12=2，232，D点的坐标为（2，2）（3）直线的解析式为，且A（3，0），点A关于直线的对称点A的坐标是（0，3），根据轴
39、对称性质和三线合一性质得出A，设直线AB的解析式为23，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=，直线AB的解析式是，A，和重合，即点N在直线AB上，设点N（n，），又点N在抛物线23x上，23n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）N点的坐标为（，）方法一：如图1，将沿x轴翻折，得到N11，则N1（，），B1（4，4），O、D、B1都在直线x上P1，N11，P1N11，点P1的坐标为（，）将1D沿直线x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）方法二：如图2，将绕原点顺时针旋转90，得到N22，则N2（，），B2（4，4），O、D、B1都在直线x上P
40、1，N22，P1N22，点P1的坐标为（，）将1D沿直线x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）方法三：直线：是一三象限平分线，A（3，0）关于直线的对称点为A（0，3），得：x1=4（舍），x2=，N（，），D（2，2），：x，N（，）旋转90后N1（，）或N关于x轴对称点N2（，），4，2，P为1或2中点，P1（，），P2（，）【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学
41、生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题7（2014河南）如图，抛物线x2及x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，直线3及y轴交于点C，及x轴交于点D点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作x轴于点F，交直线于点E设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若5，求m的值；（3）若点E是点E关于直线的对称点，是否存在点P，使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出、，然后列方程求解；（3）解题关
42、键是识别出当四边形是菱形，然后根据的条件，列出方程求解；当四边形是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标【解答】方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，抛物线的解析式为：x2+45（2）点P的横坐标为m，P（m，m2+45），E（m，3），F（m，0）（m2+45）（3）m22|，（3）03|由题意，5，即：|m225|315|若m2215，整理得：2m21726=0，解得：2或；若m22=（15），整理得：m2m17=0，解得：或由题意，m的取值范围为：1m5，故、这两个解均舍去2或（3）假设存在作出示意图如下：点E、E关于直线对称，1=2，平行于y轴，1=3，2=
43、3，即四边形是菱形当四边形是菱形存在时，由直线解析式3，可得4，3，由勾股定理得5过点E作x轴，交y轴于点M，易得，即，解得，又由（2）可知：m22|m22若m22，整理得：2m27m4=0，解得4或；若m22=m，整理得：m26m2=0，解得m1=3+，m2=3由题意，m的取值范围为：1m5，故3+这个解舍去当四边形是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E三点重合及y轴上，菱形不存在综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（，），（4，5），（3，23）方法二：（1）略（2）略（3）若E关于直线的对称点E在y轴上，则直线及直线关于轴对称点D关于直线的对称点D也在y轴上，3，D（4，0），5，3，=8或=2，当=8时，D（0，8），设P（t，t2+45），D（4，0），C（0，3），=1，2t27t