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1、章末总结章末总结网络构建网络构建归纳整合归纳整合题型归纳题型归纳素养提升素养提升网络构建网络构建归纳整合归纳整合网络建构网络建构知识辨析知识辨析判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(.(请在括号中填请在括号中填“”“”或或“”)1.1.若若a ab b,则则a a与与b b的方向一定相同或相反的方向一定相同或相反.(.()2.2.若若a ab b,b bc c,则则a ac c.(.()3.3.若若b b与与a a共线共线,则存在实数则存在实数,使得使得b b=a a.(.()4.4.向量可以平移向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化平移前后它的坐标发生变化.(.()6.6.a a0 0
2、,a ab b=0,=0,则则b b=0 0.(.()7.7.两个向量的数量积小于零两个向量的数量积小于零,两个向量的夹角一定为钝角两个向量的夹角一定为钝角.(.()题型归纳题型归纳素养提升素养提升题型一平面向量的线性运算及应用题型一平面向量的线性运算及应用 例例1 1(1)(1)(多选题多选题)如图如图,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,E,F,E,F分别为线段分别为线段AD,CDAD,CD的中的中点点,AF,AFCE=G,CE=G,则则()规律总结规律总结向量线性运算的求解策略向量线性运算的求解策略(1)(1)向量是一个有向量是一个有“形形”的几何量的几何量,因此在进行向量线性
3、运算时因此在进行向量线性运算时,一定要结一定要结合图形合图形,这是研究平面向量的重要方法与技巧这是研究平面向量的重要方法与技巧.(2)(2)字符表示下线性运算的常用技巧字符表示下线性运算的常用技巧:题型二向量的数量积题型二向量的数量积答案答案:(1)A(1)A(2 2)已已知知非非零零向向量量a a,b b满满足足|a a-b b|=|a a|,a a(a a-b b)=0 0,则则a a-b b与与b b夹夹角角的的大大小小为为.答案答案:(2)135(2)135规律总结规律总结数量积运算是向量运算的核心数量积运算是向量运算的核心,利用向量数量积可以解决以下问题利用向量数量积可以解决以下问题
4、:(1)(1)设设a a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2),),a ab bx x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0,=0,a ab bx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0.=0.答案答案:(1)B(1)B(2)(2)设设|a a|=|=|b b|=1,|3|=1,|3a a-2-2b b|=3,|=3,则则|3|3a a+b b|的值为的值为.题型三利用正、余弦定理求解三角形的基本问题题型三利用正、余弦定理求解三角形的基本问题(1)(1)求角求角B B的大小的大小;(2)(2)若若b=3,sin C=2sin A,
5、b=3,sin C=2sin A,求求a,ca,c的值的值.规律总结规律总结解三角形就是已知三角形中的三个独立元素解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边至少一条边)求出其他元素的求出其他元素的过程过程.三角形中的元素有基本元素三角形中的元素有基本元素(边和角边和角)和非基本元素和非基本元素(中线、高、角平中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径分线、外接圆半径和内切圆半径),),解三角形通常是指求未知的元素解三角形通常是指求未知的元素,有时有时也求三角形的面积也求三角形的面积.解斜三角形共包括四种类型解斜三角形共包括四种类型:(1):(1)已知三角形的两角和一边已知三角形的两角和
6、一边(一般先用内角一般先用内角和求角或用正弦定理求边和求角或用正弦定理求边);(2);(2)已知两边及夹角已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三一般先用余弦定理求第三边边);(3);(3)已知三边已知三边(先用余弦定理求角先用余弦定理求角);(4);(4)已知两边和一边的对角已知两边和一边的对角(先用正先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边,注意讨论解的个数注意讨论解的个数).).(1)(1)求求sin sin BAD;BAD;(2)(2)求求BD,ACBD,AC的长的长.题型四正、余弦定理的综合应用题型四正、余弦定理的综合应用(1)(1)求
7、角求角A;A;规律总结规律总结正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合面几何相结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)(1)解三角形与向量的交汇问题解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解知识转化求解.(2)(2)解三角形与其他知识的交汇问题解
8、三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数通过等价转化或构造方程及函数求解求解.题型五正、余弦定理的实际应用题型五正、余弦定理的实际应用 例例5 5 为了测量两山顶为了测量两山顶M,NM,N间的距离间的距离,飞机沿水平方向在飞机沿水平方向在A,BA,B两点进行测量两点进行测量.A,.A,B,M,NB,M,N在同一个铅垂平面内在同一个铅垂平面内(如图如图).).飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和A,BA,B间的距间的距离离.请设计一
9、个方案请设计一个方案,包括包括:指出需要测量的数据指出需要测量的数据(用字母表示用字母表示,并在图中标并在图中标出出););用文字和公式写出计算用文字和公式写出计算M,NM,N间的距离的步骤间的距离的步骤.解解:需要测量的数据有需要测量的数据有A A观测观测M,NM,N的俯角的俯角1 1,1 1,B,B观测观测M,NM,N的俯角的俯角2 2,2 2;A,BA,B间的距离间的距离d(d(如图所示如图所示).).规律总结规律总结正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距常用的有测量距离问题离问题,测量高度问题测量高度问题,测量角度问题等测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示解决的基本思路是画出正确的示意图意图,把已知量和未知量标在示意图中把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的目的是发现已知量与未知量之间的关系关系),),最后确定用哪个定理转化最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解用哪个定理求解,并进行作答并进行作答,解题时还解题时还要注意近似计算的要求要注意近似计算的要求.